Ayudantía de Teoría de Juegos

Ayudantía de Teoría de Juegos

1. Considere el siguiente juego, donde los trabajadores eligen cuánto esfuerzo poner en su trabajo y la firma elige si remunerarlos bien:

[pic 1]

1. ¿Cuál es el Equilibrio de Nash si el juego se juega 1 vez? (por ejemplo, la empresa los contrata solo durante el períod peak de Navidad)

Un equilibrio de Nash: (la firma paga poco, flojea) con pagos asociados de (5,5)

1. ¿Qué sucede si el juego se repite por 10 períodos (por ejemplo, 10 años)?

Se llega al mismo resultado que en (a), es decir, el mismo resultado si se juega un período (paradoja de la cadena de supermercados).

1. ¿Qué sucede si el juego se repite en forma infinita?

Existe la posibilidad de ponerse de acuerdo y respetar este acuerdo mediante una estrategia de castigo y sujeto a determinadas condiciones de mercado (que la tasa de interés no sea tan alta).  No obstante, no es seguro que el acuerdo sea estable.

2. Una viejita busca ayuda para cruzar la calle. Se necesita sólo una persona para ayudarle, si más personas le ayudan está bien, pero no es mejor que la situación en que sólo una le ayuda. A y B son las dos personas más próximas a ella y deben decidir simultáneamente si ayudarla o no. A y B obtienen una utilidad de 3 si cualquiera de los dos ayuda a la señora. Pero el que la ayuda incurre en un costo de 1. Escriba la matriz de pagos de este juego. Encuentre el equilibrio de Nash.

Solución.

En este juego los dos jugadores A y B tienen dos estrategias de ayudar (AY) o no ayudar (NAY) a la viejita. Para representar el juego en forma normal se construye la matriz con los pagos correspondientes a cada uno de los estados.

• En el caso que A y B ayudan ambos obtienen una utilidad de 3 pero incurren en un costo de 1 por lo que los pagos serán (2,2)
• En el caso que A ayuda y B no ayuda, ambos obtienen una utilidad de 3 ya que la viejita fue ayudada.  Pero sólo A incurre en el costo de ayudar. Luego los pagos son (2,3)
• El caso que A no ayuda y B ayuda es análogo al anterior y los pagos son (3,2)
• En el caso que ninguno ayuda los pagos son (0,0) ya que ninguno obtiene utilidad ni incurre en costo.[pic 2]

Los equilibrios de Nash son dos:  (NAY,AY) y (AY,NAY).

3. Considere la siguiente tabla de pagos, donde cada firma tiene dos estrategias posibles: pertenecer al cartel o trampear y competirle a la otra firma.

[pic 3]

1. ¿Cuál es el Equlibrio de Nash si las firmas interactúan solo 1 vez? ¿Y si interactúan muchas veces? ¿cuál es la tasa de interés que sostiene el acuerdo?

El Equilibrio de Nash es: (compite, compite) con pagos asociados de (25,25).

Si  el juego se repite en forma infinita ,existe la posibilidad de ponerse de acuerdo y respetar este acuerdo mediante una estrategia de castigo.  Esto siempre que el juego se juegue repetidamente sin un final.

La estrategia de casito “trigger strategy” o “estrategia de gatillo”, establece que se cooperará mientras se cumpla el acuerdo. Sin embargo, si lo rompe, será “castigado” con la competencia por el resto del juego, (o sea, infinito).

Para encontrar la tasa de interés que sostiene el acuerdo de calcula el valor presente de unirse al cartel (Colusión) cuando el juego se repite infinitamente, y el valor presente del juego cuando se hace trampa, por una sóla vez, y luego es condenado a la competencia por el resto del juego.

VPcolusión= 30+30δ+30δ2+…  ; donde δ=1/(1+r)

VPsalirse=33+25δ+25δ2+…

El cartel será estable sólo si VPcolusión>VPsalirse

30(1+δ+δ2+…)>33+25δ(1+δ+δ2+…)

Si 0<δ<1

[pic 4]

despejando:

δ > 3/8

y  r<5/3  

O sea, la tasa de interés debe ser menor a 166% para que convenga ganar cada período 30. Si r>166%, conviene trampear, ganar 33 una vez, y seguir ganando 25 por el resto del tiempo.

En conclusión, para que la colusión pueda establecerse como un Equilibrio de Nash:

1. El juego debe repetirse infinitamente
2. Debe existir una estrategia de castigo en caso de incumplimiento
3. Las condiciones de mercado deben ser las adecuadas. En particular, la tasa de interés no debe ser tan alta como para que convenga trampear y ganar más hoy que un flujo más bajo en el tiempo.

1. Ahora considere la tabla de pagos levemente modificada:

[pic 5] 

¿Cómo cambiaría la estrategia de equilibrio?

El resultado del juego no cambia .

4. Ana y Bety son dos vendedoras que compiten por los clientes. El precio de competencia que tienen puede describirse con el siguiente juego, que se deriva de la demanda Q = 6 - p, donde $p por unidad es el precio más bajo (el mercado compra a quien ofrezca el menor precio),y donde los pagos del juego representan las utilidades diarias de los vendedores (en miles de $).

[pic 6] 

1. ¿Tiene Ana alguna estrategia estrictamente dominada? ¿Cuál? Sí, $4
2. ¿Tiene el juego alguna solución en estrategias dominantes? ¿Por qué?¿Si es así, cuál es la predicción? No, una estrategia es dominante para un jugador si domina a todas las demás estrategias.
3. ¿Tiene el juego un Equilibrio de Nash? Sí, cada jugador elige $1.

5. Muchas veces las personas o las firmas se encuentran en una situación donde uno debe elegir entre pelear o rendirse, como se observa en el siguiente cuadro:

[pic 7]

1. Encuentre el o los Equilibrios de Nash en estrategias puras y el (los) pago (s) asociado.

Dos equilibrios de Nash: (Pelear, Rendirse) y (Rendirse, Pelear), con pagos asociados de (3,-1) y (-1,3).

1. Encuentre el Equilibrio de Nash en estrategias mixtas y el pago esperado asociado.

Sea p la probabilidad de que la f1 se rinda y (1-p) la probabilidad de que pelee.

Entonces las utilidades esperadas de la f2 para cada estrategia son las siguientes:

Ue(rendirse)=0*p-(1-p)

Ue(pelear)=3*p-2(1-p)

La firma 1 elige p tal que la firma 2 sea indiferente entre una y la otra estrategia:

0*p-(1-p)= 3*p-2(1-p)

-1+p=3p-2+2p

p=1/4 rindiéndose; (1-p=3/4 peleando)

De igual modo se resuelve para la firma 2:

Sea q la probabilidad de que la f2 se rinda y (1-q) la probabilidad de que pelee

Entonces las utilidades esperadas de la f1 para cada estrategia son las siguientes:

Ue(rendirse)=0*q-1*(1-q)

Ue(pelear)= -1*q-2(1-q)

La firma 2 elige p tal que la firma 1 sea indiferente entre una y la otra estrategia.

Firma 1 juega ¼ rindiéndose y ¾ peleando; Firma 2 juega ¼ rindiéndose y ¾ peleando. El pago esperado es de -3/4.

1. ¿Cuál es el problema del Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas?

Que las predicciones quedan sujetas a probabilidades.

6. Dos hombres comparten el acceso a una misma área de pastizales. Cada uno puede elegir no tener animales, tener 1 vaca o tener 2 vacas. El rendimiento en leche (en cuartos) de cada vaca depende de cuántas vacas en total se encuentran en el pastizal, de acuerdo a la siguiente tabla:

[pic 8]

1. ¿Cuál es la asignación más eficiente de la leche en términos sociales?

Para maximizar la producción total de leche (óptimo social) los hombres deben tener en total dos vacas. , ya que si agregamos a la tabla anterior el rendimiento total obtenemos:

[pic 9]

1. ¿Cuáles son los todos las estrategias de la propiedad de vacas posibles entre ambos hombres y los pagos asociados a las distintas asignaciones?

Lo anterior se puede ver en la siguiente tabla

[pic 10] 

1. ¿Existe alguna estrategia dominante? ¿Cuántas vacas puede Ud. predecir que tendrá cada hombre?  ¿En qué sustenta dicha predicción? ¿Es la predicción eficiente?

Traer dos vacas es estrategia dominante para cada hombre y, en equilibrio, cada uno recibe 4 cuartos de leche, aunque sería posible que cada uno recibiera 5, por lo que no es eficiente.

7. Considere el siguiente juego.

[pic 11]

1. Encuentre el (los) Equilibrio de Nash si el juego se juega 1 vez.

(Arriba,Izquierda) y es en estrategias dominantes.

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