Teoría de Juegos

Teoría de Juegos

La Teoría de Juegos estudia de manera formal y abstracta las decisiones óptimas que deben tomar diversos adversarios en conflicto, pudiendo definirse como el estudio de modelos matemáticos que describen el conflicto y la cooperación entre entes inteligentes que toman decisiones. Tales decisiones se consideran estratégicas, es decir, que los entes que participan en el juego actúan teniendo en cuanta las acciones que tomarían los demás.

La teoría de juegos es capaz de ofrecer cuestiones de interés para estudiantes de todas las ramas de las Ciencias Sociales y la Biología, así como técnicas para tomar decisiones prácticas.

Aunque la palabra “juego” tiene connotaciones lúdicas y relativas al azar, la teoría de juegos no tiene como principal objetivo el estudio de los juegos de salón, aunque sí entran dentro de su dominio. Una terminología alternativa que ilustra más claramente el objeto de la Teoría de Juegos es el “análisis matemático de conflictos” y la “toma interactiva de decisiones”.

Los jugadores son entes decidores que se consideran racionales, no necesariamente humanos, porque las nuevas tendencias de la Biología explican la formación de los instintos o de numerosos mecanismos de cooperación animal por medio de la Teoría de Juegos.

Como ejemplos característicos de juegos podrían citarse no sólo los juegos de mesa, sino también conflictos militares, modelos de evolución biológica, campañas políticas, de publicidad o de comercialización y una innumerable lista de situaciones de competencia entre empresas.

El principio fundamental para hallar la solución de un juego de decisiones simultáneas, donde los jugadores poseen información completa, es el equilibrio de Nash. También es posible tratar juegos dinámicos donde los jugadores toman sus decisiones de forma consecutiva, empleando el principio de inducción hacia atrás.

Juegos no cooperativos: representación en forma normal

Un juego en forma normal o estratégica, que se denotará por

G = {S1 ,....., Sn ; u1 ,....., un } ó G[S ,U ] , consta de tres elementos esenciales:

ƒ Los n jugadores que participan en el juego.

ƒ Las estrategias disponibles para cada jugador, que son

S = {S1 ,....., Sn } .

S = {s , s

,....., s }

es el conjunto de estrategias con que cuenta el jugador i. La

i i1 i2 iq

notación suele simplificarse designando por si

a un elemento arbitrario de

Si , donde

si ∈ Si .

De este modo

(s1 ,....., sn )

representa una combinación de estrategias, una para cada jugador,

que también se conoce como un perfil estratégico.

ƒ El conjunto de funciones de pago

U = {u1 ,....., un } , donde la función de pagos de

cada jugador ui = ui (s1 ,....., sn ) , si ∈ Si

representa la utilidad o pagos obtenidos por el

i-ésimo jugador, que es función de las estrategias elegidas por él y sus rivales en el juego.

En un juego en forma normal los jugadores eligen sus estrategias de forma simultánea, es decir, que cada jugador elige su jugada sin conocer las decisiones de los demás. Cada jugador recibe un pago ui = ui (s1 ,....., sn ) , dependiendo de las estrategias elegidas por los demás.

Como ejemplo prototipo de juegos en forma normal o estratégica destacan los juegos con dos jugadores donde cada uno de ellos tiene un número finito de estrategias, por lo que las funciones de pago pueden representarse en una doble matriz. Tales juegos suelen denominarse también bimatriciales.

Ejemplo.: Dilema del prisionero.

Callar (cooperar) Confesar

(no cooperar)

Callar

(cooperar)

Confesar

(no cooperar)

Este juego esta presente en muy diversas situaciones de la vida real, donde se presentan fuertes incentivos para la no cooperación mientras que la situación socialmente eficiente es la de la cooperación. Por ejemplo:

ƒ Cooperar: pagar impuestos, reducir cuotas de producción, practicar el libre comercio.

ƒ No cooperar: No pagar impuestos, no limitar la producción, establecer barreras arancelarias.

Equilibrio de Nash en estrategias puras

El concepto de equilibrio de Nash es un concepto muy amplio, de solución aplicable

en numerosos juegos. Dado un juego

G = {S1 ,....., Sn ; u1 ,....., un } , las estrategias

*

(s1 ,....., sn )

forman un equilibrio de Nash en estrategias puras si, para cualquier i,

* * *

si ∈ Si

*

es la mejor

respuesta (o al menos una de las mejores) a las estrategias (s1 ,..., si−1 , si +1 ,...sn )

1 jugadores, es decir:

de los otros n-

u (s* ,...., s* , s* , s* ,...., s* ) ≥ u (s* ,...., s* , s , s* ,...., s* )

para cualquier jugador i y para cualquier

si ∈ Si .

Esto implica que todos y cada uno de los jugadores resuelven individualmente el problema

Max u (s* ,...., s* , s , s* ,...., s* ) ,

s ∈S i 1 i−1 i i +1 n

alcanzándose el equilibrio de Nash cuando todos, simultáneamente, obtienen el máximo.

Es decir, que la estrategia predicha de cada jugador debe ser la mejor respuesta de cada jugador a las estrategias predichas por los otros jugadores. Tal predicción se denomina estratégicamente estable o “self-enforcing”. Todos elegirán las estrategias de equilibrio y a ninguno le conviene desviarse de ella. De existir una desviación rentable para (al menos) un jugador, la situación anterior dejaría de ser un equilibrio de Nash.

En otras palabras, si las estrategias

(s1´,....., sn ´)

no constituyen un equilibrio de Nash,

al menos un jugador tendrá un incentivo para desviarse y cambiar su estrategia.

El equilibrio de Nash (s* ,....., s* )

goza entonces de la importante propiedad de que si

1 n

el jugador i elige la estrategia s* ∈ S

del equilibrio, los otros jugadores no pueden hacer

otra cosa mejor que elegir también las estrategias del equilibrio (s* ,..., s*

, s*

,...s* ) .

1 i−1

i +1 n

Para el juego

G = {S1 , S2 ; u1 , u2 } , la pareja de estrategias

(s1 , s2 )

forman un

equilibrio de Nash si:

a) *

b) *

es la mejor respuesta a la estrategia s*

es la mejor respuesta a la estrategia s*

de II.

de I.

Es decir, que

a) u (s* , s* ) ≥ u (s , s* )

∀s1 ∈ S1 .

b) u (s* , s* ) ≥ u (s* , s ) ∀s

∈ S .

2 1 2 2 1 2 2 2

Por tanto, cada estrategia

s* i = 1, 2 debe ser solución al problema de optimización

a) Max u (s , s* )

, buscando la mejor respuesta de I ante la estrategia *

de II.

s1 ∈S1

b) Max u (s* , s )

, buscando la mejor respuesta de II ante la estrategia *

de I.

s2 ∈S2

Otra forma de interpretar el equilibrio de Nash es por medio de las curvas de reacción.

a) Para cada estrategia s2

de II el jugador I resuelve el problema

Max u1 (s1 , s2 ) ,

s1 ∈S1

obteniendo una respuesta óptima

I.

s1 = R1 (s2 )

llamada curva de reacción del jugador

b) Para cada estrategia

s1 de I el jugador II resuelve el problema

Max u2 (s1 , s2 ) ,

s2 ∈S2

obteniendo una respuesta óptima

II.

s2 = R2 (s1 )

llamada curva de reacción del jugador

El equilibrio de Nash es aquel o aquellos puntos de intersección de las dos curvas de

reacción de ambos jugadores, el decir, un par de estrategias *

* que verifican:

s* = R (s* )

y s* = R (s* ) .

Ejemplo. Consideremos el juego de dos jugadores

t1 t2 t3

s1

s2

s3

El equilibrio de Nash puede hallarse sin más que considerar la respuesta óptima de cada jugador ante cada estrategia del contrario, es decir estudiando las curvas de reacción y considerando su punto de intersección.

Las curvas de reacción de I son las siguientes:

s2 = R1 (t1 ) , s1 = R1 (t2 ) , s3 = R1 (t3 ) .

Las curvas de reacción de II son las siguientes:

t1 = R2 (s1 ) , t2 = R2 (s2 ) , t3 = R2 (s3 ) .

El equilibrio de Nash

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