Insumo-Producto de Leontief

Insumo-Producto de Leontief

“Wassily Leontief creó la teoría insumo producto, que fue inicialmente construida para describir la relación de un sector, pero fue desarrollada hasta explicar la interdependencia sectorial en toda una economía” (DANE, 2013).

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Tomado de: (Pulido, 2018)

La teoría insumo producto es fundamentada por medio de una tabulación o matriz en la cual los sectores de la economía actúan como productores y consumidores, es decir, se muestra la interdependencia entre sectores; los productos finales de un sector son el insumo para la producción en otro sector. Además, se tiene en cuenta la demanda final y el valor agregado de cada sector, cuyas estructuras conforman la producción total de bienes y servicios dentro un de un territorio o país, PIB. Macroeconómicamente el PIB tiene dos vías de cálculo, una es por medio de los componentes de gasto, los cuales son las casillas de la demanda final: consumo público o compras del estado, consumo privado o consumo de los hogares, inversiones y exportaciones; la segunda es por medio del valor agregado o ganancia generada por cada sector, esto corresponde a las casillas del valor agregado de la tabla: salarios, capital fijo y subsidios, vistos como generadores de capital financiero. Es por esto que en la tabla se puede establecer una casilla para el PIB y por cualquier camino de la tabla, demanda final o valor agregado, es el mismo.

La solución general que plantea la teoría es poder determinar las nuevas cantidades de producción que se deben generar al momento de cambiar la demanda en un o más sectores, en otras palabras, el efecto que tiene el cambio en la demanda de un sector sobre la oferta de los demás sectores, teniendo en cuenta o suponiendo que todo lo que se produce es comprado o demandado.

El análisis insumo-producto presenta varias dificultades, en primer lugar, al dividir la economía por sectores, se puede estar incurriendo en algunos errores, por ejemplo, en el sectores de minería se encuentran un conjunto de actividades que tienen un mismo objetivo, la explotación de recursos naturales, no necesariamente tienen las misma técnicas de explotación y por ende incurren en costos diferentes; esto limita la teoría, ya que se pretende una sustitución perfecta entre productos de un mismo sector, pero la cual teniendo en cuenta lo anterior no es posible e n la mayoría de los casos.  En segundo lugar, una agrupación de formas de producción de producción e interrelación de funciones de producción, implica una hegemonía en los precios, lo cual tampoco es verdadero en muchos casos, por los métodos y tecnologías de producción en los que se incurre. En tercer lugar, la información de las transacciones de cada sector debe estar actualizada, detallada y unificada, teniendo en cuenta que provienen de varias fuentes. Por último, se debe aclarar que cada vez que existan cambios estructurales y tecnológicos importantes, capaces de mover la productividad de la economía, se debe recalcular la matriz de insumo-producto.

Suponiendo que la oferta de bienes y servicios es igual a la demanda de éstos, la producción total de un sector depende de la suma de la demanda de éste por parte de otros sectores y la demanda final, esto se puede representar por medio de una ecuación matricial que será utilizada en los siguientes ejemplos y de la cual se desprende la explicación de la aplicabilidad de la teoría insumo producto. Sin embargo, se hará una demostración matemática a continuación:

Los flujos intersectoriales son representados por la matriz de tamaño nxn, denominada Z, cuyas entradas tienen la siguiente interpretación:

𝑧𝑖, 𝑗=demanda del insumo por el sector 𝑖 del sector 𝑗

La demanda final de cada sector, que es el consumo de los productos de los sectores como bienes finales por los hogares, las empresas o el gobierno, se representa por el vector f, de tamaño n x 1:

𝑓𝑖=demanda final del sector 𝑖

De allí, se puede obtener el total de la oferta del sector i, denominado 𝑥𝑖, que corresponde a:

𝑥𝑖=Σ𝑧𝑖, 𝑗+ 𝑛𝑗=1𝑓𝑖

La información sobre la oferta total de cada sector será agrupada en un vector denominado x, de tamaño n x 1, cuyas entradas corresponden a 𝑥𝑗, que es la producción total del sector.

La siguiente ecuación describe como el sector productivo i, distribuye su producto entre las ventas a otros sectores y la demanda final. Este puede ser representado como una matriz:

1.     𝒙=𝒁𝟏+𝒇

Donde 1 es un vector de tamaño n x 1 cuyas entradas son todas 1. Con esta información se puede definir los coeficientes técnicos de la ecuación:

 𝑎𝑖, 𝑗=𝑧𝑖, 𝑗/𝑥𝑗

Los coeficientes se pueden interpretar como la proporción consumida, en términos monetarios, por el sector i del sector j para producir una unidad de producto final. Esta matriz se definirá como A.

Usando esta definición, la ecuación (1) adquiere otra representación matricial:

1.    𝒙=𝑨𝒙+𝒇

La ecuación (2) es equivalente a la siguiente ecuación:

(𝑰−𝑨) 𝒙

=𝒙−𝑨𝒙 =𝒇

Asumiendo que la matriz I-A es invertible, se obtiene:

1.   𝒙=(𝑰−𝑨) ^−1 𝒇=𝑳𝒇

Aquí 𝑳=(𝑰−𝑨) ^−1 se denomina la matriz inversa de Leontief.

La ecuación (3) permite, bajo la existencia de proyecciones de demanda final para periodos futuros, determinar los niveles de producción que satisfacen futuros cambios en la demanda de un sector.

De las ecuaciones (1) y (2) y suponiendo la existencia de demanda final en cada sector, se obtiene que:

0<Σ𝑎𝑖, 𝑗<1

Esto describe el modelo básico de Leontief, sin embargo, es posible encontrar en la literatura transformaciones que faciliten interpretaciones con diversos fines.

Ejemplos

1. En el año de actividad que se observa se tienen dos industrias, la industria A la cual vende 240 millones a otras industrias de su mismo sector y 500 millones a la industria B, mientras que la industria B vende 360 millones a la industria A y 200 millones a su misma industria. La demanda final obtenida en la Industria A es de 460 millones y la de industria B es de 940 millones.

Se debe obtener la matriz de coeficientes técnicos de los valores totales 𝑎𝑖, 𝑗=𝑧𝑖, 𝑗/𝑥𝑗:

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En este ejemplo la demanda final para la industria A pasa de 460 a 500, y en la industria B pasa de 940 a 1200. ¿Qué valores deben tomar las nuevas producciones totales de cada sector? El valor total de la industria A (Xa) está dado por:

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