Método Trapezoidal

Método Trapezoidal

Ing Yamil Armando Cerquera Rojas – yacerque@gmail.com Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana Neiva - Huila

DEFINICIÒN

De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa “unir todas las partes en un todo; unificar, indicar la cantidad total,…” . Matemáticamente, la integración se representa por . En los primeros años de ingeniería, se ven apartes de cálculo integral. Se aprenden técnicas que obtienen soluciones analíticas o soluciones exactas de integrales definidas e indefinidas. En esta parte se trata de solucionar integrales definidas, o sea integrar una función entre un par de límites dados . Integral en la cual el intervalo de integración , es finito, y f es una función de una variable real y valor real continua en .

Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la curva en el intervalo . De acuerdo al teorema fundamental del calculo integral la ecuación se evalúa como . En donde F(x) es la integral de , esto es, cualquier función tal que . Es decir F(x) es una antiderivada de . La nomenclatura de es .

Desafortunadamente en la mayoría de los casos prácticos es muy difícil o aun imposible hallar una antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe de aproximarse. Esto puede lograrse de las siguientes maneras:

Serie de potencias. Método gráfico. Métodos numéricos.

La Regla Trapezoidal es parte de las fórmulas de integración de Newton-Cotes, las cuales se basan en el reemplazo de una función complicada de resolver de forma manual o datos tabulados con una función aproximada que sea difícil de resolver.

OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Objetivos: Resolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos límites conocidos, dividiendo en N sub áreas para calcular su valor, asumiendo cada sub área como un pequeño trapecio.

1. Comprender las bases conceptuales de la integración aproximada. 2. Comprender los rasgos generales de la integración aproximada utilizando el método de los trapecios. 3. Comprender la aproximación del error por truncamiento de la integración aproximada utilizando el método de los trapecios, frente al valor exacto. 4. Resolver problemas de integración aproximada utilizando el método de los trapecios.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida. 2. Reconocer que el método de los trapecios representa, geométricamente, el área bajo una función polinomial de primer orden (lineal). 3. Deducir la fórmula de los trapecios a partir de la interpretación geométrica de la integral definida. 4. Acotar el error cometido en la integración numérica por el método de los trapecios. 5. Explicar la obtención de fórmulas más precisas para calcular, numéricamente, integrales definidas. 6. Aplicar el método de los trapecios, para calcular, numéricamente, las aproximaciones de algunas integrales definidas.

OBSERVACIONES PRELIMINARES

Cuando se realiza un experimento, generalmente, se obtiene una tabla de valores que, se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no se obtiene la representación explícita de la función que representa la regla de correspondencia entre las variables involucradas. En estos casos, la realización de cualquier operación matemática sobre la nube de puntos, que pretenda tratarla como una relación funcional, tropezará con dificultades considerables al no conocerse la expresión explícita de dicha relación. Entre estas operaciones se encuentra la integración de funciones.

Además, es conocido que existen relativamente pocas fórmulas y técnicas de integración, frente a la cantidad existente de funciones que se pueden integrar. Es decir, un gran número de integrales de funciones elementales no puede ser expresada en términos de ellas. Entre estos casos singulares se tienen, a manera de ejemplo:

Lo anterior motiva el uso de los métodos de integración numérica que se estudian en lo que sigue; lo primero en considerar se basa en la aproximación de la función f mediante polinomios interpolantes.

Para aclarar la contradicción antes señalada, se debe recordar la condición necesaria para que una función sea integrable. Dicha condición se menciona de inmediato, sin demostración:

Proposición 1 (Condición necesaria de Integrabilidad).

Si una función f es continua en el intervalo [a, b] , entonces f es integrable en [a, b].

No obstante que las condiciones de la Proposición 1 son sumamente generales, no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función f(x) cualquiera, necesaria para obtener la integral definida.

Estos apuntes pretenden ilustrar al lector con una de las técnicas básicas que permiten resolver dicha situación, a través de la denominada “INTEGRACIÓN APROXIMADA, POR EL MÉTODO DE LOS TRAPECIOS”.

CÁLCULO DE ÁREAS

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura por debajo de la función f(x) entre los límites a y b:

Fig. 0

En donde la función y los valores a y b son valores conocidos. a se considera como el limite inferior y b se considera como límite superior.

En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada. Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

REGLA TRAPEZOIDAL O REGLA TRAPECIAL.

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes. Recuerde que el área de un trapecio está dada por la fórmula: , donde h es la altura del trapecio, en tanto que representan las bases del mismo, como se observa en la Fig 1:

Fig. 1

La Fig. 2 muestra de color verde como sería el cálculo del área bajo la curva de la función entre los límites a y b si se dividiera dicha subarea en un solo trapecio. El error que se cometería sería demasiado grande con respecto al área real que se desea obtener. Dependiendo de la forma de la curva el error que se cometería sería por exceso o por defecto. En el caso del ejemplo, el error seria por defecto, es decir el valor que arroje el cálculo de la integral será menor al valor real del área.

Fig. 2

Si se divide el intervalo (área a calcular) en mas de una sub área, en el caso de la Fig. 3 (dividida en 3 sub áreas), el error en le cálculo de la integral o área total, se disminuye.

Fig. 3

La estrategia más simple y que evitaría menor error en el cálculo, consiste en subdividir el intervalo pedido para el cálculo del área en sub intervalos de pequeño tamaño y aproximar el área como la suma de las áreas de cada uno de los trapecios que se forman:

Fig. 4 Interpretación geométrica del método de los trapecios

De la Fig 4 se puede deducir que . Si n es suficientemente grande (delta sería suficientemente pequeño), el área de los trapecios será aproximadamente el área pedida. El área total que correspondería a la suma del área de cada uno de los trapecios se calcula de la siguiente forma:

Se determinan los puntos del eje x que delimitarán cada trapecio. Estos puntos son:

xi= a+i*dx, con i= 0, 1, 2, …, n

Se evalúa la función f en cada uno de los puntos Xi:

yi= f(xi), i= 0, 1, 2, …, n

Se calcula el área de cada trapecio como:

ai= (yi+y(i+1))*dx/2, i= 0, 1, 2, …, n-1

Se suman las áreas de cada uno de los trapecios.

DEDUCCION DEL MÉTODO DEL TRAPECIO: Deducción del método desde los Polinomios de Interpolación Corresponde al caso donde n=1, es decir:

Donde f1(x), es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para los datos:

x a b y f(a) f(b)

Del capítulo de interpolación y observando la Fig. 5, se sabe que este polinomio de interpolación puede expresarse mediante la expresión:

Fig 5

Integrando este polinomio, se tiene que:

Por lo tanto, se tiene que:

Que es conocida como la Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que se le puede dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b], que es precisamente el área del trapecio que se forma.

Fig. 6 Recuérdese que una línea recta se puede representar como

El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b: El resultado de la integración es

Al que se le llama regla trapezoidal tal como se demostró anteriormente.

Deducción del modelo a partir del área de un trapecio La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

Considérese la función , cuya gráfica entre los límites y se muestra en la Fig. 7. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n subareas de ancho y aproximando el área de cada un a de las secciones mediante un trapecio, como

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