Métodos Numéricos

METODOS NUMERICOS

TEMARIO

METODO NUMERICO DE INTEGRACION DEL TRAPECIO………………………..….3

Método de Simpson…………………………………………………………………18

METODO DE RUNGE-KUTTA………………………………………..…………………… 26

METODO DEL DISPARO………………………………………………………………39

METODO NUMERICO DE INTEGRACION DEL TRAPECIO.

El método de los trapecios tiene su origen directamente en la interpretación geométrica de la “INTEGRAL DEFINIDA”.

Recordemos que la integral definida se puede interpretar como el área comprendida entre el eje de las abscisas, la función a integrar, y los límites de integración. Esta área es calculada a través de un proceso de paso al límite usando una partición del área total, generalmente en rectángulos y haciendo tender al infinito el número de rectángulos. La implementación numérica de este concepto, se conoce como “MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS”, y de hecho, este método se constituye en el soporte teórico de la solución de problemas de aplicación de integrales definidas.

La diferencia entre el método de los trapecios y el anterior método, consiste en que a la partición del área total, se le reemplazan los rectángulos usados originalmente, por otra figura geométrica que aproxime mejor el área buscada, particularmente, usando trapecios. Además, al igual que en método de los rectángulos, se eliminará el proceso de límite, de modo que el resultado obtenido será una aproximación del valor exacto.

Es decir proviene del los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura por debajo de la función f(x) entre los límites a y b: Fig.

En donde la función f (x) y los valores a y b son valores conocidos. a se considera como el límite inferior y b se considera como límite superior. En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

*Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada.

*Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible en términos de exactitud (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

Pero dicho método como todos les demás tiene sus reglas establecidas para usarse

REGLA TRAPEZOIDAL O REGLA TRAPECIAL.

La siguente figura muestra de color verde como sería el cálculo del área bajo la curva de la función f (x) entre los límites a y b si se dividiera dicha subarea en un solo trapecio. El error que se cometería sería demasiado grande con respecto al área real que se desea obtener. Dependiendo de la forma de la curva el error que se cometería sería por exceso o por defecto. En el caso del ejemplo, el error seria por defecto, es decir el valor que arroje el cálculo de la integral será menor al valor real del área.

Si se divide el intervalo (área a calcular) en mas de una sub área, en el caso de la Fig. 3 (dividida en 3 sub áreas), el error en el cálculo de la integral o área total, se disminuye.

La estrategia más simple y que evitaría menor error en el cálculo, consiste en subdividir el intervalo pedido para el cálculo del área en n sub intervalos depequeño tamaño y aproximar el área como la suma de las áreas de cada uno de los trapecios que se forman:

De la Fig 4 se puede deducir que dx = (b − a) / n . Si n es suficientemente grande

(delta sería suficientemente pequeño), el área de los trapecios será

aproximadamente el área pedida. El área total que correspondería a la suma

del área de cada uno de los trapecios se calcula de la siguiente forma:

*Se determinan los puntos del eje x que delimitarán cada trapecio. Estos puntos son:

xi= a+i*dx, con i= 0, 1, 2, ..., n

*Se evalúa la función f en cada uno de los puntos Xi:

yi= f(xi), i= 0, 1, 2, ..., n

*Se calcula el área de cada trapecio como:

ai= (yi+y(i+1))*dx/2, i= 0, 1, 2, ..., n-1

*Se suman las áreas de cada uno de los trapecios.

Pero para saber de dónde es que proviene este método podemos realizar la deducción del método del trapecio para demostrar su origen.

DEDUCCION DEL MÉTODO DEL TRAPECIO

Esta deducción surge desde los métodos de polinomios de interpolación. Lo cual se notará en los siguientes párrafos.

Corresponde al caso donde n=1, es decir:

∫_a^b▒〖f(x)dx≈∫_a^b▒〖f_1 (x)dx〗〗

Donde f1(x), es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para los datos:

X a b

Y f(a) f(b)

Observando la siguiente figura, se sabe que este polinomio de interpolación puede expresarse mediante la expresión:

(f(b)-f(a))/(b-a)=(f(x)-f(a))/(x-a)

(f(b)-f(a))/(b-a) (x-a)=f(x)-f(a)

f_1 (x)=f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a)

Integrando este polinomio, se tiene que:

∫_a^b▒〖f_1 (x)〗 dx=f(a)x+(f(b)-f(a))/(b-a) [〖(x-a)〗^2/2]_a^b

∫_a^b▒〖f_1 (x)〗 dx=f(a)(b-a)+(f(b)-f(a))/(b-a) [〖(b-a)〗^2/2]

∫_a^b▒〖f_1 (x)〗 dx=f(a)(b-a)+f(b)-f(a)[(b-a)/2]

∫_a^b▒〖f_1 (x) 〗 dx=(b-a)+[f(a)+(f(b)-f(a))/2]

∫_a^b▒〖f_1 (x) 〗 dx=(b-a)[f(a)+(f(a)-f(b))/2]

Por lo tanto, se tiene que:

∫_a^b▒f(x) dx≈(b-a)[f(a)+(f(a)-f(b))/2]

Que es conocida como la Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que se le puede dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b], que es precisamente el área del trapecio que se forma.

DESARROLLO DEL MODELO

La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de

Newton-Cotes.

Considérese la función f (x) , cuya gráfica entre los límites x = a y x = b se muestra en la Fig. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n subareas de ancho ΔX y aproximando el área de cada una de las secciones mediante un trapecio, como se indica en la figura.

El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar de forma fácil a partir de la figura anterior. Suponga que se mira solo la pequeña subarea A1 de la figura anterior en la siguiente figura.

ΔX = (b − a) / n . Sería el ancho de cada una de las Sub áreas. n Sería el número de pequeñas sub áreas en las que se divide el área total que se desea calcular.

Llamando a las ordenadas Yi (i = 0,1, 2, 3, ...., n), las áreas de los trapecios son:

El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:

A=∫_a^b▒〖f(x)dx≅A_1+A_2+......A_n 〗 (2)

Sustituyendo las ecuaciones (1) en la expresión (2) se obtiene:

A=∫_a^b▒〖f(x)dx≅〖∆x/2〗_1 (y_0+〖2y〗_1+2y_2+.....+ 〖2y〗_(n-1)+y_n ) 〗 (3)

La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:

A=∫_a^b▒〖f(x)dx≅∆x/2 (y_0+〖2y〗_1+2∑▒〖(y_2+y_3+.....+y_(n-1))〗) 〗 (4)

A=∫_a^b▒〖f(x)dx≅∆x/2 (y_0+y_n+2∑_(i=1)^(n-1)▒y_i ) 〗 (5)

Ahora se sabe que y_0 y y_n son valores de la evaluación de la función en cada uno de los límites, es decir y_0 es la función evaluada en el límite a y_n y es la función evaluada en el límite b.

A=∫_a^b▒〖f(x)dx≅∆x/2 (f(a)+f(b)+2∑_(i=1)^(n-1)▒y_i ) 〗 (6)

Ahora, y_i sería la evaluación en cada uno de los puntos sobre el eje x de base común a cada una de las sub áreas.

y_1=f(a+1dx)

y_2=f(a+2dx)

y_3=f(a+3dx)

.

. .

y_i=f(a+idx)

Por lo tanto la ecuación general para el cálculo de la integral por el método trapezoidal será:

A=∫_a^b▒〖f(x)dx≅∆x/2 (f(a)+f(b)+2∑_(i=1)^(n-1)▒〖f(a+i*dx)〗) 〗 (7)

Que también se pudiese representar como:

A=∫_a^b▒〖f(x)dx≅∆X((f(a)+f(b))/2+∑_(i=1)^(n-1)▒〖f(a+i*dx)〗) 〗 (8)

En esencia, la técnica consiste en dividir el

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