Optimizacion Utilizando Investigacion De Operaciones

CAPITULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 Generalidades

La Empresa de Tomates Autónomos S.A. (ETAMUSA ) debe planificar la producción y venta de tomates de lata para la próxima campaña. A estas fechas de la temporada, ya se tiene una idea precisa de la producción y coste que los tomates tendrán en la próxima recogida durante el verano

1.2 Planteamiento del Problema

Según las estimaciones de los técnicos de ETAMUSA con largos años de experiencia, la cosecha y el precio de la próxima campaña de los agricultores que generalmente contratan con ETAMUSA son los siguientes, en función de la calidad o grado del tomate:

GRADO Tm. ofertadas Precio/Kg.

A 2.000 0.40

B 4.000 0.30

C 6.000 0.25

D 1.000 0.10

Por otra parte, nuestro departamento de ventas ha estimado que la capacidad de ventas de la red comercial de ETAMUSA es la siguiente, de acuerdo con los tipos de tomate que se ofrecen y conforme a los precios que se consideran recomendables.

TIPO Tm Precio/Kg.

Enteros Infinita 0.80

Salsa 3.000 0.55

Puré 2.000 0.20

Antes de elaborar el plan de producción se obtienen los siguientes datos del departamento de calidad y producción.

Calidad de los tomates en origen Calidad de los tomates en destino

Grado Nivel calidad ofertado Tipo Nivel requerido

A 9 Enteros 7

B 6 Salsa 5

C 5 Puré 2

D 2

El departamento de calidad nos explica que el grado A corresponde a los mejores tomates, a los que se les da una puntuación de 9, mientras que el grado D son los peores tomates a los que se les da una puntuación de 2. Las latas de tomates enteros deben tener un grado mínimo de 7 y las de salsa de 5, mientras que las latas de puré de tomates es suficiente con que tengan un grado mínimo de 2.

1.3 Definición del Problema

En base a sus productores, demanda y oferta es que ETAMUSA debe maximizar el margen bruto de utilidades.

1.4 Formulación del Problema

1) Oferta máxima.

XA-Entero + XA-Salsa + XA-Puré  2.000

XB-Entero + XB-Salsa + XB-Puré  4.000

XC-Entero + XC-Salsa + XC-Puré  6.000

XD-Entero + XD-Salsa + XD-Puré  1.000

2) Demanda.

XA-Salsa + XB-Salsa + XC-Salsa + XD-Salsa  3.000

XA-Puré + XB-Puré + XC-Puré + XD-Puré  2.000

3) Restricciones de calidad requeridas para cada tipo de producto.

9XA-Entero+6XB-Entero+5XC-Entero+2XD-Entero  7(XA-Entero+XB-Entero+XC-Entero+XD-Entero)

9XA-Salsa+6XB-Salsa+5XC-Salsa+2XD-Salsa  5(XA-Salsa+XB-Salsa+XC-Salsa+XD-Salsa)

9XA-Puré+6XB-Puré+5XC-Puré+2XD-Puré  2(XA-Puré+XB-Puré+XC-Puré+XD-Puré)

1.5 Misión

La misión es de maximizar sus utilidades. Mediante la siguiente función objetivo

Max ( z ) = (0.80 – 0.08 – 0.40) XA-Entero + (0.80 – 0.08 – 0.30) XB-Entero + (0.80 – 0.08 – 0.25) XC-Entero + (0.80 – 0.08 – 0.10) XD-Entero + (0.55 – 0.05 – 0.40)XA-Salsa + (0.55 – 0.05 – 0.30)XB-Salsa + (0.55 – 0.05 – 0.25)XC-Salsa + (0.55 – 0.05 – 0.10) XD-Salsa + (0.20 – 0.03 – 0.40) XA-Puré + (0.20 – 0.03 – 0.30) XB-Puré + (0.20 – 0.03 – 0.25) XC-Puré + (0.20 – 0.03 – 0.10)XD-Puré

1.6 Objetivo General

El objetivo general es generar las máximas utilidades utilizando los recursos de la mejor manera, siendo estos últimos los que mediante la oferta , demanda y capacidad de producción determinen la mejor opción de producción.

1.7 Objetivos Específicos

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

2.1 Modelo de Programación Lineal

2.1.1 Definición

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales

2.1.2 Fases del Estudio de la Programación Lineal

Las principales son:

• examen de la situación real y recolección de la información;

• formulación del problema, identificación de las variables controlables y las externas (no controlables) y la elección de la función objetivo, a ser maximizada o minimizada;

• construcción del modelo matemático, destinado a dar una buena representación del problema; debe ser fácil de usar; representar el problema, dando toda la información para poder tomar una decisión lo más idónea posible;

• resolución del modelo (mediante diferentes modalidades);

• análisis y verificación de las soluciones obtenidas: se controla si la función objetivo ofrece las ventajas esperadas; se verifica la representatibilidad del modelo; y, se efectúan análisis de sensibilidad de la solución obtenida.

• utilización del sistema obtenido para su posterior uso

2.1.2.1 Análisis del Sistema Real y su Entorno

2.1.2.2 Representación del Sistema Real

Función Objetivo

La función objetivo puede ser:

ó

Donde:

• fi = coeficientes son relativamente iguales a cero.

Restricciones Estructurales

Reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones que

Impone la situación del problema.

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Donde:

• A = valor conocido a ser respetado estrictamente;

• B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;

• C = valor conocido que no debe ser superado;

• j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);

• a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;

• X = Incógnitas, de 1 a N;

• i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

Restricciones de No Negatividad

Garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa.

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

Solución y Prueba del Modelo

Una vez formulado el modelo matemático para el problema bajo estudio, la siguiente etapa para un estudio de Investigación de Operaciones consiste en desarrollar un procedimiento (por lo general basado en computadora) para derivar una solución al problema a partir de este modelo. Esta es una etapa relativamente sencilla, en la que se aplican uno de los algoritmos de investigación de operaciones en una computadora.

Un tema común en Investigación de Operaciones es la búsqueda de una solución óptima, es decir, la mejor. Se han desarrollado muchos procedimientos para encontrarla en cierto tipo de problemas, pero es necesario reconocer que estas soluciones son óptimas sólo respecto al modelo que se está utilizando.

La meta de un estudio de Investigación de Operaciones debe ser llevada a cabo el estudio de manera óptima, independientemente de si implica o no encontrar una solución óptima para el modelo. Al reconocer este concepto, los equipos de Investigación de Operaciones en ocasiones utilizan sólo procedimientos heurísticos (es decir, procedimientos de diseño intuitivo que no garantizan una solución óptima) para encontrar una buena solución subóptima. Esto ocurre con mas frecuencia en los casos en que el tiempo o el costo que se requiere para encontrar una solución óptima para un modelo adecuado del problema son muy grandes.

Si la solución se implanta sobre la marcha, cualquier cambio en el valor de un parámetro sensible advierte de inmediato la necesidad de cambiar la solución.

El análisis posóptimo también incluye la obtención de un conjunto de soluciones que comprende una serie de aproximaciones, cada vez mejores, al curso de acción ideal. Así, las debilidades aparentes de la solución inicial se usan para sugerir mejoras al modelo, a sus datos de entrada y quizá al procedimiento de solución. Se obtiene entonces una nueva solución, y el ciclo se repite. Este proceso sigue hasta que las mejoras a soluciones sucesivas sean demasiado pequeñas para justificar su solución.

Control del Modelo

Implementación

Reformulación del Modelo

CAPITULO III

APLICACIÓN DEL MODELO DE OPTIMIZACIÓN

3.1. Características del Problema

3.2 Descripción del Modelo

3.3 Formulación de Modelo

Consiste en definir, los índices, parámetros y en especial las variables de decisión que define el modelo. En esta parte se responde a dos cuestiones importantes: la primera ¿Qué deseamos optimizar en el modelo? , según las premisas dadas lo que deseamos

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