Programa Administración de empresas

[pic 1]

Universidad de Cartagena

Sede Lorica

Facultad de Ciencias Económicas

Programa Administración de empresas

Alumna:

Andrea Carolina Méndez Martínez

Protocolo individual:

Matemáticas II  

 Tercer semestre

10 /05 / 2023

Definición intuitiva de límite

La definición de límite de una función suele ser uno de los conceptos más retadores dentro del cálculo.

Idea intuitiva de límite de una función

Consideremos la función f(x)=5x.

[pic 2]

Supongamos que en este caso x0=7 y, por tanto, L=f(x0)=35. Sabemos que f(x) se aproxima a 35 mientras más cerca estemos de 7.

¿Podemos encontrar un valor de x lo suficientemente cercano a 7, sin ser 7, tal que f(x) esté a una distancia menor de 11 del 35, es decir, |f(x)–35|<11?

Sí. Si consideramos x=5, entonces f(5)=25 y |f(5)–35|=|25–35|=10<11

¿Podemos encontrar un valor de x lo suficientemente cercano a 7, sin ser 7, tal que f(x) esté a una distancia menor de 7 del 35, es decir, |f(x)–35|<7?

Nuevamente la respuesta es sí, y podemos considerar x=8. De esta forma |f(8)–35|=|40–35|=5<7.

Hasta este momento se han encontrado valores puntuales que nos permiten aproximarnos a 35 mediante f, pero para nuestro estudio requerimos más que solo un punto, buscamos más bien un intervalo de x, específicamente un intervalo de x alrededor de x0, que en este caso es 7. A partir de ahora nos enfocaremos en encontrar dicho intervalo.

¿Qué pasa si ahora queremos encontrar un intervalo de x alrededor de 7 para tener una distancia menor a 11000 en nuestra aproximación, es decir, |f(x)–35|<11000?

Un poco menos inmediato, pero definitivamente podemos resolver el problema. Buscamos lo siguiente:

|f(x)–35|<11000⇒|5x–35|<11000⇒|x–7|<15000, al dividir entre 5

Lo que indica que para que f(x) esté a una distancia menor 11000 de 35, entonces x debe estar a una distancia menor de 15000 respecto al 7. Después de este último ejercicio, parece que podemos aproximarnos arbitrariamente a 35 y a este valor arbitrario le llamaremos E, el cual puede ser cualquier número positivo. Haciendo las cuentas de forma análoga para una distancia E>0, llegamos a la siguiente expresión:

|X–7|<E5.

Es decir, para aproximar arbitrariamente (E) f(x) al valor 35, x debe estar a una distancia menor de E5 del valor de 7.

Generalizando un poco la idea construida a través de este ejemplo obtenemos la siguiente definición intuitiva.

Definición intuitiva. Decimos que la función f se aproxima al límite L cerca de X0 si f(x) se aproxima arbitrariamente a L si X está lo suficientemente de X0 pero es distinto de X0.

Después de esta definición intuitiva, veamos otro ejemplo y tratemos de usarla.

Consideremos ahora la función f(x)=x2.

[pic 3]

Veremos que f(x) se aproxima al límite 16 cerca de 4. En esta ocasión queremos que f esté más próximo que E a 16, es decir, queremos que

|f(x)–16|<|x2–16|<E|(x−4)(x+4)|<E|x−4||x+4|<E

A diferencia del caso anterior, parece que no es tan directo llegar a nuestro objetivo, pero notemos que particularmente podemos pedir que |x−4|<1, entonces

−1<x−4<1⇒3<x<5⇒7<x+4<9

En resumen, si |x−4|<1, entonces |x+4|<9. Lo cual implica que
|x2–16|=|x−4||x+4|<9|x−4|
Si además restringimos la distancia de X respecto a 4 de tal manera que |x−4|<E9 y retomando la expresión anterior llegamos a lo siguiente:

|X2–16|=|X−4||X+4|<9|X−4|<9⋅E9=E∴|X2–16|<E

Esto siempre que |X−4| sea menor que 1 y E9, es decir, siempre que |X−4|<min{1,E9}.

De los dos ejemplos revisados en esta entrada, podemos notar que logramos que f se aproxime arbitrariamente (E) a L siempre que logremos que X esté lo suficientemente cerca de X0 y para lograr esto último acotamos X−X0 en términos de un valor positivo que depende de E (para el primer ejemplo fue E5 y para el segundo min{1,E9}), vale la pena entonces darle un nombre a este valor positivo: g.

...