TEORÍA “MODERNA” DE CARTERAS

[pic 1]TEORÍA “MODERNA” DE CARTERAS

1. Preferencias del inversor

Desarrollaremos un modelo que supone que el inversor a la hora de armar su cartera de inversiones tiene en cuenta los siguientes atributos de la misma:

1. El retorno esperado ( rc )[pic 2]
2. El desvío estándar de los retornos ( σc )

Centramos nuestra atención en la cartera y no en los activos individuales ya que el inversor racional está interesado en su riqueza total y no en cómo está compuesta.

Las preferencias del inversor pueden ser representadas por un mapa de curvas de indiferencia como el siguiente:[pic 3]

Mapa de curvas de indiferencias[pic 4]

[pic 5]

La TMS =[pic 6][pic 7]

drc d σc

puede interpretarse como una medida del valor (la

molestia) del riesgo en términos de retorno esperado. La TMS es creciente porque, al aumentar el riesgo, crece la molestia marginal del mismo, y, al subir el retorno esperado, disminuye la utilidad marginal del mismo.

1. Cálculo de los        atributos        deuna        cartera conocidos los        atributos

de los        activos que        la conforman

Retorno de una        cartera

Sean[pic 8]

C : el valor de la cartera,

xi : la proporción invertida en el activo i,

ri : el retorno del activo i,

rC : el retorno de la cartera C.

⎛ n        ⎞

porque

⎜∑ xi = 1⎟

⎝ i=1        ⎠

El resultado de la cartera es igual a:

n        n

Rc = ∑C xi ri

i=1

=C ∑

i=1

xi ri

La sumatoria del último miembro es el retorno de la cartera ya que multiplicada por su valor inicial se obtiene el resultado de la misma:

Rc = C rC . Por lo tanto, el retorno de la cartera (resultado por unidad

de capital invertido) es igual a:

[pic 9]

rc = ∑

i=1

xi ri

(1)

Como podemos observar, el retorno de la cartera es igual al promedio de los retornos de cada uno de los activos ponderados por la participación de cada uno en la cartera.

Retorno esperado        de una        cartera.[pic 10]

[pic 11]

rc = ∑[pic 12][pic 13]

i=1

xiri

(2)

Demostración

           ⎛ n

⎞        n        n                 

rc =E ⎜ ∑

xiri

⎟ =∑ E(x i ri ) = ∑ xiri

⎝ i=1

⎠        i=1

i=1

Varianzade losretornos de una        cartera

Obsérvese que (1), el retorno de una cartera, es una suma ponderada de variables, cuya varianza, según lo estudiado en la Introducción Estadística, es igual a la suma de las celdas de la siguiente matriz ponderada de varianzas y covarianzas:

[pic 14]        

La suma de las celdas de la matriz de varianzas y covarianzas ponderadas puede expresarse matemáticamente del siguiente modo:

σ2 = ∑∑ x x        σ[pic 15][pic 16]

,        (3)

i=1 j=1

o también,

σ2 = ∑∑ x x

         

(4)

i=1 j=1[pic 17][pic 18]

Cada celda de esta matriz contiene la covarianza del activo i con el j

ponderada por la proporción de cada uno de esos activos. Obsérvese

que la sumatoria de todas las ponderaciones es igual a uno:

xi x j

de cada covarianza

n        n        n        ⎛ n        ⎞

∑∑ xix j

= ∑ xi ⎜ ∑

x j ⎟ = 1

i=1

j=1

i=1

⎝ j=1        ⎠

Esto implica que la varianza de la cartera es un promedio de las covarianzas (incluidas las varianzas) que conforman la matriz de varianzas y covarianzas de los retornos de los activos de la cartera.

Separando en (3) las varianzas de las covarianzas, la fórmula de la varianza de una cartera nos queda

n        n        n

σ2 =∑ x 2 σ2[pic 19]

+ ∑∑ x x σ

(5)

I=1

i=1

j=1

j≠i

ó

n        n        n

σ2 =∑[pic 20]

x2 σ2

+ 2 ∑∑ x x σ

(6)

I=1

i =1

j=1

j<i

1. Beneficios de la diversificación. Ejemplo.

Con el objetivo de ilustrar el efecto de la diversificación en la varianza de la cartera seguiremos una estrategia muy sencilla: invertir en un número n de activos asignando a todos igual proporción de la

cartera, o sea que

xi =

1 . Supondremos además que la varianza de

...