Teoría De Carteras

nomTEORIA DE CARTERAS

La cuestión que se plantea en la denominada Teoría de Carteras es si es correcta la afirmación de la existencia de una relación entre Riesgo y Rentabilidad.

Partiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo CAPM y APT. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital.

En principio y de forma intuitiva debería ser así, ya que de lo contrario el mercado "expulsaría" a los títulos cuya rentabilidad no se correspondiera con su nivel de riesgo. En este caso, teóricamente, los precios de dichos títulos bajarían, por lo que su rentabilidad subiría hasta lograr un nivel de equilibrio. Esta proposición es una primera aproximación, ya que puede no cumplirse.

La relación rentabilidad / riesgo no es la misma para cada tipo de activo que cotiza en el mercado, y existe una relación rentabilidad / riesgo para cada una de ellas.

Así mismo, también se da en el mercado cierta variabilidad de las primas de riesgo y que es modificable a lo largo del tiempo que ha podido ser contrastada a través del coeficiente de correlación entre dos o mas periodos.

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________________________________________Teoria de Carteras EL RIESGO FINANCIERO

Los riesgos mas comunes que en la actividad empresarial pueden encontrarse obedecen generalmente a dos grandes tipos:

1.- Riesgo operativo o de negocio

2.- Riesgo financiero

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1) El Riesgo Operativo

El riesgo operativo o de negocio se deriva de las decisiones que en el seno de la empresa se toman diariamente, ya sea en relación a la producción, distribución, precios, etc.

Adicionalmente, todas las empresas necesitan para su actividad, recursos financieros, que originan el segundo tipo de riesgo.

Una diferencia básica entre ambos tipos de riesgos, es que en el caso de los riesgos financieros son fácilmente transferibles, ya que existen mercados que permiten intercambiar dicho riesgo con otros agentes económicos.

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2) El Riesgo Financiero

Para una correcta gestión del riesgo financiero se han de tener en cuenta las siguientes fases o etapas:

1.- Identificación:

Conocer todos los riesgos a los que la actividad empresarial esta sometida.

2.- Medición:

Cuantificar los distintos riesgos identificados y, si es posible, agregarlos para representarlos en una única magnitud.

3.- Gestión:

Acciones mediante las cuales consigamos el nivel de riesgo deseado.

4.- Control:

Verificación de las actuaciones para asegurar que se ha obtenido el riesgo deseado.

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3) Conocimiento del Riesgo

El Value at Risk (VAR) es una medida estadística del riesgo, ya que resume el riesgo de mercado de una cartera:

Se trata de un simple numero que se calcula para determinar las perdidas máximas que una empresa puede experimentar durante un periodo de tiempo dado, por ejemplo un día, mes o año.

Las Medidas de Sensibilidad cuantifican la exposición a un riesgo individual.

Ejemplos de este tipo de medidas son los ratios delta, Gamma, Vega, etc. así como la duración y convexidad.

Las Medidas de Escenario Unico se basan en la simulación, utilizandose un único escenario.

Con ellas se permite al usuario analizar diferentes escenarios del tipo "what if".

Contienen algunas desventajas, como es la subjetividad, ya que depende la construcción de los escenarios de quien sea el usuario y de la interpretación de los resultados.

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4) Medidas de riesgos financieros:

La duración:

Es la vida media ponderada de una operación considerando todos los flujos en valor presente.

Se trata de la sensibilidad del precio de un bono, préstamo, o inversión respecto al tipo de interes, y por lo tanto es una aproximación de la sensibilidad del precio ante cambios en los tipos de interes.

La duración de una cartera es la media ponderada de sus componentes. Esto, unido a su fácil calculo, hace que sea una medida útil del riesgo.

Sin embargo, ha de tenerse en cuenta que la aproximación que proporciona la duración solamente es valida para pequeños movimientos en los tipos de interés debido al efecto de la convexidad, y a desplazamientos paralelos en la curva de rentabilidad.

Otro método es la utilización de la teoría de carteras, cuyo fundamento se basa en el efecto de las correlaciones entre los distintos componentes que hacen que el riesgo de una cartera sea menor que el riesgo medio ponderado de los activos que la componen.

El Valor en Riesgo (VAR) es una estimación estadística del riesgo de mercado que representa algunas ventajas:

1.- Globaliza todas las posiciones de activo/pasivo y divisa/interes.

2.- Tiene en cuenta correlaciones, no solo entre los distintos puntos de la curva, sino entre distintos mercados.

Cuantifica el riesgo de mercado expresandolo en una única magnitud.

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5) La Volatilidad

Es la medida básica del riesgo y puede utilizarse para medir el riesgo de mercado, de un único instrumento, o de una cartera de valores.

Mide la dispersión de la rentabilidad esperada para el mercado, y puede obtenerse una aproximación a través de varias medidas.

La utilización de una u otra dependerá de la compatibilidad con el modelo de valoración empleado, de la información de que se disponga, etc.

La medida mas utilizada para medir la volatilidad de una variable aleatoria es la desviación típica.

Se distinguen dos formas de estimar la volatilidad:

1.- La volatilidad histórica, que se estima a través de las fluctuaciones del valor de mercado observadas recientemente.

2.- La volatilidad implícita que se estima a través de las primas de una opción. Los modelos de valoración de opciones requieren una volatilidad estimada como dato, aunque también es posible el calculo a través de dicho modelo de la volatilidad implícita para una prima dada de una opción.

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6) Limitaciones de la Volatilidad

Si se ha obtenido con datos recientes puede no ser significativa, y si se obtiene con gran cantidad de datos puede estar desfasada.

La volatilidad histórica puede proporcionar una medida "Falsa" del riesgo, ya que puede ocurrir que se trate de un mercado estrecho, y no exista liquidez del titulo.

La volatilidad varia constantemente en el mercado, por lo que la volatilidad histórica puede no ser significativa.

Estos inconvenientes se pueden superar a través de otras medidas de riesgo, tales como los ratios de sensibilidad y el Value at Risk, ya comentados, que proporciona el riesgo de forma inmediata.

Reflexión:

¿Como cubrirse de los riesgos?

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________________________________________Teoria de Carteras MERCADOS EFICIENTES

En primer lugar:

"¿Qué es un cínico?. Una persona que conoce el precio de las cosas y el valor de nada". Oscar Wilde, El abanico de Lady Windermere.

En segundo lugar:

"¿Cómo puedo haber estado equivocado como para haber confiado en los expertos?". John F. Kennedy (después del desastre de Bahía Cochinos).

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1) Mercados Eficientes

Uno de los conceptos claves de las finanzas corporativas es la teoría de los mercados eficientes, que surgió como respuesta a la cuestión de cómo pueden crear valor los analistas, los gestores de fondos y los tesoreros.

La información disponible se encontraría incorporada a los precios.

Estas condiciones ideales no son las que imperan en la realidad, por lo que resulta practico y habitual distinguir los niveles de eficiencia del mercado, dependiendo de la cantidad de información que se refleja en los precios.

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2) Criterio Débil de Eficiencia

Un mercado satisface el criterio débil de eficiencia si los precios actuales reflejan toda la información contenida en los precios pasados.

En los mercados, los precios pasados no pueden servir de referencia para predecir las oscilaciones de los precios futuros, es decir, no se pueden conocer las tendencias, los ciclos, o cualquier otra pauta de comportamiento que pueda predecir las oscilaciones de los precios.

Supongamos, por ejemplo, que una acción de una empresa agrícola oscila en ciclos anuales, experimentando un alza de su cotización en otoño y una caída en primavera.

Todos los inversores esperan que la caída periódica de la primavera se vea compensada en el otoño, por lo que la acción pasa a ser una apuesta segura, y todos aquellos que conocen su comportamiento cíclico compraran. A la inversa, en otoño, se registrara una fuerte presión de ventas, ya que los inversores anticipan la caída estacional de la cotización.

Sin embargo una situación en la que todos los agentes tienen la oportunidad de realizar operaciones rentables es insostenible, ya que las ventas de acciones de otoño harán caer los precios, mientras que las compras de primavera presionaran a los precios al alza. Es decir el ciclo se destruirá así mismo.

Un argumento similar puede aplicarse a todas las pautas de comportamiento regular de los precios: tan pronto como un numero significativo de inversores descubren dicha regularidad, sus operaciones ajustaran los precios y dicha pauta desaparecerá.

Si los mercados cumplen el criterio débil de eficiencia, no hay margen para aplicar reglas chartistas de inversión, ya que todas se basan en información que ya esta reflejada en los precios del mercado.

Se cumple una regla absolutamente simple:

La mejor predicción de los precios de las acciones en el futuro es su precio actual.

Este resultado se conoce como la hipótesis del paseo aleatorio.

El precio de mañana (pt+1) puede expresarse como el precio de hoy (pt) mas un error aleatorio esperado (Et+1) cuyo valor esperado es cero.

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3) Criterio Semifuerte de Eficiencia

El criterio semifuerte de eficiencia se cumple si toda la información públicamente disponible se refleja en los precios de mercado. Esto requiere que ningún inversor sea capaz de mejorar su predicción de las oscilaciones futuras de los precios mediante el análisis de noticias macroeconómicas como balances, informes anuales y otras fuentes disponibles para el publico.

Esto supone el escepticismo sobre la posibilidad de que los analistas de inversión "fundamentales" escruten los datos relacionados con los rendimientos y los dividendos de una empresa en un esfuerzo por encontrar títulos por debajo de su valor que representen para los inversores un valor particularmente bueno.

La implicación empírica contrastable es que los mercados financieros reaccionaran de manera inmediata y como media adecuadamente a las noticias relevantes.

Ello excluye cualquier sobrerreacción o infrarreacción sistemática, ya que si por ejemplo, tras el anuncio de un aumento del dividendo, todos los inversores que tuvieran conocimiento de ello venderían (o comprarían) inmediatamente después de efectuarse el anuncio.

Si los mercados financieros cumplen el criterio semifuerte de eficiencia, el análisis fundamental, tal como se ha comentado anteriormente, no resultaría útil para la selección de una cartera de acciones mas rentable que la media del mercado.

Sin embargo hay una excepción a esta conclusión:

Si un analista especialmente perspicaz dispone de un modelo propio de procesamiento de la información basado en relaciones entre las variables que nadie ha descubierto hasta entonces, podrá producir información adicional por si mismo.

En la medida en que los resultados de su investigación no se hagan públicos, la compraventa de valores sobre la base de dicha información puede resultar rentable en mercados que cumplen el criterio semifuerte.

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4) Criterio Fuerte de Eficiencia

Un mercado cumple el criterio fuerte de eficiencia si toda la información pertinente, tanto publica como privada, se refleja en los precios del mercado. Esto supone que nadie puede beneficiarse jamas de ninguna información, ni siquiera de información privilegiada o de la generada por el analista perspicaz.

Es conocido que las ampliaciones de capital, los aumentos de dividendo, anuncios de fusiones pueden tener incidencia en el precio de las acciones. Como consecuencia, las personas con información privilegiada pueden beneficiarse claramente antes de que se haga publico el anuncio. Esta forma de actuar es ilegal.

Los precios se ajustan de manera instantánea a las ordenes de compra y venta basadas en información privada. Diversos estudios ponen de manifiesto que los analistas y gestores de fondos no pueden vencer al mercado de manera consistente, pero sin embargo, las operaciones realizadas por personas con información privilegiada de dentro de las empresas son sumamente rentables.

Generalmente los mercados no cumplen el criterio fuerte.

En los mercados eficientes no es posible obtener ganancias extraordinarias identificando la tendencia y cronometrando los aumentos de capital o las recompras de valores en función de la situación del mercado, ni especular sobre las oscilaciones de los tipos de interés al tomar decisiones de endeudamiento a corto o largo plazo.

Análogamente, los cambios contables carecen de valor, al igual que la compra de empresas supuestamente infravaloradas. Las empresas pueden crear valor con sus operaciones de explotación, pero las operaciones financieras son, por regla general, actividades con un VAN nulo, es decir, no crean valor.

Reflexión:

¿Todos los mercados financieros son eficientes?

VALUE AT RISK (VAR)

La técnica VAR es una medida estadística del riesgo.

Puede utilizarse para medir el riesgo de una cartera que no se dispone de datos históricos.

Es utilizada masivamente por entidades que necesitan medir el riesgo de forma continua en carteras negociadas de forma activa.

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1) Definición

El VAR de una cartera puede definirse como la cantidad de dinero tal que la cartera perderá menos de esa cantidad durante un determinado periodo de tiempo con una probabilidad especifica.

Es decir, si para una determinada cartera de valor 100, se obtiene como VaR para una semana 42, con una probabilidad del 95%, significa que existe una probabilidad del 5% de incurrir en perdidas superiores a 42 en el periodo de una semana.

El VAR, por tanto, permite medir el riesgo agregado de mercado, definiendo riesgo de mercado a la incertidumbre en los beneficios que provocan los cambios en las condiciones del mercado, es decir, cuanto podría perderse en el caso de que el mercado se moviera en contra de nuestros intereses.

Para una posición única o simple, la cuantificacion del riesgo vendrá determinada por el tamaño de la posición y la volatilidad del precio.

RIESGO = TAMAÑO POSICION X VOLATILIDAD X PRECIO

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2) Ejemplo

Sea un inversor basado en USD (dólares USA) con una posición en Euros de 150 millones en Euros.

Si el tipo de cambio al contado es de 0.90 USD/EURO, y la volatilidad estimada es de 1.675% (es decir, esperamos que descienda mas del 1.675%, un 95% del tiempo), el calculo des riesgo es :

Riesgo = 150 mill. DEM x 0.90 x 1.675 = 2.261.250 000 Euros

Se ahora la siguiente situación:

El EURO y el CAN (Dólar Canadiense), frente al USD, tienen una baja correlación, cercana a cero (0), mientras que el EURO y el FS ( Franco Suizo) tienen una correlación muy elevada, próxima a (1).

Sea la situación que se presenta en la siguiente tabla:

Posicion (50-50) EURO + CAN EURO + FS

Correlacion 0,00 1,00

Riesgo Individual 50,00 50,00

Suma de Riesgos 100,00 100,00

Diversificacion (30) 0,00

Riesgo Total 70,00 100,00

Las posiciones no correlacionadas siempre generan un riesgo menor que el de la posición resultante de la suma de posiciones.

En posiciones diversificadas ha de tenerse en cuenta la correlación, de la forma siguiente:

RA+B =

Donde:

R = Cantidad diaria sometida a riesgo

= Correlación entre A y B.

La expresión en forma matricial resulta:

RA+B=

Por lo tanto, el riesgo de mercado queda definido de esta forma como la perdida potencial estimada, que dependerá de los cambios estimados en los tipos y de las variaciones resultantes del valor de la posición.

Para el calculo de la variación en el valor de la posición, se puede utilizar la valoración "Delta". que consiste en el producto de los cambios producidos en los precios por la sensibilidad del valor de la posición; y la valoración "completa", calculada a través de la comparación del valor de la posición a los precios modificados, menos el valor de la posición a los precios iniciales.

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3) Metodos para calcular el VAR

1.- Método de Monte Carlo

2.- Método Histórico

3.- Método Delta - Gamma

En todos los casos es necesario estimar la distribución de rentabilidad de una cartera en dos componentes:

1.- Estimando la distribución de probabilidad conjunta para varios factores de riesgo que afectan a una cartera.

Estos factores pueden incluir varios tipos de interes, precio de las acciones o tipos de cambio, asumiendo que los factores de riesgo se distribuyen como una normal, con volatilidades y correlaciones basadas en el comportamiento reciente del mercado.

2.- Determinando una distribución de probabilidad para rendimiento de la cartera basada en la distribución conjunta construida anteriormente y la sensibilidad de la cartera a cada factor de riesgo.

La sensibilidad dependerá de su composición actual, y de este modo, el VAR, estimado refleja la exposición actual de la cartera al riesgo.

El análisis del VAR se puede sistematizar, si bien es necesario disponer de una base de datos de volatilidades y correlaciones estimadas para todos los factores de riesgo que puedan afectar a la cartera.

Condiciones en la selección del método Value at Risk.

El método asume que el precio de todos los productos financieros se distribuyen como una normal.

Utiliza la duración modificada para relacionar el cambio en el precio con el movimiento de los tipos de interés.

Establece con un intervalo de confianza dado las máximas variaciones en el precio de una cartera que se esta dispuesto a soportar.

Adicionalmente deberán considerarse las correlaciones existentes entre los elementos de la cartera.

El método es valido para realizar medidas y controlar riesgos en condiciones normales de los mercados financieros, y es básicamente de aplicación a productos negociados en mercados líquidos y transparentes.

La metodología presupone movimientos paralelos en la curva de tipos de interés no permitiendo simular otros desplazamientos.

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4) Puntos Débiles de la metodologia VAR

Uno de los defectos de la metodología VAR es que solo mide el riesgo futuro en un solo sentido de los dos siguientes:

1.- Como la distribución conjunta de los factores de riesgo esta basada en el comportamiento reciente en el mercado de dichos factores, el análisis no tendrá en cuenta comportamientos repentinos hasta que estos no han tenido lugar.

2.- Ya que el análisis está basado en la estructura actual de la cartera, mide el riesgo futuro de la cartera según dicha composición actual.

Por motivo del primer punto, el análisis VaR, se sustituye por otros métodos, como el Stress Testing, que se expondrá posteriormente.

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5) El Risk Metrics de J.P. Morgan

Es una aproximación del VAR fundamentada en la volatilidad y la correlación, lo que implica un numero de precios históricos, volatilidades de precios y datos correlativos para todos los tipos de transacciones.

Esencialmente, el método calcula las estadísticas VAR basándose en las fluctuaciones pasadas en los precios/series, para todos los productos financieros. Esto puede incluir, por ejemplo los tipos de cambio para dos monedas, curvas de rentabilidades para bonos del Tesoro en USD o precios de renta variable según sean los índices mas importantes.

Para ejecutar este calculo es necesario disponer de los cash flows reales de las transacciones.

Dependiendo del lo detallados que sean los datos y los cálculos, el resultado debería permitir a los usuarios realizar predicciones del siguiente tipo: "Con un 95% de nivel de confianza (seguridad), las perdidas máximas durante la noche podrían ser de 1.335.000 dólares USA", o bien, "con un grado de confianza del 99% de seguridad las perdidas máximas en las que se puede lograr en los siguientes 10 días son de 2.425.000 USD".

Una interpretación del VAR del primer ejemplo es que, en promedio, si todos los demás factores permanecen invariables, un día de cada 20, el banco podría perder 1.335.000 USD. Si este banco tiene un capital de 1.3 millones de dólares USA, en el plazo de un mes estaría en quiebra.

También podría argumentarse que si el banco genera unos beneficios diarios de un millón de dólares y su VAR esta estimado en 1.335.000 existiría una gran probabilidad de que se produzcan unos saneados beneficios acumulados al final de mes, asumiendo de nuevo que el resto de los factores son los mismos. Si el beneficio diario fuese de 10.000 dólares de promedio, el banco reportaría perdidas.

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6) Simulación Histórica

Es un técnica mas sencilla que la anterior ya que no se requieren estadísticas complejas de volatilidad y correlaciones y tampoco es necesario determinar los cash flows subyacentes.

Lo único necesario con esta tecnología es obtener la historia de los precios del mercado para divisas, curvas de rentabilidades, precios y volatilidad de las opciones, en orden a ejecutar múltiples análisis de Perdidas y Ganancias.

Es decir, se calculan partiendo de las posiciones actuales del banco, utilizando la gama de cambios en los precios día a día, a lo largo de un periodo determinado de estos datos históricos.

Por ejemplo, si la cartera se valora a día de hoy en 440.5 millones de USD y existen una serie de 250 curvas de rentabilidad del año anterior, será posible calcular 250 valores estimados de Cartera para el día siguiente, a partir de estos datos.

Partiendo de estos valores futuros de la cartera, es sencillo obtener el VAR resultante para el peor escenario.

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7) Simulación de Monte Carlo

Es el proceso mas exigente de calculo.

En lugar de utilizar precios históricos reales, o disponer de una visión especifica sobre los precios, se realiza un supuesto sobre la dirección que tomaran los precios en el futuro. Por ejemplo, se puede suponer una distribución de probabilidades normal.

Es necesario hacer una hipótesis acerca de que los precios crezcan diariamente con una cierta probabilidad, o bajen diariamente, de una forma predecible.

El proceso elige entonces al azar una de esas posibilidades y calcula el valor de la cartera resultante y el consiguiente VAR.

Este proceso se ha de repetir un numero elevado de veces (p.e. 100.000) y en cada ocasión daría un resultado para el valor de la cartera. Los datos conseguidos conforman el VAR.

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8) Stress Testing

La técnica Stress Testing se utiliza para aplicar los modelos de riesgo asociados a las medidas estadísticas de riesgo, tales como el Value at Risk.

Las medidas estadísticas de riesgo asumen que el comportamiento del mercado es estable, es decir, que las características estadísticas que los mercados han mostrado en el pasado continuaran mostrándose en el futuro de la misma forma.

El VAR no asume en su medida de riesgo que el comportamiento del mercado puede variar y asume por lo tanto que, por ejemplo, para el tipo de cambio EURO/USD:

El tipo de cambio se distribuye como una norma.

La volatilidad esta basada en datos recientes sobre el tipo de cambio.

Supongamos que la distribución haya sido construida de forma que el tipos de cambio EURO/USD, experimenta una variación de 3. Este movimiento se considera extraordinario, pudiendo existir dos explicaciones a tal movimiento:

1.- Se trata de un valor extremo

2.- La volatilidad ha cambiado

El VAR lo hubiese identificado como un valor extremo y no como un cambio en la volatilidad, ya que por definición el VAR, asume el comportamiento del mercado estable a largo plazo, por lo que no puede identificar los riesgos provocados por cambios en el comportamiento del mercado.

El Stress Testing se utiliza para analizar tales riesgos. Puede tomar varias formas, pero en la situación mas típica, el usuario especifica uno o mas escenarios sobre el rendimiento de los mercados para el día siguiente.

Por ejemplo, un banco español quiere hacer una cobertura cruzada del Yen Japones contra el Dolar USA. Un gestor de riesgos del citado banco puede querer comprobar el riesgo que presentan las dos monedas en el movimiento de cada una respecto de la otra.

Históricamente el Yen ha tenido una correlación muy importante con el Dolar, de forma que el modelo basado en el VAR tomaría esa correlación histórica e ignoraría la posibilidad de que ambas monedas fluctuasen de forma acusada una respecto de la otra.

Con el Stress Testing, un gestor de riesgos podría analizar directamente lo que ocurriría si la correlación entre ambas monedas se rompiera, mediante la consideración de, por ejemplo, dos escenarios:

Que el Yen se apreciara un 15% respecto al Dolar durante la próxima semana.

Que el Yen se depreciara un 15% respecto al Dolar durante la próxima semana.

Analizando dicho impacto, se puede llegar a identificar la distintas exposiciones a riesgo que pueden no ser identificadas con otras medidas estadísticas de riesgo, entre las cuales se podrían incluir riesgos asociados a coberturas cruzadas, o de cualquier otro tipo.

En resumen, el Stress Testing es el método mas rápido para calcular el VAR, ya que el banco se preocupa menos de las variaciones históricas de precios y asume sencillamente una variación que le sitúa "En el peor de los casos", para así calcular el VAR.

El banco puede elegir entre movimientos máximos sugeridos de tipos de interés, tipos de cambio y volatilidades.

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9) Análisis Activo/Pasivo

El método de análisis activo/pasivo de medición de riesgos engloba toda una variedad de técnicas, todas las cuales se basan en la gestión de activos y pasivos a través del uso de proyecciones a largo plazo.

Las empresas pueden utilizar este método para comprobar el grado de cobertura de sus activos y pasivos, es decir, el modo en que, por ejemplo, los pasivos mantenidos se encuentran basados en los activos que se poseen.

Teóricamente se podrían utilizar otras medidas estadísticas del riesgo para este propósito, como el Value at Risk, pero en la practica no siempre es posible.

Uno de los efectos de las medidas estadísticas del riesgo es que analizan las fluctuaciones en el valor del mercado de instrumentos o carteras, por lo que solamente pueden aplicarse a sucesos de carácter financiero para los que se encuentran disponibles valores de mercado de cierta exactitud.

Raramente pueden los activos y pasivos que componen el balance de situación se una empresa ser valorados en tiempo real, como ocurre con los valores negociados en los mercados.

Una alternativa a esta situación es el análisis Activo/Pasivo, cuyo fundamento es el siguiente:

1.- Se selecciona un escenario hipotético en el que se describe la evolución de diversas variables financieras, como tipos de interes, inflación, etc., en un horizonte determinado.

2.- Se calcula y comprueba el cash flow generado y el valor contable de los activos y pasivos en el caso de que el escenario descrito se produjera.

3.- Se repite el proceso para otros escenarios diferentes con el fin de obtener un rango de posibles sucesos.

Las variables financieras que se incorporan en los citados escenarios dependerán de los activos y pasivos que se tomen en consideración. Por ejemplo, una aseguradora puede utilizar el análisis activo/pasivo para valorar las anualidades de una cartera de seguros y los activos que soportan dicho pasivo.

Un escenario puede definir diferentes alternativas para los próximos diez años en swaps de tipos de interes, según diferentes políticas de tipos de cancelación y, si los activos incorporan valores hipotecarios, los tipos de cancelación para ese tipo de operaciones.

Posiblemente el escenario ha de reflejar relaciones lógicas entre las diferentes variables, y de esta forma el análisis activo/pasivo se convierte en una metodología flexible que permite comprobar las interrelaciones entre una amplia variedad de factores de riesgo, entre los que se incluirán riesgo de mercado, riesgo de liquidez, decisiones empresariales, ciclos de producto, etc.

Será el usuario quien decida los escenarios apropiados y analice los resultados y determine su significado.

El análisis Activo/Pasivo no es una medida de riesgo sino una herramienta de ayuda para analizar los riesgos, y esto por dos razones:

1.- Si en los mercados aumentan la liquidez, aumentan los productos negociados, con lo que es posible utilizar medidas estadísticas.

2.- El avance tecnológico hace posible la medición estadística en productos que en el pasado no era posible utilizar.

Reflexión:

¿Esta realmente controlado el riesgo por las autoridades bancarias?

EL MODELO DE MARKOWITZ

El inversor se encuentra presionado por dos fuerzas opuestas:

1.- Deseabilidad de ganancias.

2.- Insatisfacción que le produce el riesgo.

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1) Rentabilidad esperada, varianza y covarianza

La rentabilidad esperada es la ganancia que un inversor espera obtener de una acción en un periodo de tiempo. La rentabilidad real puede ser mayor, menor o igual.

La Varianza y desviación Standard se corresponde con la volatilidad de la rentabilidad de un titulo y se calcula de acuerdo con la desviación respecto a la rentabilidad media.

La Covarianza y Correlación supone que las rentabilidades de los títulos individuales se relacionan entre si. La covarianza es una medida estadística de la interacción de dos títulos. La interacción también se puede expresar en términos de correlación entre ellos.

La covarianza y la correlación son dos maneras de medir si dos variables (dos activos) se relacionan.

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2) Rentabilidad

La fórmula generalmente aceptada para el calculo de la rentabilidad es la siguiente:

rs =ln ; Para el Indice General rm = ln ; ln = Logaritmo Neperiano.

Teniendo en cuenta que en el caso de la cotización, será necesario añadir el dividendo neto percibido y el valor del derecho de ampliación cuando proceda.

Para determinar, por ejemplo, las rentabilidades anuales a partir de la rentabilidades mensuales se utilizara la siguiente formula:

rs = - 1

siendo r1, r2, ...r12, las rentabilidades mensuales

Para periodos cortos se suele utilizar la rentabilidad continua:

Sea, por ejemplo, el calculo de la rentabilidad anual de un año determinado a partir de rentabilidades mensuales, la formula a utilizar será:

ln(1+Rn ) = = Rc

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3) Riesgo de una Cartera

A u n activo financiero le podemos calcular rentabilidades diarias, semanales, mensuales y podemos formar un histograma de frecuencias de estas rentabilidades lo que conducirá a que la rentabilidad tendrá una media y una desviación standard.

La media expresara el resultado medio a esperar y la desviación standard, si tomamos las frecuencias como probabilidades, dará la probabilidad de que el valor obtenido se encuentre en un intervalo a derecha e izquierda de la media. Por esta razón la varianza, o desviación standard, mide el riesgo de un activo.

Rentabilidad y riesgo definen el activo, de tal forma que un inversor racional, entre dos activos de igual rentabilidad elegirá el de menor desviación, y entre dos activos de igual desviación el de mayor rentabilidad media.

Covarianza y Correlación

La Rentabilidad Esperada de la empresa Super es:

= 0.175 = 17.5%

Para la empresa Slow:

= 0.055 = 5.5%

Sea la siguiente información :

Estado Economia Rent. Emp, Super R. Esperada: 0.175

Desv. Rent. Esper. Desviación al Cuadrado

Depresión -0.20% - 0.20 x -0.175 = -0.375 (- 0.375)2 = 0.1406

Recesión 0.10% -0.075% 0.00562

Normalidad 0.30% 0.125 0.01562

Prosperidad 0.50% 0.325 0.10562/0.2675

Rent. Emp, Slow R. Esper = 0.0055

Depresión 0.05% -0.005 0.000025

Recesión 0.20% 0.145 0.021025

Normalidad -0.12% -0.175 0.030625

Prosperidad 0.09 0.035 0.001225/0.0529

La desviación cuadrada promedio es :

Super = = 0.066875

Slow = = 0.013225

que se corresponde con la varianza.

La Desviación standard = = 0.2586 = 25.86% y

= 0.1150 = 11.50%

Tenemos por lo tanto definidos las dos características de los activos, por la rentabilidad esperada y la desviación standard.

para Super 0.175% y 0.2586

para Slow 0.055 y 0.115.

Multiplicando la desviación de las dos sociedades tenemos:

( -0.375 x -0.005) = 0.001875

( -0.075 x 0.145) = -0.010875

(0.125 x -0.175) = -0.021875

(0.325 x 0.035) = 0.011375

Total = -0.0195

De donde se deduce que:

= Cov(RA, RB) = = -0.004875

AB = Corr(RA, RB) = = = -0.1629

El significado es el siguiente:

Si las dos rentabilidades de los activos se relacionan positivamente entre si, tendrán una covarianza positiva, pero si la relación que existe entre ambas es negativa, la covarianza será negativa.

Al ser en este caso la covarianza negativa = -0.004875 implica que es probable que la rentabilidad de una accion sea mayor que su promedio cuando la rentabilidad de la otra accion es menor que su promedio y viceversa. La magnitud numérica es en principio difícil de interpretar, pero se soluciona el problema mediante la Correlación.

Si la correlación es positiva, se dice que las rentabilidades se relacionan positivamente, y si es negativa, se relacionan negativamente, si es cero no se relacionan. Fluctúan por lo tanto entre +1 y -1.

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4) Rentabilidad Esperada de una Cartera

XA RA + X B RB

Donde XA y X B son los porcentajes de inversión en los activos A y B respectivamente y RA y RB son las respectivas rentabilidades esperadas de los títulos A y B. La rentabilidad esperada de la cartera es el promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los activos individuales de una cartera.

Un inversor con 100 pesetas invierte 60 en la empresa Super y 40 en la Slow. La Rentabilidad esperada será:

0.6 x 17.5% + 0.4 x 5.5% = 12.7%

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5) Varianza y Desviación Standard de una Cartera

Varianza : X2A A+ 2 XA XB AB + X2B B (Dos Títulos)

En la varianza de la cartera de dos títulos se tiene en consideración la varianza de cada títulos y la covarianza de los Títulos (A con B, y B con A que son iguales)

La varianza mide la variabilidad de la rentabilidad de un titulo y la covarianza mide la relación entre dos títulos.

Una covarianza positiva entre los títulos aumenta la varianza de la cartera, mientras que una covarianza negativa disminuye la varianza de la cartera.

Para el caso de las empresas consideradas anteriormente, y teniendo en cuenta que se invierte 60 pst. en Super y un 40 en Slow, resulta:

Varianza = 0.36 x 0.066875 + 2 x (0.6 x 0.4 x (-0.004875)) + 0.16 x 0.013225. = 0.023851.

Desviación Standard : = = 0.1544 = 15.44%.

Una rentabilidad de -2.74% (12.7 - 15.44%) es una desviación standard menor que el promedio, y una rentabilidad del 28.14% (12.7 + 15.44) es una desviación estandard por encima del promedio. Si la rentabilidad de una cartera esta distribuida normalmente, una rentabilidad de entre -2.74 y + 28.14 % ocurre aproximadamente en un 68% de las veces.

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6) Efecto de la Diversificación

El promedio ponderado de la desviación standard, para una cartera de dos títulos con las características expuestas anteriormente, es la siguiente:

0.6 x 0.2586 + 0.4 x 0.115 = 0.2012

Este resultado supone que la desviación standard de la cartera es menor que el promedio ponderado de las desviaciones standard de los títulos individuales. El motivo de esta diferencia es debido a la diversificación, ya que para las empresas Super y Slow tienen cierta correlación negativa que es: = -0.1639, es decir, es muy probable que la rentabilidad de Super sea ligeramente menor que su media si la rentabilidad de Slow es mayor que su media y al revés.

La varianza de la cartera será:

X2Super + 2XSuper XSlow Slow, Super Slow Super + X2Slow

Varianza = 0.36 x 0.066875 + 2 x 0.6 x 0.4 x (-0.1639) x 0.2586 x 0.115 + 0.16 x 0.013225. = 0.023851

Si Slow Super = 1, (Valor máximo de la Correlación), la Varianza será:

0.36 x 0.066875 + 2 x 0.6 x 0.4 x 1 x 0.2586 x 0.115 + 0.16 x 0.013225. = 0.040466.

Siendo la Desviación Standard = = 20.12

El efecto de la correlación hace disminuir la varianza cuando dicha correlación es negativa, mientras que la aumenta cuando dicha correlación es positiva.

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7) Cartera Eficiente para dos Títulos:

La representación gráfica de la Rentabilidad y Desviación Standard de dos títulos es la siguiente:

El circulo del gráfico representa una cartera con un 60% invertido en Super y un 40% en Slow. Ha de tenerse en cuenta, que es una posibilidad de la multitud de carteras que se pueden formar con los dos títulos.

En la curva del gráfico siguiente se ilustran el conjunto de carteras que se pueden formar:

La cartera 1 esta compuesta por 90% de Slow y 10% de Super.

La cartera 2 esta compuesta al 50% para cada valor.

La cartera 3 esta compuesta al 10% en Slow y 90% Super.

La cartera MV es la cartera de varianza mínima.

Del gráfico anterior se desprenden las siguientes conclusiones:

1.- EL efecto de la diversificación se produce siempre que la correlación entre dos títulos es menor que 1, y en este caso es de 0.1639. La linea recta representa los puntos que se habrían generado si el coeficiente de correlación fuera 1. L cartera I' es una cartera con el 90% de Slow y 10% de Super con coeficiente de correlación 1, sin embargo por el efecto de la diversificación, la cartera 1 tiene la misma rentabilidad, pero menor desviación standard.

2.- El punto MV representa la cartera de varianza mínima.

3.- El inversor se enfrenta a un conjunto de oportunidades y puede situarse en cualquier punto de la curva, mediante la selección de una combinación de los dos títulos. No puede situarse en puntos superiores porque no puede incrementar la rentabilidad de los títulos individuales, reducir la desviación standard de los títulos, ni reducir la correlación de los mismos. Tampoco puede situarse en ningún punto por debajo de la curva porque no puede reducir las rentabilidades, incrementar la desviación standard, ni incrementar la correlación. Dependiendo su aversión al riesgo se situara en un punto u otro de la curva.

4.- La curva gira hacia atrás entre el punto de Slow y MV, lo que supone que la desviación standard decrece, al aumentar la rentabilidad. Esta situación es debida al efecto de la diversificación, ya que los dos títulos tienen correlación negativa entre si.

5.- Ningún inversor desea tener una cartera con rentabilidad esperada menor que la varianza mínima de la cartera. Esto supone que ningún inversor deseará la cartera I, ya que esta cartera tiene una rentabilidad esperada menor, para una desviación standard mayor que la cartera de varianza mínima. Por esta razón los inversores solo consideran la curva de MV a Super como Conjunto Eficiente.

Según sea el coeficiente de correlación, así será la forma de la curva, tal como se expresa en el siguiente gráfico:

Conclusión:

Cuanto menor es la correlación, mayor pronunciamiento de la curva, lo que implica que el efecto de la diversificación se incrementa conforme el coeficiente de correlación decrece.

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8) Cartera Eficiente para muchos títulos

Sean 100 títulos que puede comprar el inversor. El conjunto de oportunidades se encuentra situado dentro de la forma sombreada de la figura siguiente:

El punto 1, por ejemplo, representa una cartera de 40 títulos, el 2 de 80, el 3 de 80 pero distribuidos de forma distinta. Las combinaciones pueden ser infinitas, si bien todas entran dentro de la zona restringida. Ningún titulo o combinación de títulos puede encontrarse fuera de esa zona, lo que supone que nadie puede elegir una cartera con rentabilidad esperada mayor que la que aparece en la zona ya que no se pueden alterar las rentabilidades de los títulos individuales, y nadie puede elegir una cartera con desviación estandard menor que la que aparece en la zona, ya que no existe.

El inversor, al igual que con dos títulos, también se situara entre algún punto del extremo superior entre MV y X y que será la Cartera Eficiente. Cualquier punto por debajo de dicha cartera tendrá una rentabilidad esperada menor y la misma desviación standard, que la situada en el conjunto eficiente. Por ejemplo, R es una cartera eficiente y W estará exactamente debajo de ella. En W presenta el riesgo que desea el inversor, pero eligirá R porque la rentabilidad esperada es superior para el riesgo deseado.

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9) Varianza y Desviación standard de carteras con muchos títulos

Sea N activos. Se construye una tabla que va de 1 a N en el eje horizontal y 1 a N en vertical. Esto supone una matriz de N x N = N2.

Acc. 1 2 3 ..... N

1,00 X12Var1 X1X2Cov(R1,R2) X1X3Cov(R1,R3) X1XnCov(R1,Rn)

2,00 X2X1Cov(R2,R1) X22Var2 X2X3Cov(R2,R3) X2XnCov(R2,Rn)

3,00 X3X1Cov(R3,R1) X3X2Cov(R3,R2) X32Var3 X3XnCov(R3,Rn)

N XnX1Cov(Rn,R1) XnX2Cov(Rn,R2) XnX3Cov(Rn,R3) Xn2Varn

Sea la casilla con dimensión horizontal de 2 y la de dimensión vertical de 3. El termino es X3X2Cov(R3,R2), donde X3 y X2 son los porcentajes de la cartera invertidos en el tercer y segundo activo respectivamente. También resulta que Cov(R3,R2) = Cov(R2,R3). Dado que la dimensión vertical es igual que la horizontal los términos de la diagonal son los porcentajes invertidos elevados al cuadrado por la varianza del titulo. Los términos que se encuentran fuera de la diagonal contienen las covarianzas.

El numero de términos se expresa en la siguiente tabla:

Nº de terminos de Varianza y Covarianza según Nº de acciones

Nº Acciones Nº Terminos Nº Terminos de Var. Nº Terminos de Covar.

1,00 1,00 1,00 0,00

2,00 4,00 2,00 2,00

3,00 9,00 3,00 6,00

10,00 100,00 10,00 90,00

100,00 10.000 100,00 9.900

N N2 N N2 - N

Un hecho importante a tener en cuenta:

La varianza de la Rentabilidad de una Cartera con muchos títulos depende mas de las covarianzas entre los títulos individuales que de las varianzas entre los mismos.

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10) Ejemplo:

Sean las siguientes hipótesis:

1.- Todos los títulos tienen las misma varianza = var.

2.- Todas las covarianzas son las mismas = Cov.

3.- En la cartera todos los títulos se ponderan por igual. Dado que existen N activos, el promedio ponderado de cada activo de la cartera es de 1/N, es decir Xi= 1/N para el titulo i.

Varianza de la Cartera = Nº de términos de la diagonal x Cada termino de la Diagonal + Nº de términos fuera de la diagonal x Cada termino fuera de la diagonal.

Es decir:

Varianza de la Cartera = N x (1/N2) var + N(N-1) x (1/N2)cov =

(1/N)var + ( N2 - N)/N2 = (1/N) + ( 1 - 1/N)cov

que en términos de tabla resulta:

Accion 1 2 3 N

1,00 (1/N2)var (1/N2)cov (1/N2)cov (1/N2)cov

2,00 (1/N2)cov (1/N2)var (1/N2)cov (1/N2)cov

3,00 (1/N2)cov (1/N2)cov (1/N2)var (1/N2)cov

N (1/N2)cov (1/N2)cov (1/N2)cov (1/N2)var

Teniendo en cuenta la formula que expresa la varianza de la cartera, resulta que cuando el Nº de títulos tiende a infinito, la varianza de la cartera será igual a la covarianza.

Esto es un resultado importante y muy interesante, ya que a efectos del riesgo las varianzas de la cartera desaparecen a medida que aumenta el numero de títulos, y sin embargo permanecen las covarianzas.

Esto supone que mediante la diversificación eliminamos parte del riesgo de la cartera, pero no eliminamos la parte que corresponde a la covarianza.

La varianza de una cartera que solamente contiene un titulo es la varianza del titulo. La varianza de la cartera decrece conforme aumentan el numero de títulos, pero nuca podrá llegar a ser cero, ya que permanece la covarianza.

Gráficamente:

Tenemos que var > cov, por lo que la varianza de la rentabilidad de un titulo se puede descomponer de la siguiente forma:

Riesgo total de un titulo = Riesgo de la Cartera + Riesgo no Diversificable, es decir:

var = cov + (var -cov)

Reflexión:

¿Realmente con cuantos titulos cree es posible una elevada disminución del riesgo?

EL MODELO DE MARKOWITZ (CONTINUACIÓN)

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1) Solicitud y concesión de prestamos sin riesgo

Anteriormente se ha representado la frontera eficiente (cartera eficiente) para 100 títulos. El inversor puede convinar una cartera con riesgo (títulos) con otra que no tenga riesgo, como puede ser Letras del Tesoro. Nos encontraríamos con la siguiente tabla:

Rent. Esper. Telefónica Rent. Activo sin Riesgo

Rentabilidad 14% 10%

Desv. Standard 0.20 0

Un inversor desea invertir 1.000 pesetas, de los cuales invertirá 350 en Acciones de Telefónica y 650 en Letras del Tesoro. La rentabilidad esperada de la inversión será igual 0.35 x 0.14 + 0.65 x 0.10 = 0.114

La rentabilidad esperada es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada del activo con riesgo (Telefónica) y del activo sin riesgo (Letras del Tesoro).

La varianza de la cartera del activo sin riesgo y activo con riesgo será:

Varianza : X2Tel Tel+ 2 XTel XB Letra + X2Letra Letra (Dos Títulos)

El activo sin riesgo por definición la rentabilidad es conocida, por lo que su varianza es cero. La covarianza del activo sin riesgo con telefónica es también cero, por lo que resulta:

Varianza de la Cartera = X2Tel Tel = 0.352 x 0.202 = 0.0049

La desviación Standard = 0.35 x 0.20 = 0.07

La representación gráfica de la relación entre rentabilidad esperada y el riesgo de una cartera de un activo con riesgo y otro sin riesgo es la siguiente:

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2) Solicitud de Préstamo

Se solicita un préstamo de 200 pesetas a la tasa sin riesgo (10%). La totalidad de los recursos son 1.200 pst.

La rentabilidad esperada seria:

1.20 x 0.14 + (-0.2) x 0.10 = 14.8%

Se invierte el 120 de la inversión original solicitando el préstamo. La rentabilidad es del 14.8% que es superior al 14% que es la rentabilidad sin solicitar préstamo. Es evidente que la rentabilidad aumenta ya que la tasa sin riesgo es del 10% y la rentabilidad esperada inicialmente es del 14%.

La desviación standard de la cartera será 1.20 x 0.2 = 0.24, que es superior a la inicial ya que el préstamo aumenta la variabilidad.

Si la tasa del préstamo es superior a la rentabilidad esperada, el resultado final seria un desplazamiento de la rentabilidad (linea de puntos).

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3) La Cartera Optima

En el caso anterior, se consideraba un activo con riesgo (Telefónica) y un activo sin riesgo (Letras del Tesoro). Realmente un inversionista puede combina una inversión en el activo sin riesgo con una cartera de títulos arriesgados, tal como se representa en el gráfico siguiente:

Los títulos arriesgados se representan en la cartera Q, que tiene la siguiente composición: 30% en Telefónica, 45% en Repsol y 25% en Iberdrola.

Los inversores combinan Q con inversión en activo sin riesgo, alcanzando puntos a lo largo de la recta Rf a Q. Es la linea I.

En el punto 1 representa una cartera de 70% en Activo sin Riesgo y 30% en acciones representadas por Q. Un inversor con 100 pesetas, invertirá 70 en Activo sin Riesgo y 30 en las acciones representadas por Q, es decir, invertirá 9 pesetas en Telefónica (30% x 30), 13.5 en Repsol (45% x 30) y 7.50 (25% x 30). En el punto 2 también se representa una cartera del activo sin riesgo y Q, con una inversión mayoritaria (65%) en Q.

En el punto 3 se ha solicitado prestamos para invertir en Q. Por ejemplo, se ha solicitado a un banco 40 pesetas para invertir 140 pesetas en Q, es decir, 42 pesetas en Telefónica (30% x 140), 63 en Repsol (45% x 140) y 35 en Bº Santander (25% x 140).

Cualquier inversor puede alcanzar cualquier punto de la linea I, pero ningún punto es el optimo.

Sea la linea II que une Rf con A. A representa una cartera de títulos arriesgados. La linea representa las carteras que se crean mediante combinaciones del activo sin riesgo y los títulos de A. Los puntos conseguidos mas alla de A se logran mediante la solicitud de prestamos a la tasa sin riesgo, para comprar mas de A que lo que compramos con nuestros fondos originales.

La linea II es tangente al conjunto eficiente de títulos arriesgados y cualquier punto que se alcance de esta linea II tiene la misma desviación standard y mayor rentabilidad que el punto correspondiente de la linea I.

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4) Linea de Mercado

A la linea II se le conoce como Linea del mercado de Capitales, y es el conjunto eficiente de todos los activos, tanto arriesgados como sin riesgo. Un inversor con alto grado de aversión al riesgo podrá seleccionar un punto entre Rf y A. Un inversor adverso al riesgo se podrá situar en A. El punto 5 corresponde a una persona que solicita dinero prestado para incrementar su inversión en A.

Con la solicitud y el otorgamiento de prestamos a la tasa sin riesgo. la cartera de activos arriesgados que un inversor tiene siempre será el punto A. No eligirá ningún otro punto del conjunto eficiente (XAY) ni tampoco el de la región variable (Interior del conjunto cerrado). Si fuera muy adverso al riesgo invertiría en A y en activo sin riesgo. Si fuera poco adverso al riesgo solicitaría un préstamo a la tasa del activo sin riesgo para invertir mas fondos en A.

Este principio se denomina Principio de Separación, ya que el inversor toma dos decisiones por separado:

1.- Después de calcular la rentabilidad esperada y las varianzas de los títulos individuales, y las covarianzas entre los pares de títulos, el inversor calcula el conjunto eficiente de activos arriesgados, representado por la curva XAY y determina el punto A, por la tangente entre la tasa sin riesgo y el conjunto eficiente de activos arriesgados (XAY). El punto A representa la cartera de activos arriesgados que tendrá el inversionista.

2.- Posteriormente, el inversor tiene que determinar la forma de combinar el punto A, con en activo sin riesgo. Podría invertir parte en A y parte en activo sin riesgo, con lo que se situaría en algún punto de Rf a A. De modo alternativo, podría solicitar un préstamo a la tasa sin riesgo e invertir todo en la cartera A. Esto supondría un punto sobre la linea II, mas alla de A.

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5) Cartera de equilibrio de Mercado

Puede imaginarse un mundo en el que todos los inversores tienen las mismas estimaciones de las rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas, ya que disponen de la misma información. Este supuesto se denomina como expectativas homogéneas.

Si esto fuese de esta forma, todos los inversores obtendrían el mismo conjunto eficiente de activos arriesgados, ya que trabajarían con la misma información. Este conjunto eficiente de activos arriesgados se representaría mediante la curva XAY. Todos los inversores consideran el punto A como la cartera de activos arriesgados que deben tener porque a todos se les aplicara la misma tasa sin riesgo.

Los inversores con alto grado de aversión al riesgo combinaran A con inversión en activo sin riesgo. Los poco adversos al riego tomaran un préstamo para invertir en la cartera A, por lo que se situaran, por ejemplo, en el punto 5.

Si todos los inversores eligen la misma cartera de activos arriesgados, se tratara de una cartera con todos los títulos del mercado, y se le llamara Cartera de Mercado.

La medida del riesgo de una cartera numerosa es conocida con el nombre de beta de la cartera, y que trasladada a un titulo resultara la beta de dicho titulo, cuya formula es la siguiente:

donde (RM) es la varianza del mercado

Intuitivamente, la beta mide la sensibilidad de un cambio de la rentabilidad de un titulo individual al cambio de la rentabilidad de la cartera del mercado. La Beta promedio de todos los títulos de la cartera de mercado toma el valor de 1:

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6) Aproximación a la Beta

Sea la siguiente situación:

Estado Tipo Economia Rent. Mercado Rent. BBV

I Alza 15,00 25,00

II Alza 15,00 15,00

III Ala Baja -5,00 -5,00

IV A la Baja -5,00 -15,00

Suponiendo que los cuatro estados son igualmente probables:

Economia Rent. Mercado Rent. Esperada BBV

Alza 15% 20% = 25% x 1/2 + 15%x 1/2

A la Baja -5% -10% = -5% x 1/2 + (-15%) x 1/2

La rentabilidad del mercado en una economía al alza es del 20% (15- (-5)) mas alta que en una economía a la baja. Así mismo, la rentabilidad esperada del BBV en una economía al alza es del 30% (20 -(-10)) mas alta que en una economía a la baja. De esta forma BBV, tiene un coeficiente de sensibilidad de 1.5 (30%/20%).

En el siguiente gráfico se ilustran las rentabilidades del Mercado y del BBV:

La linea que une los puntos de rentabilidad esperada del mercado y del BBV, se le denomina Linea Característica del BBV. La inclinación es de 1.5 y es el coeficiente de sensibilidad, la Beta, del BBV.

El significado es que en las alzas el BBV subirá 1.5 veces mas que el mercado, y en las bajas, bajara también 1.5 veces mas que el mercado.

Reflexión:

¿Que restricciones más importantes encuentra en el modelo?

1) Formulación del Modelo

Sean las siguientes definiciones:

Mercado: Conjunto de todos los valores que cotizan en Bolsa.

Rentabilidad / Riesgo del valor s:

rs = rm +

Siendo:

rs = Rentabilidad valor s

rm = Rentabilidad del Mercado (Indice General Bolsa Madrid)

= Coeficiente Variabilidad del valor s

= Residuo

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2) La Rentabilidad y Riesgo

La Rentabilidad se puede descomponer:

Rentabilidad Sistemática: rm. Depende rentabilidad del mercado

Rentabilidad no Sistemática: que depende del propio valor s

Rentabilidad media Sistemática = m

Rentabilidad media no Sistemática = , ya que = 0 por hipótesis del modelo.

La misma descomposición se puede hacer del Riesgo.

Riesgo Sistemático =

Riesgo no Sistemático = , ya que la desviación típica de = 0.

La descomposición del Riesgo Total del valor s, se hace en términos de Varianza =

= +

Gráficamente:

El coeficiente de correlación, junto con el de variabilidad, ayuda a la descomposición del riesgo, ya que:

=

Esta expresión dice que el cuadrado del coeficiente de correlación mide la parte de la varianza del valor explicada por la varianza de la rentabilidad del mercado.

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3) Formulación para n Valores

Una cartera de n valores supone que la rentabilidad de dicha cartera sigue muy de cerca la rentabilidad del mercado, de aquí que cuanto mayor sea el numero de valores, el coeficiente de correlación , aumenta. En segundo lugar, el riesgo sistemático de la cartera, que depende del mercado, será el resultado de multiplicar el riesgo de mercado por la de la cartera:

Riesgo Sistemático de la Cartera =

donde: =

siendo xs la proporción del precio de mercado de la cartera correspondiente al valor s. Lo que significa que el riesgo sistemático de una cartera es la media ponderada del riesgo sistemático de los valores que componen la cartera

Conclusión:

En toda cartera, una parte del riesgo (medido por 2) es reflejo del riesgo total del mercado (riesgo sistemático). El resto es riesgo propio (riesgo no sistemático). A medida que aumenta la diversificación, aumenta y aumenta la parte del riesgo explicado por el mercado. En una cartera perfectamente diversificada ( 2) todo el riesgo será riesgo de mercado.

Aumentando la diversificación puede reducirse el riesgo de la cartera, pero no eliminarse totalmente, ya que el riesgo sistemático no es diversificable.

Rentabilidad y Riesgo del titulo X

Rentabilidad mensual media:

m = 0.0113

x = 0.00216

Rentabilidad mensual anualizada:

Indice General = 0.0113 x 12 = 13.57%

Valor x = 0.0216 x 12 = 25.87%

Volatilidad mensual:

m = 0.0689

x = 0.0857

Volatilidad mensual anualizada:

Indice General: 0.0689 x = 23.89%

Valor x: 0.0857 x = 29.68%

Recta de Regresión (Valores anualizados):

= 11.82 x = 1.03573

2 = 0.6940

= 0.0476 x = 16.47%

Riesgo específico y sistemático (valores anualizados)

= +

29.6822 = 1.035322 x 23.8822 + 16.4722 = 24.7322 + 16.4722

883 = 612 + 271

= 0.69 = 2

El riesgo total del valor x, en términos de varianza es del 69%, siendo el riesgo específico del 31%.

Gráficamente:

La recta de regresión estimada forma con el eje horizontal un ángulo de 46º, cuya tangente, igual a 1.0357, corresponde a la del valor x. La Rentabilidad anual media del Indice General es de 13.57% y la del valor x del 25.87%.

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4) Regresión Valor x / Indice General

+

rx = 11.82 + 1.0357 x m +

rx = 11.82 + 1.0357 x 13.57 = 25.87

Sea la siguiente tabla de la Bolsa de Madrid periodo 1985 - 1996:

Regresiones con el Indice General de la Bolsa de Madrid 1985-1996

Rent. Media = rm = 13.57 Riesgo = 23.88%

Indice a Beta Beta x R. Med. Rent. Med. Ries.

Total Riesgo Sistemat. Ries. Espec. p2

Bancos 0.54 0.99 13.41 13.95 25.89 23.64 10.65 0.83

Electric. 6.25 0.75 10.17 16.42 24.63 17.91 16.98 0.53

Alimen. -6.53 1.07 14.52 7.99 30.00 25.55 15.76 0.73

Constr. -3.96 1.32 17.84 13.88 35.72 31.52 17.07 0.77

Invers. 3.13 0.70 9.47 12.60 26.51 16.72 20.69 0.40

Comun. 2.38 0.84 11.40 13.78 24.82 20.06 14.68 0.65

Metal. -9.52 1.30 17.64 8.12 38.23 31.04 22.38 0.66

Quim. -3.41 1.14 15.51 12.10 31.41 27.22 15.60 0.76

Varios -16.72 1.28 17.35 0.63 35.89 30.57 18.93 0.72

B. Sant. 6.57 0.86 11.66 18.23 29.09 20.54 20.69 0.50

B. Pop. 11.82 1.04 14.05 25.87 29.68 24.84 16.47 0.69

Sevill. 6.62 0.80 10.92 17.54 29.85 19.10 22.93 0.41

Azuc. 8.87 0.88 11.98 20.85 39.93 21.01 34.04 0.28

Dragad. -3.99 1.36 18.43 14.44 42.96 32.48 28.27 0.57

Uralit. -15.41 1.87 25.41 10.00 54.08 44.66 30.50 0.68

Telefo. 6.34 0.85 11.51 17.85 26.67 20.30 17.41 0.58

Zardoy. 12.23 0.76 10.34 22.57 32.73 18.15 27.30 0.31

Sarrio -18.04 1.55 21.04 3.00 51.60 37.01 36.07 0.52

La tabla anterior ha sido construida a partir de los índices mensuales de la Bolsa de Madrid y de las cotizaciones de los distintos títulos durante el periodo 1985 - 1996.

Para cada sector y valor se ha efectuado las mismas operaciones que en el caso del valor x, siendo a rentabilidad específica media; el coeficiente de variabilidad de la rentabilidad del valor respecto del índice general; es decir, su sensibilidad a las variaciones de la rentabilidad; m la rentabilidad sistemática media; es la suma de la rentabilidad especifica y la rentabilidad sistemática o rentabilidad media total; es la volatilidad anualizada que constituye una medida del riesgo total; m es el riesgo sistemático y el riesgo específico o diversificable. Las varianzas si son aditivas, no así las desviaciones estandard. Finalmente 2 expresa el tanto por uno de la varianza que se explica por la varianza del mercado.

La tabla esta construida a partir de la rentabilidad media del mercado ( m), da la rentabilidad media de cada sector y de cada accion; pero si rm toma un valor distinto, por encima o por debajo de la media, es de esperar que la rentabilidad del índice o de las acciones variara en el mismo sentido.

Por ejemplo, Sevillana, supongamos que rm pase a ser 10%, la rentabilidad de Sevillana tendera a ser 6.62 + 0.80 x 10 = 14.62%. Se dice que tendera ya que es posible que el valor en la realidad adopte otro distinto; la diferencia entre el valor predicho por la ecuación y el valor real es precisamente el residuo que completa la ecuación. De acuerdo con la se observa la "cantidad" de riesgo sistemático que tiene cada índice y cada acción; así, por ejemplo, el sector de la construcción, con = 1.32, es el mayor riesgo sistemático tiene ( m).

A partir del riesgo total, , y gracias a 2 nos damos cuenta de la proporción que tiene el riesgo sistemático dentro del riesgo total. Así el sector bancos es el que tiene mayor proporción de riesgo sistemático, y por lo tanto menor riesgo específico, si bien tiene menor riesgo total y sistemático que construcción. Entre las acciones, Zardoya, aunque tenga un fuerte riesgo total, la proporción de riesgo sistemático, en términos de varianza, es solamente del 31%. El mercado solamente remunera el riesgo sistemático, que no es diversificable, por lo que aquellos títulos que tienen mayor riesgo sistemático, suelen tener un mayor coste de capital.

Reflexión:

¿Realmente sirven las Betas para gestionar Carteras?

EL MODELO C.A.P.M.

Objetivo del C.A.P.M.:

1.- Determinar la rentabilidad de cada activo en función de su riesgo.

2.- Obtener un indicador adecuado de dicho riesgo.

El riesgo específico se puede eliminar por la diversificación, por lo que el mercado no lo remunera, por lo que solamente remunera el riesgo sistemático.

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1) Hipótesis del C.A.P.M.:

La Rentabilidad esperada de los activos estará relacionada con el riesgo sistemático.

Riesgo Sistemático valor i = i m

La expresa el riesgo sistemático de un valor respecto al riesgo del índice del mercado. Es el coeficiente de variabilidad de la rentabilidad del valor o de la cartera, respecto del riesgo del mercado, por lo que es un indicador del Riesgo Sistemático del valor o de la cartera.

Rentabilidad Activo sin Riesgo (Deuda Publica) = rf

Riesgo del Activo sin Riesgo = f = 0

Rentabilidad del Indice General = rm

Riesgo del Indice General = = 1.

La rentabilidad de un activo, r, tendrá un riesgo determinado, .

Todo inversor que invierte en el mercado asume un riesgo por el que percibe una prima, medida por la diferencia entre la rentabilidad del mercado o del valor y la rentabilidad sin riesgo.

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2) Prima de Riesgo:

Del Mercado: rm - rf

Del Valor s: rs - rf

Un inversor espera obtener la prima de riesgo que desee, invirtiendo una parte de sus recursos en el mercado y el resto en renta fija sin riesgo.

Si disponemos de una unidad monetaria e invertimos x en el mercado, la inversión en renta fija sea 1-x. La Beta mixta de esta inversión será:

de la inversión = (x) . Beta Mercado (1) + (1-x). Beta Renta fija (0).

= x, es decir, la beta de la inversión es la parte invertida en el mercado.

Prima de Riesgo de la inversión:

(x).(Prima riesgo esperada en el mercado) + (1-x).(Prima esperada renta fija).

Es decir:

rs - rf = (x).(rm - rf) + (1-x). (0)

por lo que:

rs - rf = x.(rm - rf),

pero como x =

rs - rf = .(rm - rf) que es la formulacion del C.A.P.M.

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3) Actuación del Inversor:

Si se coloca:

Todo en renta fija: x = 0, = 0, Prima de Riesgo = 0

Todo en Mercado: x = 1, = 1, Prima de Riesgo = Prima de Mercado.

Parte en el Mercado, y en Renta Fija: x<1, < 1, Prima de Riesgo > Prima de Mercado.

Parte en el Mercado con préstamo de Renta fija x>1, >1 Prima de Riesgo > Prima de Mercado.

Otra conclusión:

Ningún inversor aceptara invertir en un valor o cartera de renta variable si su prima por riesgo, .(rm - rf) es inferior a una inversión mezcla de mercado y renta fija, colocando en el mercado una parte igual a la del valor.

También ningún valor puede tener una prima de riesgo superior a .(rm - rf), ya que el título estaria infravalorado y existiria demanda para el titulo, lo que haría subir el precio y descender su rentabilidad.

La prima esperada de riesgo para todos y cada uno de los valores ha de ser:

rs - rf = .(rm - rf)

Siendo la el coeficiente del valor, o la sensibilidad del valor a los movimientos del mercado.

La conclusión es que los títulos con mayor han de ser los mas remunerados, porque tienen mucho riesgo diversificable. Los que tienen una baja, aunque tengan mucho riesgo total, son menos remunerados, ya que gran parte del riesgo es diversificable y no se remunera.

La formula anteriormente expresada, puede escribirse también:

rs = rf + .(rm - rf)

que es una formulacion mas conocida del C.A.P.M.

La representación gráfica es la siguiente:

Suponiendo constante la prima del mercado: (rm - rf), la formula anterior da lugar a la denominada Linea de Mercado o LMS, en la que si el C.A.P.M. se cumple, ha de situarse todo valor.

La cartera del mercado, o el Indice, cuya = 1, tiene como rentabilidad esperada rm. Los valores o carteras con > 1, tendrán una rentabilidad esperada superior a rm, y los valores con < 1 tendrán rentabilidades esperadas inferiores a rm.

Para = 0, le corresponde la rentabilidad del activo sin riesgo rf

Gráficamente se expone a continuación:

La consecuencia de esta situación es que si un valor se sitúa por encima de la linea de mercado, dicho valor se encuentra infravalorado, y si esta por debajo, sobrevalorado.

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4) Contrastación del C.A.P.M.

Sea la rentabilidad media de un valor s derivado del C.A.P.M. que lo igualaremos a la formula anteriormente expuesta, por lo que:

s = rf + ( m - rf)

La rentabilidad media del mismo valor derivada de la regresión del mercado es la siguiente:

s = + m

Para que la igualdad se verifique es necesario que:

= rf - rf = rf (1 - )

Es decir, que la rentabilidad especifica de un valor es igual a la rentabilidad del activo sin riesgo por el complemento a 1 de la del valor. Si la expresión anterior no se cumple, presentara un diferencia , de tal forma:

= - rf (1 - ) que expresa la diferencia entre la rentabilidad esperada por el modelo y la observada.

La formula corregida será:

= rf + ( m - rf ) +

Es necesario tener muy presente que el coste de los fondos propios esta determinado por la rentabilidad que el mercado espera de las acciones de la empresa. Lo que interesa conocer es si, a partir de la rentabilidad sin riesgo y de la prima de riesgo del mercado, conocida la de una accion, se puede deducir el coste del capital propio de la empresa emisora.

Es necesario conocer, por lo tanto, lo siguiente:

rm = Rentabilidad del mercado.

rf = Rentabilidad del activo sin riesgo.

y la diferencia entre ambas que nos dará la prima de riesgo del mercado.

Para rm se tomara la rentabilidad del Indice General de la Bolsa de Madrid desde 1985 a 1996, y que ha tenido una rentabilidad media anual del 13.57%.

Para rf se empleara la rentabilidad de las Letras del Tesoro a 1 año. Durante un periodo similar ha sido del 10.72%.

La prima de riesgo del mercado es: PRM = 13.57 - 10.72 = 2.85

Esto quiere decir que para compensar el riesgo debido a la volatilidad, la rentabilidad del mercado, cartera de valores que componen el índice, debe de ser en cada momento, cerca de tres puntos superior a la rentabilidad de la renta fija en ese momento. En términos de C.A.P.M., conocida la de un valor, su rentabilidad esperada será igual al resultado de añadir a la rentabilidad del activo sin riesgo veces 2.85 puntos porcentuales.

Con esta información se pueden calcular las rentabilidades que, según el C.A.P.M. deberían haber tenido en el periodo 1985 - 1995 los índices sectoriales y las acciones elegidas.

Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla:

Rentabilidades Observadas y Rentabilidades Deducidas del CAPM. Datos mensuales 1985-1996

Rent. Med. = rm = 13.57 rf = 10.72%

Regresión con Mercado CAPM (1)

Indice a Beta (2) (3) (4)

Bancos 0.54 0.99 13.95 13.54 0.41

Electric. 6.25 0.75 16.42 12.86 3.56

Alimen. -6.53 1.07 7.99 13.77 -5.78

Constr. -3.96 1.32 13.88 14.41 -0.53

Invers. 3.13 0.70 12.60 12.70 -0.10

Comun. 2.38 0.84 13.78 13.11 0.67

Metal. -9.52 1.30 8.12 14.43 -6.31

Quim. -3.41 1.14 12.10 14.00 -1.90

Varios -16.72 1.28 0.63 14.34 -13.71

B. Sant. 6.57 0.86 18.23 13.17 5.06

B. Pop. 11.82 1.04 25.87 13.60 12.27

Sevill. 6.62 0.80 17.54 13.06 4.48

Azuc. 8.87 0.88 20.85 13.27 7.58

Dragad. -3.99 1.36 14.44 14.57 -0.13

Uralit. -15.41 1.87 10.00 16.08 -6.08

Telefo. 6.34 0.85 17.85 13.14 4.71

Zardoy. 12.23 0.76 22.57 12.90 9.67

Sarrio -18.04 1.55 3.00 16.14 -12.14

(1) r = rf + (rm - rf ) +

(2) r = + m

(3) r = rf + ( m - rf )

(4) = - rf (1 - )

Las diferencias han sido apreciables en muchos casos, ya que bancos, eléctricas y comunicación se han comportado mejor que lo esperado, sin embargo alimentación, construcción, inversión, metal - metálica y petróleo - químicas se han comportado peor. En el sector varios la rentabilidad observada no tiene nada que ver, con la que tendría que ser de acuerdo con el C.A.P.M. En cuanto a las acciones, seis de ellas se han comportado mejor y solo tres peor, con una gran diferencia en Sarrio.

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5) Linea de Mercado

En el gráfico siguiente se representa la Linea de Mercado, que de acuerdo con el C.A.P.M., debería contener las rentabilidades, reflejadas en el eje vertical, correspondientes a las de los Sectores y las acciones analizadas. La nube de puntos que rodea la recta y su alejamiento, da fé del cumplimiento del C.A.P.M. en los casos analizados.

Reflexión:

Si la contrastación del C.A.P.M. no es la esperada ¿Supone la anulación de la hipotesis del modelo?

EL A.P.T.

La Teoría de Valoración por Arbitraje (APT) supone que las rentabilidades de los títulos se derivan de ciertos factores industriales y del mercado.

La correlación entre un par de títulos sucede cuando estos dos títulos se ven afectados por el mismo o los mismos factores.

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1) Hipótesis

El C.A.P.M. permite la correlación de los títulos, si bien no especifica los factores subyacentes que originan la correlación.

Tanto A.P.T. como C.A.P.M. implican una relación positiva entre rentabilidad esperada y riesgo, si bien el A.P.T. los relaciona de forma mas intuitiva y considera al riesgo de un modo mas general que solo la varianza y Beta estandarizada de un titulo con la cartera del mercado. Por lo tanto A.P.T. es una alternativa al C.A.P.M.

La rentabilidad de un titulo consta de dos partes:

1.- La Rentabilidad Esperada o normal que es la parte de la rentabilidad que los accionistas esperan o pronostican y que depende de toda la información que tiene el accionista sobre las acciones en concreto.

2.- La Rentabilidad incierta o arriesgada de las acciones, que se deriva de la información que se dará a conocer dentro de uno, dos etc.. meses, es decir:

R = + U, siendo:

R = Rentabilidad Total; = Rentabilidad Esperada y U = Parte de la rentabilidad inesperada.

Es de destacar que en U se recoge solamente la parte no prevista inicialmente de la rentabilidad.

Cuando se publica una noticia sobre un dato económico resulta:

Anuncio = Parte Esperada + Sorpresa.

La Sorpresa es la que influye en la rentabilidad esperada y que no ha sido anticipada.

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2) Riesgo Sistemático y no Sistemático

El verdadero riesgo de la inversión proviene de la parte no prevista de la rentabilidad, es decir de la sorpresa.

Riesgo Sistemático: Cualquier riesgo que afecta a un gran numero de activos, cada uno en mayor o menor grado.

Riesgo no Sistemático: Riesgo que afecta específicamente a un activo en particular o un grupo reducido de activos.

Crecimiento del PNB, tasa de inflación, se considera riesgo sistemático.

Modificaciones en la legislación bancaria solamente afecta a los bancos y se considera como no sistemático.

R = m + ; siendo m el riesgo de mercado o riesgo sistemático y el riesgo especifico.

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3) Riesgo Sistemático y Beta

El coeficiente Beta indica la respuesta de la rentabilidad de la accion al riesgo sistemático, y mide la sensibilidad de la rentabilidad de un titulo al factor de riesgo especifico (rentabilidad del mercado).

Si, por ejemplo, las acciones de una empresa se relacionan positivamente con el riesgo de la inflación, tales acciones tienen una beta de inflación positiva. Si se relación negativamente con la inflación, su beta de inflación es negativa, y si no se correlacionan con la inflación, su beta de inflación es cero.

Supongamos que se han identificado tres riesgos sistemáticos que queremos centrar y que son suficientes para describir los riesgos sistemáticos que influyen en la rentabilidad de las acciones. Estos son: Inflación, PNB y tasas de interés. Todas las acciones tendrán una beta asociada con uno de estos riesgos sistemáticos: Una beta de inflación, una beta del PNB y una beta de la tasa de interes.

La rentabilidad de las acciones se puede expresar:

R = + U = + m + = +

donde las betas representan respectivamente, la Beta de la Inflación, del PNB y del tipo de Interés. F es la sorpresa producida por la inflación, por el PNB y por la tasa de interés.

Sea el siguiente ejemplo:

Supongamos que a principios de año se pronostica una inflación de 5%. El PNB se incrementara en un 2% y la tasa de interes permanecerá constante. Las acciones que se contemplan tienen las siguientes Betas:

I = 2, PNB = 1 y r = -1.8

Las acciones con Beta = 1 significa que las acciones registran un aumento del 1% en la rentabilidad por cada aumento por sorpresa del 1% en el PNB. Si la Beta fuese de -2 , las acciones bajarían un 2% si el PNB descenderá un 1%.

Durante el año han ocurrido los siguientes hechos:

La inflación aumenta el 7%, el PNB aumenta solo el 1% y la tasa de interes bajan el 2%. Se reciben buenas noticias de la empresa, con gran éxito en su estrategia comercial y que su desarrollo no previsto contribuye con el 5% a su rentabilidad, es decir, = 5%.

Resulta:

F1 = Sorpresa en la Inflación = Inflación Real - Inflación Esperada =

= 7% - 5% = 2%.

De forma similar:

FPNB = Sorpresa del PNB = PNB real - PNB esperado = 1% -2% = -1%.

FR = Sorpresa cambio tipo de interes = Cambio real - Cambio esperado = - 2% - 0% = -2%

También sabemos que:

m = Parte del riesgo sistemático de la rentabilidad =

= I FI + PNB FPNB + rFr = (2 x 2%) + (1 x (-1%)) + ((-1.8) x (-2%)) = 6.6%

por lo que:

m + = 6.6% + 5% = 11.6%.

Si, por ejemplo, la rentabilidad esperada de las acciones para el año es del 4%, la rentabilidad total de los tres componentes será:

R = + m + = 4% + 6.6% + 5% = 15.6%

Este el Modelo de Factor, y las fuentes sistemáticas de riesgo, que denominamos F, reciben el nombre de Factores.

En general, un Modelo de Factor k, es un modelo en el que la rentabilidad de cada acciones es generada por:

R = + I FI + 2 F2 + ........ K FK +

donde es especifico para una accion en particular y no se correlaciona con el termino de otras acciones.

En la practica se utiliza un modelo de Factor único, por ejemplo, la rentabilidad del Ibex, por lo que la rentabilidad se puede expresar:

R = + (RIBEX - IBEX) +

Al existir un solo factor se da el nombre de Modelo de mercado al modelo de factor, expresandose el modelo de la siguiente forma:

R = + (RM - M) +

donde RM es la rentabilidad de la cartera de mercado. La única se conoce como coeficiente Beta.

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4) Carteras y Modelos de Factor

Se va a analizar lo que sucede a las carteras de acciones cuando cada accion sigue un modelo de un factor. Se considerara el periodo de un mes y se crearan carteras a partir de la lista de N acciones aplicando el modelo de un factor para comprender el riesgo sistemático. La i-ésima acción de la lista tendrá, por lo tanto, rentabilidades de:

RI = i + i F + i. (1)

El factor que representa el riesgo sistemático podría ser una sorpresa en el PNB o bien se podría utilizar el modelo de mercado y dejar que la diferencia entre rentabilidad del Ibex y la rentabilidad esperada sea dicho factor F. El factor se aplica a todas las acciones.

La i representa la única forma en que el factor influye en la iesima accion.

Si i = 0 la rentabilidad de la iesima accion será:

Ri =

Es decir, el factor, F, no afecta las rentabilidades de la iesima accion si i es cero. Si i es positivo, los cambios positivos del factor incrementan las rentabilidades de la iesima accion y los cambios negativos de éste las reducen. Si i es negativo, sus rentabilidades y el factor se mueven en direcciones opuestas.

El la figura siguiente se ilustra la relación entre las rentabilidades excesivas de una accion Ri - y el factor F para betas diferentes, donde i > 0. Las lineas de la figura representan la ecuación (1), suponiendo que no haya habido ningún riesgo no sistemático, es decir i= 0.

Dado que suponemos betas positivas, las lineas tienen pendiente positiva. So F = 0 , la linea pasa por el origen.

A continuación se va a analizar cuando las acciones siguen un modelo de un factor. Supongamos que X, es la proporción del titulo i en la cartera. Es decir, si un individuo tiene una cartera de 100 pesetas quiere invertir 20 en Telefónica, decimos que XTEL = 20%. Para N títulos resultara:

X1 + X2+X3 +...................XN = 1

la rentabilidad de la cartera será:

Rp= X1R1 + X2R2 +X3R3 +..................+ XNRN

Sustituyendo cada R, en la ecuación (1) resulta:

RP = X1(

La rentabilidad de la cartera se determina mediante tres conjuntos de parámetros:

Rentabilidad esperada del titulo individual,

La beta de cada titulo multiplicada por el factor F

El riesgo no sistemático de cada titulo individual i

Expresando la ecuación anterior en función de estos tres conjuntos de parámetros:

Promedio ponderado de las rentabilidades esperadas:

Rp = X1

Promedio ponderado de las Betas x F:

+ +

Promedio ponderado de los riesgos no sistemáticos:

+

La primera expresión es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada de cada titulo, los términos entre paréntesis de la segunda expresión representan el promedio ponderado de la beta de cada titulo. La tercera expresión representa el promedio ponderado de los riesgos no sistemáticos de los títulos individuales. La incertidumbre esta recogida a través del factor F.

Es decir, mientras sabemos que el valor esperado de F es cero, se desconoce cual será su valor durante un periodo de tiempo determinado. La incertidumbre se refleja en la tercera expresión mediante cada riesgo no sistemático, i

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5) Carteras y Diversificación

En una cartera diversificada desaparece la tercera expresión ya que cada titulo tiene su riesgo sistemático, en el que la sorpresa de una accion no se relaciona con la otra.

Invirtiendo una cantidad reducida en cada titulo, el promedio ponderado de los riesgos no sistemáticos se aproximara mucho a cero cuando la cartera esta compuesta por muchos títulos. La segunda expresión no desaparece porque el factor F no resulta afectado cuando se agregan títulos a la cartera. En la primera expresión ya que no existe incertidumbre, por muchos títulos que se añadan a la cartera nunca desaparecerá.

La clave de la desaparición de la tercera expresión es la existencia de muchos riesgos no sistemáticos. Dado que estos riesgos son independientes entre si, el efecto de la diversificación se agudiza conforme se suman activos a la cartera. La cartera es cada vez menos arriesgada y la rentabilidad mas segura.

El riesgo sistemático, F, afecta a todos los títulos ya que se encuentra fuera del paréntesis.

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6) Ejemplo:

Sean los siguientes supuestos:

1.- Todos los títulos tienen la misma rentabilidad esperada del 10%. Esto supone que la primera expresión deberá ser igual a 10%, ya que la ecuación es un promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los títulos individuales.

2.- Todos los títulos tienen una beta de 1. la suma de los términos entre paréntesis de la segunda expresión es 1, ya que dichos términos son un promedio ponderado de las betas individuales. La expresión final será de 1XF= F

3.- Sea el inversor Sr Bolsa que decide tener una cartera igualmente ponderada. Es decir, la proporción de cada titulo de su cartera es de 1/N.

La rentabilidad de la cartera del Sr. Bolsa será:

Rp = 10% + F +

A medida que n tiende a infinito, la expresión correspondiente es cero. por lo que la rentabilidad de la cartera del Sr. Bolsa será:

Rp = 10% + F

Las conclusiones son las siguientes:

El riesgo sistemático comprendido por la variación del factor F no se reduce por la diversificación. El riesgo sistemático se reduce por la diversificación, desapareciendo cuando el numero de títulos es muy grande.

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7) Beta y Rentabilidades Esperadas

El riesgo en las carteras grandes y bien diversificadas es el riesgo sistemático, ya que el no sistemático esta diversificado, por lo que cuando un inversionista bien diversificado considera cambiar su tendencia de una accion determinada, puede pasar por alto el riesgo no sistemático del titulo. Si los accionistas dejan a un lado el riesgo no sistemático, solo se puede relacionar el riesgo sistemático de una accion con su rentabilidad esperada.

Esta situación se pone de manifiesto es la figura siguiente:

Los puntos P, C, A y L se encuentran sobre la linea que emana de la tasa sin riesgo del 10%. Estos puntos se pueden crear mediante las combinaciones de la tasa sin riesgo y cualquiera de los otros tres activos. Por ejemplo, ya que A tiene una beta de 2 y P de 1, una cartera que consta de una inversión del 50% en el activo A y 50% a tasa sin riesgo tiene la misma beta que el activo P. La tasa sin riesgo es del 10% y la rentabilidad esperada del titulo A es del 35%, lo que implica que la rentabilidad de la combinación es del 22.5% (10 + 35)/2 y es idéntica a la rentabilidad esperada del titulo P. Un inversor añadiría una cantidad reducida del titulo P porque P tiene la misma beta y la misma rentabilidad esperada que una combinación del activo del activo sin riesgo y el titulo A. , ya que en una cartera grande el riesgo no sistemático es cero.

Las combinaciones potenciales de los puntos que se hallan sobre la linea del mercado de títulos son infinitas. Se puede duplicar P mediante las combinaciones de la tasa sin riesgo y C o L. Podemos duplicar C (A o L) solicitando prestamos a lasa sin riesgo para invertir en P. De la misma forma se puede usar la cantidad infinita de puntos de la linea del mercado de títulos que no estén clasificados.

Se al punto B. Ningún inversor tendrá ese titulo ya que su rentabilidad esperada se encuentra por debajo de la linea. El inversor preferirá P, una combinación de A y tasa sin riesgo o alguna ora combinación. Por lo tanto, el precio del titulo B es demasiado alto. Su precio caerá en el mercado, forzando a su rentabilidad esperada a volver a la linea en equilibrio.

La linea se construye uniendo la rentabilidad del activo sin riesgo, de beta = 0 y la rentabilidad esperada del activo que es , por lo que:

= Rf + ( RF)

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8) La Cartera de Mercado y el Factor Unico

En el C.A.P.M. la beta de un titulo mide la sensibilidad de este a los movimientos de la cartera de mercado. En el modelo de un factor el APT, la beta de un titulo mide su sensibilidad al factor.

A continuación se va a relacionar la cartera del mercado con el factor único.

Una cartera diversificada no tiene riesgo no sistemático, ya que los riesgos de los títulos individuales están diversificados, por lo que la cartera no contiene riesgo no sistemático. Esto supone que la cartera de mercado se correlaciona de manera perfecta con el factor único, de aquí que la cartera es una versión a mayor o menor escala del factor, lo que supone que la cartera de mercado puede considerarse como el factor en si.

La cartera de mercado se sitúa sobre la linea de mercado del titulo y por definición su beta es igual a 1, por lo que la cartera de mercado y el factor se convierte en:

= RF +

Donde es la rentabilidad esperada del mercado. Esta ecuación demuestra que la rentabilidad esperada de cualquier activo se relaciona de manera lineal con la beta del titulo. La ecuación es idéntica a la del C.A.P.M. desarrollada anteriormente.

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9) Modelo para la Valoración por Arbitraje

El C.A.P.M. y el A.P.T. son dos modelos alternativos del riesgo y la rentabilidad, que presentan una serie de diferencias pedagógicas y de aplicación.

Diferencias Pedagógicas

El C.A.P.M. supone el estudio de los conjuntos eficientes y tiene gran valor intuitivo. Este argumento no se logra tan fácilmente con el A.P.T.

Sin embargo, el A.P.T. tiene una ventaja, ya que suma factores hasta que el riesgo no sistemático de cualquier titulo no se correlacione con el riesgo no sistemático de todos los demás títulos. El riesgo no sistemático disminuye de forma constante conforme aumenta el numero de títulos de la cartera, pero los riesgos sistemáticos no disminuyen.

Diferencias de Aplicación

Una ventaja del A.P.T. es que puede manejar factores múltiples en tanto que el C.A.P.M. no los tiene en consideración. Esta situación supone que un modelo multifactor se aproxima mejor a la realidad. De acuerdo con esta versión multifactor del A.P.T., se puede expresar la relación entre el riesgo y la rentabilidad como:

= RF + ( 1 - RF) 1 + ( 2 - RF )2 + ...... + ( K - RF) K

1 representa la beta del titulo con respecto del primer factor, 2 representa la beta del titulo en relación al segundo factor y así sucesivamente. Por ejemplo, si el primer factor es el PNB, 1 es la beta del PNB del titulo. El termino 1 es la rentabilidad esperada de un titulo (o cartera) cuya beta con respecto al primer factor es 1 y en relación con los demás factores es cero. Dado que el mercado compensa el riesgo, ( 1 - F) será positivo en el caso normal. Análogamente sucederá lo mismo con 2, 3, etc.

La ecuación indica que la rentabilidad esperada del titulo se relaciona con las betas del factor del mismo. Cada factor representa un riesgo que no se puede diversificar. Cuanto mas alta sea la beta de un titulo con respecto a un factor determinado, mas alto será el riesgo del titulo. En la ecuación, la rentabilidad esperada es la suma de la tasa sin riesgo mas la compensación por cada tipo de riesgo que el titulo representa.

Sea, por ejemplo, los factores siguientes:

El crecimiento de la producción industrial (IP), el cambio de la inflación esperada ( EI), la inflación no prevista (UP), el cambio no previsto anticipado de la prima de riesgo entre las obligaciones con riesgo y las obligaciones sin riesgo (URP), y el cambio no previsto de la diferencia entre la rentabilidad a largo plazo de los obligaciones del estado y las mismas a corto plazo (UBR).

La rentabilidad esperada de cualquier accion s de acuerdo con un estudio efectuado en Estados Unidos será:

s = 0.0041 + 0.0136 IP - 0.0001 - 0.0006 UP + 0.0072 URP - - 0.0052 UBR

Supongamos que una accion determinada tuviera las betas siguientes:

IP = 1.1; = 2; UP = 3; URP = 0.1; UBR = 1.6. La rentabilidad mensual esperada de ese titulo seria:

= 0.0041 + 0.0136x1.1 - 0.0001x2 - 0.0006x3 + 0.0072x0.1 - - 0.0052 x 1.6 = 0.095.

Suponiendo que una empresa no tiene deuda y que uno de sus proyectos tiene un riesgo equivalente al de la empresa, podemos usar este valor de 0.0095 (0.95%) como la tasa de descuento mensual del proyecto ( la tasa anual será: (1.0095)2 - 1 = 0.120

Dado que en el lado derecho de la ecuación aparecen muchos factores, el planteamiento del APT tiene el potencial de medir las rentabilidades esperadas con mayor precisión que el C.A.P.M.. Sin embargo no es posible determinar fácilmente cuales son los factores apropiados. Por el contrario, el uso del índice de mercado en el planteamiento del C.A.P.M. queda implícito por el uso de un índice general como el Ibex.

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10) Resumen y Conclusiones

1.- El A.P.T. supone que las rentabilidades de las acciones se generan de acuerdo con los modelos de factor. Por ejemplo con tres factores representan el riesgo sistemático, considerando el termino como riesgo no sistemático porque es el único para cada titulo individual.

2.- La rentabilidad de un titulo de acuerdo con el modelo del factor será: R = + F +

3.- A medida que se suman títulos a la cartera, los riesgos no sistemáticos de los títulos individuales se compensan entre si. Una cartera totalmente diversificada no tiene riesgo no sistemático, pero sigue presentando riesgo sistemático. El resultado indica que la diversificación puede eliminarse en parte, pero no en su totalidad, el riesgo de los títulos individuales.

4.- La rentabilidad esperada de una accion se relaciona positivamente con su riesgo sistemático. En un modelo de un factor, el riesgo sistemático de un titulo es tan solo la beta del C.A.P.M.. De esta forma, las implicaciones del C.A.P.M. y el A.P.T. de un factor son idénticas. Sin embargo, cada titulo tiene muchos riesgos en un modelo multifactor.

La rentabilidad esperada de un titulo se relaciona en forma positiva con la beta del titulo con cada factor.

Reflexión:

¿Que modelo se puede contrastar mejor, el A.P.T. o el C.A.P.M.?

EL COSTE DEL CAPITAL

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1) Introducción: El Empleo de la Beta, Beta Apalancada y Desapalancada

Los únicos datos necesarios para calcular el Coste de Capital a partir de la son: rf, rm y .

Sin embargo, ha de tenerse presente que al ser las observadas las que corresponden a empresas que cotizan con un nivel de riesgo, no solamente del sector en el que cotizan, sino del grado de endeudamiento de dicha empresa, es decir, se tiene en consideración el Riesgo Financiero que soportan las acciones. A esta se le denomina Apalancada, y expresa el nivel de riesgo, tanto operativo como financiero, que soportan las acciones. Si la empresa no tuviera deuda, es lógico que la fuese distinta por la desaparición del riesgo financiero. A esta se le denomina Desapalancada y expresa el nivel de riesgo derivado de la actividad operativa de la empresa, es decir el riesgo de los activos de la empresa.

Llamando:

A = de los activos o Desapalancada.

C = de las acciones (Capital) o Apalancada.

D = de la Deuda empleada por la empresa

La relación entre ellas es la siguiente:

A = C + D

Donde C y D son Capital y Deuda, t el tipo impositivo

La de la Deuda esta implícita en el coste de la deuda para la empresa, de forma que:

rd = rf + D (rm - rf) = rf + D .PRM

siendo PRM = Prima de Riesgo de Mercado

donde: D =

Si la empresa puede obtener deuda al precio rf, la D = 0, por lo que la expresión inicial se convierte en:

A = C

es decir:

C = A + ( A - D) (1)

Si no hay Deuda: C = A

Si hay Deuda, pero D= 0, C = A

Estas fórmulas significan:

A es el Riesgo del Negocio (Sector en el que trabaja)

C es el Riesgo del Capital (Fondos Propios)

La diferencia entre C y A es el Riesgo Financiero, y que supone que a mayor endeudamiento mayor riesgo financiero.

La C observada, depende de:

El riesgo de los Activos ( A)

La diferencia entre el riesgo de los activos y el riesgo de la deuda:

( A - D)

La relación de endeudamiento corregida por el efecto de los impuestos:

Esto significa que para utilizar la como indicador del riesgo y determinación del coste de los fondos propios de una empresa, apoyandose en una compañía homologa en cuanto a la actividad, hay que partir de la C observada en la empresa de referencia, con su concreta situación de endeudamiento, después desapalancarla para encontrar la A y posteriormente reapalancarla teniendo en cuenta el endeudamiento existente o proyectado en la empresa cuya buscamos.

En la tabla siguiente se desarrolla el caso de Iberdrola:

IBERDROLA

Datos a 31.12.95 Nº Acc.: 928.468.620 Cotiz. = 1.110

Capitalizacion Bursatil

Deuda Financiera

Valor de Mercado 1.030.600 M.(40.76%)

1.497877 M. (59.24%)

2.528.477 M. (100%) Beta Acc. = 1.03

Impto = 20%

Coste estimado Deuda.

Tipo de Interes 1995

Prima Riesgo de Mercado Rd = 10.15%

Rf = 9.86%

PRM = 3.00 Beta de la Deuda:

(10.16-9.35)/3 = 0.10

La apalancada observada ( C =1.03) corresponde a una situación de endeudamiento del 59.24%; luego para encontrar la desapalancada, A se aplicara la formula anterior:

A = 1.03 + 0.10 = 0.53

Conocida la desapalancada, A = 0.53, podemos reapalancarla, para situaciones de endeudamiento inferiores al 59.24%, para aplicarla a la compañía cuya C buscamos, bien sea para la propia Iberdrola, en el supuesto de que cambiara su endeudamiento.

Supongamos que el endeudamiento sea inferior, por ejemplo, del 30%. La nueva C, de acuerdo con la formula (1) será:

C = A + ( A - D) = 0.53 + (0.53 -0.10) x = 0.68

Sin embargo si el endeudamiento es superior, por ejemplo del 80%, la nueva C será:

C = 0.53 + (0.53 - 0.10) x = 1.91

Podemos efectuar la siguiente comprobación:

A = 0.68 x + 0.10 x = 0.53

A = 1.91 x + 0.10 x = 0.53

En ambos casos y en cualquier otro, A , que refleja el riesgo del negocio, será siempre igual a 0.53.

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2) El Coste de Capital de Iberdrola según el C.A.P.M.

Conocidas las de Iberdrola correspondientes a la empresa desapalancada y a diferentes niveles de endeudamiento, 30%, 59.24% y 80%, y aceptando que el coste es la otra cara de la rentabilidad, se puede calcular el coste de los recursos propios para los distintos endeudamientos, utilizando la formula:

r = rf + x PRM

en la que rf = 9.85 y PRM = 3 puntos.

Aplicando la correspondiente a las distintas situaciones de endeudamiento, resultara:

Caso empresa desapalancada, A = 0.53

ra = 9.85 + 0.53 x 3 = 11.44%

Para un endeudamiento del 30%, C = 0.68

C = 9.85 + 0.68 x 3 = 11.89%

Para un endeudamiento del 59.24%, C =1.03

C = 9.85 + 1.03 x 3 = 12.94%

Para el 80% de endeudamiento, C = 1.91

C = 9.85 + 1.91 x 3 = 15.58%

Conociendo el coste de los fondos propios en los distintos supuestos de endeudamiento y sabiendo que el coste de la deuda de Iberdrola, antes de impuestos, lo hemos estimado en el 10.15%, el coste promedio ponderado del capital (cppc) de Iberdrola, se obtendrá de la siguiente formula:

cppc = rCC + rD(1-t)D

que aplicado a los tres supuestos de endeudamiento, y recordando que para Iberdrola el impuesto efectivo de Sociedades es del 20%, resulta:

11.89 x 0.70 + 10.15 x 0.80 x 0.30 = 10.76%

12.94 x 0.4076 + 10.15 x 0.80 x 0.5924 = 10.08%

15.58 x 0.20 + 10.15 x 0.80 x 0.80 = 9.61%

Reflexión:

¿Que utilidad tiene el Coste de Capital?

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