CONTROL PI DE UN CSTR NO LINEAL VÍA EL ENFOQUE DE REGULADORES LINEALES CUADRÁTICOS Y FUNCIONES DE LYAPUNOV

CONTROL PI DE UN CSTR NO LINEAL VÍA EL ENFOQUE DE REGULADORES LINEALES CUADRÁTICOS Y FUNCIONES DE LYAPUNOV

Estefanía Yañez-Motaa, Irving Israel Ruiz-Lópeza  

Karen Hariantty Estevez Sánchez, Alejandro Escobedo Morales

aFacultad de Ingeniería Química, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Av. San Claudio y 18 Sur S/N, Puebla, Pue.72570, México. irving.ruiz@correo.buap.mx

Resumen

La sintonización de controladores multivariados robustos ha sido empleada para mejorar el rendimiento de un reactor tipo CSTR no lineal propuesto primeramente por Uppal et al. (1974) y estudiado por Chen et al. (2002) con un algoritmo de control lineal. El proceso de sintonización del controlador consiste en la minimización simultánea de los índices de desempeño obtenidos mediante funciones de Lyapunov con la combinación del método de reguladores lineales cuadráticos (LQR). Como resultado de dicha minimización y bajo el criterio de sintonización se planteó una optimización multiobjetivo. Posteriormente, un proceso de análisis del mismo se llevó a cabo para seleccionar los controladores a implementar en la simulación de dicho reactor. Los resultados de la simulación con los controladores seleccionados, muestran  que el procedimiento de ajuste es eficaz y práctico para procesos de tipo MIMO.

Introducción

Debido a la complejidad que presenta el reactor propuesto por Uppal et al. (1974) para el diseño de sistemas de control, es conveniente evaluar los algoritmos de control en sistemas más simples para asegurar el correcto y fácil funcionamiento de los mismos. El reactor CSTR aquí estudiado presenta alta no linealidad, por lo que se han propuesto numerosos métodos para mejorar el desempeño de controladores aplicados a este reactor, dentro de los que se encuentra el control lineal cuadrático estudiado ampliamente por García-Alvarado, M. A. y Ruiz-López, I.I. (2010). Por lo tanto, se ha propuesto un ajuste del controlador mediante optimización multiobjetivo para este tipo de sistema por medio de un nuevo método de sintonización para controladores PI mediante el uso de la metodología LQR.

La selección con base al conjunto de controladores arrojados por la optimización multiobjetiva, donde es posible analizar las interacciones entre las variables de entrada y de salida y el peso asignado a la matriz de ponderación del esfuerzo de control (Q) y de la salida del sistema (R), y partiendo de estas soluciones seleccionar la más conveniente, es decir, el controlador PI que mejor ajuste y se desempeñe durante la simulación puede llegar a ser engorrosa. Aun cuando esta metodología ha sido empleada con éxito en múltiples trabajos (García-Alvarado, M. & Ruiz-López, I.I., 2010; Carrillo-Ahumada et al., 2015; Rodríguez-Mariano et al., 2015) para formulaciones en espacio de estados, para un reactor CSTR el proceso anteriormente descrito para la selección de las ganancias del controlador puede llegar a tener el inconveniente de no llegar a la estabilidad si no se selecciona la solución correctamente, por este motivo, el uso de la metodología LQR empleando la técnica de control lineal óptimo-robusto, regulador/servo propuesto por García-Alvarado, M. & Ruiz-López, I.I. (2010) empleando un panorama híbrido compuesto por un controlador P y uno PI  que garantiza la estabilidad en todo momento para el controlador seleccionado.

El método para resolver esta problemática consiste en la minimización simultánea de una función integral del cuadrado del error (desempeño óptimo) en conjunto con la función integral del cuadrado de la señal de control, estableciendo como condición de robustez (Ruiz-López et al., 2006) la restricción de que los valores propios de la matriz característica A se encuentren en una región D del semiplano complejo izquierdo [pic 1]. Esta metodología propuesta busca el éxito empleando la filosofía multiobjetivo en el control de sistemas no lineales con múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO por sus siglas en inglés).

Metodología

Para resolver la problemática planteada en el presente trabajo se logró a partir de los siguientes pasos:

[pic 2]

Figura 1 Reactor de agitación continua no-isotérmico con una reacción exotérmica de primer orden.

(Adaptado de Chen et al. ,2002)

1. Se estudió el reactor CSTR no lineal (descrito en la Figura 1), con dos estados estacionarios conocidos reportado por Chen et al. (2002). El sistema consiste en un modelo conformado por dos ecuaciones diferenciales (1-2) no lineales donde las variables de salida son la concentración de reactivo [pic 3] y temperatura a la salida del sistema [pic 4]

[pic 5]                                                                        (1)

[pic 6]                                                (2)

De donde [pic 7],[pic 8] y [pic 9] son agrupaciones de variables con valores constantes a través del tiempo y son representados como [pic 10], [pic 11] y [pic 12] .

En las ecuaciones (1-2) los valores nominales de las ecuaciones son [pic 13] mol L-1, [pic 14] K, [pic 15] L min-1, [pic 16] L min-1, [pic 17] L, [pic 18] min-1, [pic 19] K, [pic 20] cal mol-1, [pic 21] cal g-1∙K-1.

1. El modelo del proceso con dinámica no lineal se linealizó a el siguiente espacio de estados lineal (ecuaciones 3-4) mediante el uso de la técnica de perturbación de variables, rutina programada en Matlab R2014a (Mathworks Inc.)

[pic 22]                                                                                (3)

[pic 23]                                                                                                (4)

donde [pic 24]es el vector de estado del proceso, [pic 25]es el vector de entradas exógenas, [pic 26]es el vector de variables de control, [pic 27] es el vector de salidas medidas o también establecido como el vector de estados para una retroalimentación al controlador, y las matrices [pic 28], [pic 29], [pic 30] y [pic 31] son matrices de coeficientes constantes que contienen la dinámica de la planta. Los elementos de las matrices calculados para (3-4) son [pic 32], [pic 33], [pic 34], [pic 35] ; [pic 36], [pic 37], [pic 38], [pic 39]; [pic 40], [pic 41], [pic 42], [pic 43]; [pic 44], [pic 45], [pic 46], [pic 47].

1. El modelo formado por las ecuaciones (3-4) se usó para generar el controlador PI, mediante el enfoque LQR, cambiando los valores de las matrices de ponderación definidas positivas del esfuerzo de control ([pic 48]) y de la salida del sistema ([pic 49]). El algoritmo de control PI se implementó partiendo de su forma integral mostrada en la ecuación (5)

[pic 50]                                                                        (5)

1. Las matrices positivas definidas (P, Py y Pu) necesarias para obtener las ganancias de los controladores PI (y evaluar el desempeño final) obtenidas se caracterizaron posteriormente en términos de las soluciones analíticas de las integrales de funcionamiento cuadrático del error y esfuerzo de control ante entradas escalón en los vectores de entrada y referencia ([pic 51],[pic 52],[pic 53] y [pic 54]) se evaluaron por medio de la ecuación algebraica continua de Riccati correspondiente. Dicha ecuación se resolvió a través de la sub-rutina ARESOLV gen Matlab R2014a (Mathworks Inc.) El método de sintonización puede ser planteado como un problema de optimización multiobjetivo para encontrar las ganancias [pic 55], [pic 56], [pic 57] y [pic 58] para la parte proporcional y [pic 59], [pic 60], [pic 61] y [pic 62], para su parte integral y que pertenezcan al controlador con mejor desempeño, y a través de la minimización simultánea de los índices mencionados en el punto 4, sujeto a que debe cumplir con las restricciones [pic 63]mín de los valores propios de la matriz característica y [pic 64] , a través de la ponderación de las matrices Q y R.
2. El desempeño final de los de los sistemas se evaluó con el índice de funcionamiento cuadrático de las variables de salida y de control, que pertenecen respectivamente a las ecuaciones (6-7)

[pic 65]                                                                        (6)

[pic 66]                                                                        (7)

Estos índices se calcularon a partir de los resultados obtenidos previamente en simulación del proceso.

Resultados

Las Figuras 2 y 3 el funcionamiento del control PI en las dos variables de salida, concentración de A en mol L-1 y temperatura en K. Se puede observar que el controlador propuesto exhibe un funcionamiento similar a otros controladores reportados en literatura ante un cambio de referencia de XXX unidades en la variable XXX.

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