Matriz 3 por 3 en C++

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INTRODUCCIÓN

Para los cursantes en la carrera de mecatrónica, la materia de Álgebra Lineal no solo constituye realizar cálculos matemáticos si no también que desarrollen demostraciones, para alcanzar un equilibrio entre la técnica y la teoría. Fuera del ámbito académico, los ingenieros y programadores utilizan la matriz y sus determinantes constantemente, por ejemplo; al diseñar estructuras se resuelven sistemas de ecuaciones que describen los esfuerzos que tendrá que soportar la construcción o los componentes de alguna máquina.

Como trabajo final en la materia de Algebra Lineal el presente reporte consiste en la elaboración de un programa de operación de matrices 3 x 3 en lenguaje c++, donde se exige conocimientos fundamentales para la solución de ecuaciones, así como también el dominio de un lenguaje de programación.

OBJETIVOS

Objetivo general

Elaborar un programa de operaciones en lenguaje C++, para poner en práctica los conocimientos sobre arreglo de matrices.

Objetivo específico

Dar a conocer el funcionamiento y la característica de una matriz de tipo 3 x 3, aplicada en un programa.

DESARROLLO

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como las tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo o bases de datos.

Concepto de matriz. 

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza, aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij)

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.

El número total de elementos de un matriz Am×n es m·n En matemáticas, tanto las Listas como las tablas reciben el nombre de matrices.

Antes de ejemplificar una matriz es conveniente también recordar el concepto de ecuación; Una ecuación es una afirmación de que dos expresiones son iguales. Por ejemplo 5+3 es igual a la expresión 6+2, ya que ambas significan una igualdad, podemos escribir la siguiente ecuación: 5+3=6+2.

Una ecuación lineal es una expresión como la siguiente:

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En ella, las variables x, y, son las incógnitas de la ecuación y pueden tomar cualquier valor real. Son números reales fijos y reciben el nombre de coeficientes de las incógnitas. Por último, el número real b se llama término independiente.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, tiene como expresión general la siguiente:

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Donde:

a = 1, 2, 3, ..., m; j = 1, 2, 3, ..., n son números reales fijos, que reciben el nombre de coeficientes del sistema.

x1, x2, x3, ..., xn, son las incógnitas del sistema.

b1, b2, b3, ..., bm, son también números reales fijos y se llaman términos independientes. Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es hallar, si existen, los números reales que pueden tomar las incógnitas de modo que se satisfagan a la vez todas las ecuaciones. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de números reales, los cuales, al sustituirlos se verifiquen simultáneamente todas las ecuaciones.

Entonces, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar, según el tipo de solucione que tengan:

Cuando sean compatibles: tienen al menos una solución. Además, un sistema no puede tener 2, 3, 4 o más soluciones. Solo tiene una o tiene infinitas.

En consecuencia, los sistemas compatibles, pueden ser:

Determinados: La solución es única.

Indeterminados: Tienen infinitas soluciones.

Incompatibles: No admiten ninguna solución.

¿QUÉ MÉTODO SE IMPLEMENTÓ EN ESTE PROYECTO?

Uno de los métodos utilizados para la resolución de una matriz 3 x 3 es la llamada “Eliminación de Gauss-Jordan” o “Método de Gauss-Jordan”.

Es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

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Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

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Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

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Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Notemos que en la matriz de identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, estos términos resultarán ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiendo de la siguiente forma:

d1 = x

d2 = y

d3 = z

Una vez que tenemos estas bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.

Por ejemplo, si tenemos un sistema de ecuaciones como la siguiente imagen:

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El primer paso para encontrar su solución es anotarlo en su forma matricial:

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Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

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Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

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Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno del elemento de la 1ª fila y estos se sumarán a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicará a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumará su resultado con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicará a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

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Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del número que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.

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