Parcial Control optimo reactor batch

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Universidad de los Andes        

Departamento de Ingeniería Química y Alimentos

Maestría en Diseño de Productos y Procesos

Control Óptimo de Procesos

Jorge Giovanny Vásquez Cárdenas. Código: 202224041

Resolución Segundo Parcial V1

Análisis del Problema:

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Reactor batch que produce componentes B y C a partir del reactante A siguiendo dos reacciones paralelas irreversibles de primer orden, el tiempo de reacción es de una (1) hora. A continuación, se muestran los valores del factor pre-exponencial y de energía de activación asociadas a la ecuación de Arrhenius para las constantes cinéticas de reacción.

R=1.987 cal/gmol.K

• Consideraciones Iniciales:

1. Del enunciado del problema se infiere que no hay ingreso ni salida de componente alguno, por lo tanto, al plantear el balance de masa por componente se obtienen solamente los componentes de tasa de acumulación de masa, junto con los términos de generación (Productos B y C), y de desaparición (Reactante A): De consecuencia las ecuaciones fenomenológicas del balance de masa (molar) para los componentes A y B son las ecuaciones diferenciales especificada en el enunciado del problema.

Balance molar Componente A

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Con el siguiente valor inicial definido a t=t0 por el problema

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Balance molar Componente B

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Con el siguiente valor inicial definido a t=t0 por el problema

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El objetivo es encontrar el perfil de temperatura T(t) vs t que maximice la producción del componente B al cabo de una hora de reacción, considerando que la reacciones son irreversibles de acuerdo con el enunciado del problema, no se requiere el planteamiento de la ecuación diferencial del balance molar del componente C.

1. Las constantes cinéticas de reacción que se encuentran en los balances molares de componente son función de la temperatura, la temperatura en este caso es una “Variable Independiente de Decisión”, ya que en el alcance de este ejercicio interés encontrar el perfil de temperatura que maximice la producción de B, sin importar inicialmente como se va a realizar (Vapor, aceite térmico, etc). Por lo tanto para este ejercicio NO es necesario realizar un planteamiento de balance de energía y de hecho en el caso que se quisiera realizar en un alcance extendido del ejercicio se deberían en tal caso conocer condiciones como la exotermicidad /endotermicidad de la reacción.

• Parámetros del Ejercicio:

• Elementos Adicionales: Ecuaciones Fenomenológicas:

Con base en lo meya mencionado en las consideraciones se tiene:

Valor Inicial Componentes A y B

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Balance molar Componentes A y B

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Constantes Cinéticas Para Las Reacciones A🡪B y A🡪C

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Para todo j=1,2

• Variables:

Lo anterior es válido para cada punto instantáneo en el tiempo, la temperatura es la variable independiente objeto de decisión, las demás son variables que dependen de la temperatura.

Variable (n) – Ecuaciones (m) =1

n > m. Por lo tanto, se confirma que se trata de un problema de optimización con un (1) grado de libertad, esto es verdadero para todos los puntos t>t0, ya que las condiciones iniciales están dadas.

• Función Objetivo:

La función objetivo es maximizar la producción de B al cabo de una hora:

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• Restricciones:

Hay restricciones con límites máximos y mínimos de la Variable Independiente Temperatura, las cuales deben cumplirse en cualquier instante de tiempo

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Las otras variables, implícitamente han de ser mayores a cero.

• Método de Solución:

La resolución del ejercicio se efectuará utilizando método de diferencias finitas; por consiguiente, se realiza una discretización del tiempo (definición de tamaño y número de pasos).

Discretización del tiempo

Dada las considerablemente altas magnitudes de las constante cinéticas para ambas reacciones, se selecciona un paso pequeño para que el incremento de temperatura sea pequeño y la estimación del perfil sea adecuada, para tal propósito si seleccionan los siguientes tamaños de paso y número de pasos, asociados a un tiempo de reacción de una hora.

Modelo Matemático-NLP

Para las ecuaciones diferenciales de primer orden, se usa el método de diferencias finitas regresivas (hacia atrás). De esta manera a partir de la definición de derivada se tiene a partir de las ecuaciones de balance molar (Ec 1 y Ec 2).

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1. EXCEL: Procedimiento-Método de Optimización y resultados:

Optimización del problema usando Microsoft Excel ®. Una vez se han implementado en Excel de manera organizada los ítems anteriormente descritos en el Modelo Matemático (Parámetros, Elementos Adicionales-incluyendo las ecuaciones diferenciales discretizadas, Función Objetivo y Restricciones). Se procede como sigue a continuación.

1. Inicialización de variables de decisión:

Conociendo las restricciones de Temperatura mínimas y máximas, se inicializa el vector Temperatura T(t) considerando 411ºF en el último elemento, es decir T(1 hora)=411ºF y se reduce 1ºF cada paso hacia atrás hasta llegar a 310ºF en T(0).

1. Proceder a resolución empleando la herramienta de Análisis SOLVER empleando el método GRG Non Linear (Generalized Reduced Gradient), dada la no linealidad del problema de optimización, haciendo variar la variable de decisión Temperatura e implementando las restricciones y la función objetivo descritas en precedencia.

A continuación, se muestran los pantallazos asociados a la configuración del GRG Non Linear implementado mediante la herramienta SOLVER.

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• Resultados Excel:

Para los resultados tabulados de perfiles de temperatura y concentraciones de A y B, ver el Anexo 1 y/o el archivo Excel adjunto en esta comunicación.

Perfil de Temperatura:

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Perfil de Concentraciones:

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1. GAMS: Procedimiento-Método de Optimización y resultados:

Optimización del problema usando GAMS. Se ha programado en GAMS, el método de diferencias finitas usando cómo método de optimización IPOPT (Interior Point Optimizer) para la resolución del problema NLP (Non Linear Programming).

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