APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA

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4.3. APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA

En esta unidad hablaremos de la primera derivada para analizar el comportamiento de familias de funciones.

Se determinará a partir de los puntos críticos, los máximos y mínimos de una función, aplicando el método de la primera y segunda derivada y con ellos revolveremos problemas del campo de optimización.

USO DE LA PRIMERA DERIVADA.

¿Porque es útil saber donde una función es creciente o decreciente?

Cuando se grafica una función en una computadora o calculadora de gráficas, sólo se observa parte de la figura. En cambio la derivada, puede muchas veces dirigir nuestra atención a características importantes de la gráfica ya que con ella podemos trazar la grafica de una forma mas completa.

PUNTOS CRITICOS.

Para cualquier función f, un punto p en el dominio de f en donde f ‘(x)= 0 ó f ‘(x) no está definida se llama punto crítico de la función. Además, el Punto (x, f(x)) en la gráfica de f también se llama punto crítico. Un valor crítico de f es el valor f(x) de la función en un punto crítico p.

¿QUÉ INDICAN LOS PUNTOS CRITICOS?

Geométricamente, en un punto crítico donde f ‘(x) = 0, la recta   tangente a la gráfica de f en x es horizontal. En un punto crítico donde f ‘ (x) no está definido, no hay tangente horizontal a la gráfica, es decir, ó la tangente es vertical ó no existe en absoluto.

Una función puede tener cualquier número de puntos críticos o ninguno (ver figuras)        

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Los puntos donde f ‘ (x) = 0 ( ó donde no está definida) dividen el dominio de f en intervalos en los que el signo de la derivada permanece igual, ya sea positivo o negativo. Por lo tanto, entre dos puntos críticos sucesivos la gráfica de una función  no puede cambiar de dirección; ó sube ó baja.

MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES.

 ¿Qué le pasa a una función cerca del punto crítico donde f ‘(x) = 0? Si f’ tiene signos diferentes en cualquier lado de p entonces la gráfica cambia de dirección.  

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¿CÓMO SABER CUALES PUNTOS CRITICOS SON MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES?

Prueba de la primera derivada para máximos y mínimos locales:

• Si p es un punto crítico en el dominio de f, y si f ‘ , cambia signo en un entorno de p, entonces f tiene ya sea un mínimo local o un máximo local en p.

• Si f ‘ es negativa a la izquierda de p y positiva a la derecha de p, entonces f tiene un mínimo local en p.
• Si f ‘ es positiva a la izquierda de p y negativa a la derecha de p, entonces f tiene un máximo local en p.

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EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen

 No olvides los pasos a seguir :

1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide.
2. Realiza el dibujo.
3. Construye el modelo.
4. Calcula máximos y mínimos.

Y analizar las siguientes cuestiones:

1. ¿ Qué es lo que te pide el problema?
2. ¿Cuáles son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja?( puedes utilizar incógnitas)
3. ¿Cuál es la ecuación de la que se va a obtener el máximo ó mínimo?
4. Deriva la función del inciso anterior. ¿Cuáles son los puntos críticos?
5. De acuerdo a los puntos críticos qué valor corresponde al máximo (de ser necesario utiliza el criterio de la segunda derivada).

PONIENDO EN PRACTICA LOS CONOCIMIENTOS

Usa los conceptos matemáticos aprendidos para efectuar una o todas las actividades siguientes:

Diseño de una caja de cartón de máximo volumen sin tapa.

Cartulina de 20 cm. X 20 cm.[pic 6]

Tijeras

Regla

Escuadras

Calculadora

Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo

Cinta adhesiva (masking- tape)

En esta actividad, examinamos la variación de volumen que se tiene al construir varias cajas, a pesar de que se cuente con el mismo tamaño del material. Hacemos una determinada cantidad de cajas de distintos tamaños. Después, determinamos el volumen de cada caja.[pic 7]

1. Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm. Recorta cuadros en las esquinas como se muestra en la siguiente figura; después de que tu profesor asigne las medidas de “x” a cada equipo.[pic 8]
2. Las medidas de “x” para los seis equipos distintos, asignando una medida a cada equipo son: 2.5 cm., 2.8 cm., 3 cm., 3.3 cm., 3.5 cm., y 3.8 cm.
3. Haga los dobleces necesarios para formar la caja como lo muestra la siguiente figura:[pic 9]

1. Cada equipo que tome los siguientes datos de las distintas cajas y que realice las operaciones                                      pertinentes en su calculadora.

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1. Determina el área de la base como lo indica la tabla en la columna 5 y anótalo.[pic 11]
2. Determina el volumen del paralelepípedo como lo indica la columna 6 de la tabla y anótalo.
3. ¿Cómo se comparan los datos de tu grupo con los datos obtenidos por los otros grupos?(compara las áreas y volúmenes con la de los otros).
4.  Deriva la función del volumen

                                     V = x (20 – 2x)2 

1. Iguala  [pic 12] con cero
2. Obtén el valor de “x” en [pic 13] =  0
3. ¿Qué valor de “x” en la tabla se aproxima más con la “x” determinada en el inciso (f)? Coméntalo con tu grupo.
4. Comenta con tus compañeros qué método ocuparías si te asignan un trabajo similar al de la práctica.
5. Al estar trabajando en una empresa que se dedique al diseño de envases ¿Crees que te permitirían desperdiciar material?
6. ¿Qué dimensiones tiene la caja de máximo volumen?
7. El valor que se debe aproximar más, es el de la caja de x = 3.3 cm., puede pedir a los alumnos que verifiquen experimentalmente los volúmenes, reforzando las cajas con tela adhesiva para que no se deforme y midiendo el agua antes de llenar las cajas.
8. Los métodos que hay son con: aritmética, álgebra, gráficamente y con cálculo diferencial, posiblemente se inclinen por el método de cálculo diferencial, debido a que se pierde menos tiempo y no se desperdicia material como en el ensayo de prueba y error.
9. En una empresa y en nuestra vida cotidiana, a nadie le gusta desperdiciar, incluso ni en experimentos.
10. Altura = 3[pic 14] cm [pic 15] 3.3 cm.

Largo = ancho = 13 [pic 16] cm.[pic 17] 13.3 cm.

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EJEMPLO 2 . Altura máxima alcanzada por una toronja

Una toronja es lanzada en línea recta hacia arriba a una velocidad inicial de 100 pies/seg. Su altura en el tiempo t está dada por  y = -16[pic 18]t[pic 19] + 100 t + 6 ¿A qué altura llega antes de regresar al suelo?.   Si desea llevar al máximo la altura de la toronja sobre el suelo. Ya sabes que usando la derivada se puede encontrar exactamente cuándo la toronja está en su punto más alto. Por sentido común, en la parte más alta la velocidad [pic 20] debe ser cero. Alternativamente se busca un máximo, así que se tratan de encontrar puntos críticos donde y’ = 0. Se tiene:

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    y = -16 t[pic 22] + 100 t + 6

       [pic 23]  = -32t + 100 = 0

    y así  t = [pic 24] = 3.125 seg.

Por lo tanto,  se obtiene el tiempo en el que la altura es máxima; el valor máximo de  y  es entonces:

y = -16 (3.125)[pic 25] + 100 (3.125) + 6 = 162.25 pies

¿Será necesario comprobar analíticamente que en el punto crítico hay un máximo?

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OPTIMIZACION

Dado que el mundo está lleno de problemas, tanto en la industria, la ingeniería, el comercio y cualquier otra área que requiera de poder calcular aquellos valores que les permitan determinar ganancias máximas o mínimos costos, menor cantidad de material para máximos volúmenes etc., es en donde se vuelven importantes los procesos de optimización y donde el calculo diferencial toma un papel relevante en la determinación de estos valores a partir de uno de sus   conceptos mas importante que es el de la derivada en la obtención de máximos y mínimos a partir de una función.

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