Derivadas. Concepto. Propiedades. C´alculo De Derivadas. Aplicaciones.

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. C´alculo de derivadas. Aplicaciones.

0.1. Concepto de derivada.

Definici´on 1. Sea f : S ⊂ R → R, a ∈ (b,c) ⊆ S. Decimos que f es derivable en a si existe:

l´ım x→a

f(x) − f(a) x − a

∈ R.

Dicho valor se denota como f0(a), se llama derivada de f en a y tambi´en se puede escribir como

l´ım h→0

f(a + h) − f(a) h

,

donde x − a = h.

Nota 2. Para que la derivada exista tiene que existir el l´ımite, es decir, deben existir los l´ımites laterales y coincidir.

Definici´on 3. Una funci´on f se dice derivable en A si lo es en todo punto a ∈ A.

Ejemplo 4. a) f(x) = x2 es derivable en a = 2 y su derivada vale f0(2) = 4, ya que:

f0(2) = l´ım h→0

f(2 + h) − f(2) h

= l´ım h→0

(2 + h)2 − 22 h

= l´ım h→0

h2 + 4h h

= l´ım h→0

(h + 4) = 4.

b) f(x) = |x| no es derivable en a = 0, pues

f0 +(0) = l´ım h→0+

|h| − |0| h

= l´ım h→0+

h h

= 1

pero

f0 −(0) = l´ım h→0−

|h| − |0| h

= l´ım h→0−

−h h

= −1.

Luego existen las derivadas laterales, pero los l´ımites no coinciden. Entonces, la funci´on valor absoluto no es derivable en a = 0.

c) f(x) = x1/3 no es derivable en a = 0, ya que:

f0(0) = l´ım h→0

h1/3 − 01/3 h

= l´ım h→0

1 h2/3

= +∞

luego no se trata de un nu´mero real. En este caso, se dice que la funci´on tiene derivada +∞ en a = 0.

Definici´on 5 (Funci´on derivada). Sean f : S ⊂ R → R y T = {x ∈ S/f posee derivada en x}. La funci´on:

x ∈ T 7→ f0(x) ∈ R

se llama funci´on derivada primera de f y se representa por f0. An´alogamente se pueden definir las derivadas sucesivas:

f00 = (f0)0, f000 = (f00)0, fiv) = (f000)0, ...

1

0.2. Interpretaci´on geom´etrica de la derivada

Si f es derivable en a, f0(a) es un nu´mero real que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a,f(a)).

–1

0

1

2

3

4

0.5 1 1.5 2 x

− − − − es la funci´on y = x2 ¦ ¦ ¦ ¦ es la tangente en el punto (1,1), y = 2x − 1 × × × × es la recta normal en el punto (1,1), y = (3 − x)/2

Definici´on 6. Se define la recta de pendiente m que pasa por el punto (x0,y0) como:

y − y0 = m(x − x0)

Dos rectas de pendientes m y e m, respectivamente, se dice que son perpendiculares cuando forman un ´angulo de 90o. Entonces, se puede comprobar que la relaci´on entre sus pendientes es:

e m = −

1 m

Definici´on 7. Si f es derivable en a y f0(a) 6= 0, entonces la pendiente de la recta tangente en el punto (a,f(a)) es f0(a), y la pendiente de la recta normal es − 1 f0(a).

y − f(a) = f0(a)(x − a) es la recta tangente a y = f(x) en el punto (a,f(a)).

y − f(a) = −

1 f0(a)

(x − a) es la recta normal a y = f(x) en el punto (a,f(a)).

Nota 8.

Si f0(a) = 0, entonces la recta tangente es horizontal.

Si f0(a) = ±∞, entonces la recta tangente es vertical.

2

Teorema 9. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

Demostraci´on: Supongamos que f es derivable en a. Entonces, existe el l´ım x→a

f(x) − f(a) x − a

= f0(a).

Para la continuidad de f en a, tenemos que demostrar que si x → a entonces f(x) → f(a).

Notemos que si x 6= a,

f(x) − f(a) =

f(x) − f(a) x − a

· (x − a)

luego

l´ım x→a

f(x) − f(a) x − a

· (x − a) = f0(a) · l´ım x→a

(x − a) = 0

Nota 10. El rec´ıproco no es cierto, es decir, una funci´on continua en un punto no tiene por qu´e ser derivable en ese punto. Ejemplo: f(x) = |x| en a = 0.

0.3. ´Algebra de derivadas

Teorema 11. Sean f, g : S ⊂ R → R dos funciones derivables en a. Entonces, se verifica:

1. f ± g es derivable en a, siendo:

(f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a)

2. Si λ ∈ R, entonces λ · f es derivable, siendo:

(λ · f)0(a) = λ · f0(a)

3. f · g es derivable en a, siendo:

(f · g)0(a) = f0(a) · g(a) + f(a) · g0(a)

4. Si g0(a) 6= 0,

f g

es derivable en a, siendo:

µ

f g

¶0

(a) =

f0(a) · g(a) − f(a) · g0(a) (g(a))2

3

0.4. Derivadas de las funciones elementales

Derivadas de funciones elementales Regla de la cadena

Potencia (xn)0 = nxn−1 (f(x)n)0 = nf(x)n−1f0(x)

Exponenciales (ex)0 = ex

¡

ef(x)

¢0

= ef(x)f0(x)

(ax)0 = ax · (lna)

¡

af(x)

¢0

= (lna)af(x)f0(x)

Logar´ıtmicas (lnx)0 = 1 x , x > 0 (lnf(x))0 = 1 f(x)

f0(x)

(loga(x))0 =

1 lna

1 x

(loga f(x))0 = 1 lna

1 f(x)

f0(x)

Trigonom´etricas (senx)0 = cosx (senf(x))0 = f0(x)cosf(x) (cosx)0 = −senx (cosf(x))0 = −f0(x)senf(x)

(tanx)0 = 1 + (tanx)2 =

1 (cosx)2

(tanf(x))0 = [1 + (tanf(x))2]f0(x)

(cotanx)0 = −(1 + (cotanx)2) =

−1 (senx)2

(cotanf(x))0 = −[1 + (cotanf(x))2] f0(x)

Inversas trigonom´etricas (arcsenx)0 = 1 √ 1 − x2 , si |x| < 1 (arcsenf(x))0 = f0(x) p 1 − f(x)2

(arccosx)0 =

−1

√

1 − x2

, si |x| < 1 (arccosf(x))0 = −f0(x) p 1 − f(x)2

(arctanx)0 =

1 1 + x2

(arctanf(x))0 = f0(x) 1 + f(x)2

(arccotanx)0 =

−1 1 + x2

(arccotanf(x))0 =

−f0(x) 1 + (f(x))2

4

Teorema 12 (Regla de la cadena). Sean f : S ⊂ R → R, g : T ⊂ R → R tales que f(S) ⊂ T . Si f es derivable en a ∈ S y g es derivable en f(a) ∈ T, entonces g ◦ f es derivable en a, y adem´as, (g ◦ f)0(a) = g0(f(a)) · f0(a)

Ejercicio 13. Calcular la derivada de la funci´on y = (x3 + 2x + 3)4.

Observemos que si f(x) = x3 + 2x + 3 y g(x) = x4, la funci´on y es la composici´on g ◦ f.

0.5. C´alculo de extremos absolutos

Teorema 14. Sea f : S ⊂ R → R, derivable en a ∈ S con f0(a) > 0 (´o +∞) (respectivamente, f0(a) < 0 (´o −∞)). Entonces, existe un intervalo (a − δ,a + δ) tal que ∀x ∈ (a − δ,a + δ), x 6= a se tiene: ½ f(x) < f(a) si x < a (respectivamente, f(x) > f(a)) f(x) > f(a) si x > a (respectivamente, f(x) < f(a))

es decir, f es estrictamente creciente localmente en a ( o estrictamente decreciente localmente en a).

Corolario 15 (Condici´on necesaria de extremo). Si f : S ⊂ R → R es derivable en a ∈ (b,c) ⊂ S y f tiene un m´aximo o un m´ınimo relativo en x = a, entonces f0(a) = 0. Demostraci´on: Si f0(a) > 0, entonces por el Teorema anterior f ser´ıa localmente estrictamente creciente en un intervalo (a − δ,a + δ). Luego no tendr´ıa ni m´aximo ni m´ınimo en a. Si f0(a) < 0, entonces por el Teorema anterior f ser´ıa localmente estrictamente decreciente en un intervalo (a−δ,a+δ). Luego no tendr´ıa ni m´aximo ni m´ınimo en a. Luego, f0(a) = 0.

Nota 16. El rec´ıproco no es cierto. Consideremos, por ejemplo, la funci´on f(x) = x3, donde f0(x) = 3x2, f0(0) = 0. Pero f no tiene ni m´aximo ni m´ınimo en x = 0, siendo su representaci´on gr´afica:

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x

Nota 17. La condici´on necesaria de extremo relativo nos proporciona un m´etodo para calcular los m´aximos y m´ınimos relativos de una funci´on f. Sin embargo, no todos los puntos de Dom(f) que verifican dicha condici´on son extremos relativos de f.

5

Aplicaci´on: Bu´squeda de m´aximos y m´ınimos de una funci´on continua. Debemos distinguir entre intervalos acotados e intervalos no acotados:

1. Intervalos cerrados y acotados. Si f : [a,b] → R es una funci´on continua, sabemos que ∃ m´ax x∈[a,b]

f(x) y

∃ m´ın x∈[a,b]

f(x). Entonces, buscaremos dichos puntos entre los siguientes:

a) extremos del intervalo: a, b, b) puntos x ∈ (a,b) en los que f no es derivable, c) puntos x en los que f0(x) = 0.

Se calculan las im´agenes de estos puntos y en el (los) punto (puntos) con imagen mayor, f alcanza el valor m´aximo absoluto. En el (los) punto (puntos) con imagen menor, f alcanza el valor m´ınimo absoluto.

Ejemplo 18. Estudio de los extremos de la funci´on f : [0,4] → R, definida por:

f(x) =

(

2x − x2 si x ∈ [0,2], x − 2 si x ∈ (2,4],

cuya gr´afica es la siguiente:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1 2 3 4 x

Puede comprobarse que f es continua en [0,4]. Estudiamos cada uno de los puntos:

a) Extremos del intervalo: 0, 4, donde f(0) = 0 , f(4) = 2 .

b) Puntos x en los que la funci´on no es derivable: f es derivable en [0,2) ∪ (2,4]. Veamos qu´e ocurre en el punto x = 2. f0 +(2) = l´ım h→0+ f(2 + h) − f(2) h = l´ım h→0+ (2 + h) − 2 − 0 h = 1.

f0 −(2) = l´ım h→0−

f(2 + h) − f(2) h

= l´ım

...