Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada II
TANIA EVELYN QUIROGA MORENOPráctica o problema16 de Marzo de 2017
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[pic 1]
Ingeniería: Energías renovables fecha: 11 /Marzo./2017
Grupo: 002 Unidad: 4
CORROE: es162008967@unadmexico.mx MATRICULA: 162008967.
Materia: Calculo diferencial
Actividad 3
Docente: José Alejandro Aguilar Carrillo
Alumno: Tania Evelyn Quiroga Moreno.
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Actividad 3: Máximos, mínimos y gráficos de una función
En los problemas del 1 al 3 identifique los puntos críticos y encuentre los valores máximo y mínimo en el intervalo dado.
- f (x)=x2 +4x+4; I =[-4,0]
Función f(x) | 1er Derivada f’(x) | Puntos de f(x) |
f(x) = x2 + 4x + 4 | f’(x) = 2x+4 | 2x+4 = 0 x = - 2 ϵ [-4, 0] |
2da derivada f’’(x) | Criterio de la 2da derivada | Tipo de punto |
f’’(x) = 2 | f’’(-2) = 2 > 0 | X = - 2 es un mínimo |
- [pic 2]
Los puntos críticos ( -4, -2 y 0)
f (x0) | (x,y) |
f(-2) = (-2)2 +4(-2) +4 = 0 mínimo f(-4) = (-4)2 +4(-4) +4 = 4 máximo f(0) = (0)2 +4(0) +4 = 4 máximo | (-2, 0) (-4, 4) (0, 4) |
- h(x) = x2 + x; I = [-2, 2]
Función f(x) | 1er Derivada f’(x) | Puntos de f(x) |
f(x) = x2 + x | f’(x)= 2x +1 | 2x+1 =0 x = - 1/2 ϵ I = [-2, 2] |
2da derivada f’’(x) | Criterio de la 2da derivada | Tipo de punto |
f’’(x) = 2 | f’’(-1/2) = 2 > 0 | X= -1/2 es un mínimo |
- Los puntos críticos son ( -2, -1/2 y 2)
f (x0) | Coordenadas de puntos críticos |
f (-2) = (-2)2 +(-2) = 4 - 2 = 2 Extremo f (-1/2) = (-1/2)2 +(-1/2) = ¼ - ½ = -¼ Mínimo f (2) = (2)2 +(2) = 4 + 2 = 6 Máximo | (-2, 2) (-1/2, -1/4) (2, 6) |
[pic 3] |
3. G(x) = 1 (2 x3 + 3 x2 - 12x); I = [-3, 3]
5
Función g(x) | 1er Derivada g’(x) | Puntos de g’ (x) = 0 |
[pic 4] | [pic 5] [pic 6] | [pic 7] [pic 8] [pic 9] X= - 2 y x = 1 |
2da derivada g’’(x) | Criterio de la 2da derivada | Tipo de punto |
[pic 10] | [pic 11] [pic 12] | X= - 2 hay un máximo relativo X= 1 hay un mínimo relativo |
2da derivada g’’(x) | Punto de Inflexión | Tipo de punto |
[pic 13] | [pic 14] [pic 15] | [pic 16] Punto de Inflexión |
Puntos críticos: -3, -2, 1, 3
f(x0) | Coordenadas |
[pic 17] [pic 18] [pic 19] [pic 20] | [pic 21] [pic 22] [pic 23] [pic 24] |
[pic 25]
4. Para cada función identifique los puntos críticos y encuentre los valores extremos en [-1, 5].
Función f (x) | f ’ (x) = 0 |
[pic 26] | [pic 27] [pic 28] [pic 29] |
1er Derivada f ’ (x) | |
[pic 30] |
f ’’(x) | Criterio de la 2da derivada | Máximos y mínimos |
[pic 31] | [pic 32] [pic 33] | Hay un mínimo en [pic 34] Hay un máximo en [pic 35] |
f ’’(x) = 0 | Punto de Inflexión f’’(x) = 0 | Tipo de punto |
[pic 36] | [pic 37] | [pic 38] Punto de Inflexión |
f (x) | f(x) = 0 | Raíces de f(x) |
[pic 39] | [pic 40] | [pic 41] [pic 42] [pic 43] |
[pic 44] | [pic 45] |
[pic 46] | [pic 47] |
[pic 48] | [pic 49] |
[pic 50] | [pic 51] |
[pic 52] | [pic 53] |
[pic 54] | [pic 55] |
[pic 56] | [pic 57] |
[pic 58] | [pic 59] |
[pic 60] | [pic 61] |
[pic 62]
Coordenadas | Tipo de punto | |
[pic 63] | X1 | Raíz |
[pic 64] | X2 | |
[pic 65] Fuera de dominio | X3 | |
[pic 66] | Xm | Mínimo |
[pic 67] | XM | Máximo |
[pic 68] | Xextr | Extremo |
[pic 69] | Xextr | |
[pic 70] | Xinfl | Inflexión |
(a) f (x) = x3 - 6x2 + x + 2 (b) g(x) = | f (x) |
[pic 71]
Función g(x) | 1er Derivada g’(x) |
[pic 72] | [pic 73] |
no existe la derivada para las raíces de | x3 - 6x2 + x + 2 | porque aniquilan al denominador:
Coordenadas | Tipo de punto | |
[pic 74] | X1 | No hay derivada |
[pic 75] | X2 | |
[pic 76] Fuera de dominio | X3 |
Haciendo g’(x) = 0 | “x” en donde g’(x)=0 |
[pic 77] | [pic 78] [pic 79] [pic 80] [pic 81] [pic 82] |
Máximos y mínimos Determinando M y m por evaluación de pendientes | |
[pic 83] [pic 84] [pic 85] [pic 86] [pic 87] [pic 88] [pic 89] [pic 90] Por lo tanto: [pic 91] Hay un máximo relativo porque [pic 92] Y [pic 93] Hay un máximo relativo porque [pic 94] Se deberá determinar si son máximos o puntos estacionarios |
Los x0 críticos son:
...