ASPECTOS TEORICOS CONCEPTUALES. LA ANTIDERIVADA
Enviado por Juniorjames234 • 15 de Marzo de 2017 • Apuntes • 1.783 Palabras (8 Páginas) • 288 Visitas
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UNICIT
UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA
DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
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Miembro de Asociación de Universidades Privadas de Centroamérica
Miembro de la Asociación Universitaria Iberoamericana de Postgrado
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I.- Introducción unidad:
Como parte del proceso de formación de futuros profesionales, el conocimiento sobre cálculo integral y la aplicación de los ejercicios matemáticos es de vital importancia para desarrollar habilidades y destrezas en la solución creativa de problemas en la economía y la administración.
En el curso de cálculo I se estudió el cálculo diferencial; ahora, comenzaremos el desarrollo de la segunda parte principal del cálculo llamada cálculo integral. Ya ha de estar usted familiarizado con las operaciones inversas. Como usted sabe, la adición y la sustracción son operaciones inversas; la multiplicación y la división también lo son, lo mismo que elevar a una potencia y extraer raíz. Ahora estudiaremos la operación inversa de la diferenciación: la antidiferenciación.
Existen mecanismos para encontrar la antiderivada de una función, en esta unidad se citaran el primero, en el que se utilizan fórmulas, que es uno de los más comunes
Los dos tipos de integrales que se estudiarán, la integral indefinida y la integral definida, son completamente diferentes entre sí. Sin embargo, mediante el importante teorema fundamental del cálculo se demostrará que no sólo las dos formas integrales están íntimamente relacionadas, sino que también están estrechamente relacionadas con la derivación.
La integración tiene dos interpretaciones distintas; es un procedimiento inverso de la diferenciación y es un método de definir y calcular el área de la región que se encuentra debajo de una curva.
II.- Competencias de la unidad.
- Comprensión y aplicación del concepto de antiderivada (integral indefinida) uno de los más importantes en el estudio del cálculo integral, ya que este contribuye a una mejor comprensión de La micro y macroeconomía materia de gran importancia en la formación como futuro profesional.
- Desarrollo de habilidades y destreza en la evaluación de antiderivadas por medio de fórmulas, para su futura utilización en la evaluación de integrales definidas.
- UNIDAD: I
- NOMBRE DE LA UNIDAD: LA ANTIDERIVADA (INTEGRAL INDEFINIDA)
- COMPETENCIA DE LA UNIDAD: Encontrar la función que estaba antes de derivar, teniendo la derivada de ésta.
ASPECTOS TEORICOS CONCEPTUALES.
LA ANTIDERIVADA
Como estudiantes ya estaremos familiarizados con las operaciones inversas. Por ejemplo. La adición y la sustracción son operaciones inversas; la multiplicación es la operación inversa a la división, lo mismo que elevar a una potencia y extraer una raíz. La antiderivada o integral indefinida es el resultado del poseso de antiderivación y es el proceso inverso a la derivación o diferenciación que es el proceso estudiado en el curso de cálculo I.
La siguiente definición nos ayudara e identificar la antiderivada de una función, aunque todavía no podamos o tengamos la capacidad o los elementos necesarios para poder definirla.
DEFINICION 1.[pic 7]
Una función F se llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si para todo valor de x en I.[pic 8]
EJEMPLO1. Si f se define como[pic 9]
[pic 10]
Entonces Así, si f es la función definida por[pic 11]
[pic 12]
Decimos que f es la derivada de F y que F es una antiderivada de f. Si G es una función definida por
[pic 13]
Entonces G también es una antiderivada de f, ya que
[pic 14]
En realidad, cualquier función cuyo valor este dado por , donde C es cualquier constante, es una antiderivada de f.[pic 15]
En general, si una función F es antiderivada de una función f, en un intervalo I, y si g está dada por
[pic 16]
Donde C, es una constante arbitraria, entonces
[pic 17]
Y G también es una antiderivada de f en intervalo I.
Ahora procederemos a probar que si F es cualquier antiderivada particular de f en el intervalo I, entonces todas las posibles antiderivadas de están definidas por F, donde c es una constante arbitraria. Antes necesitamos un teorema preliminar.[pic 19][pic 18]
TEOREMA 1
Si f y g son dos funciones tales que para todos los valores de x en el intervalo I, entonces existe una constante K tal que[pic 20]
Para todas las x en I.[pic 21]
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DEMOSTRACIÓN
[pic 23]
Se cumple que entonces [pic 24][pic 25]
Si existe una función h definida por
Tenemos que y como entonces [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]
Esto significa que (2) una constante, sustituyendo (2) en (1) tenemos así despejando f[pic 30][pic 31]
Obtenemos que y el teorema queda demostrado.[pic 32]
Una forma más sencilla de entender es la siguiente:[pic 33]
Y entonces.[pic 36][pic 34][pic 35]
Y el siguiente teorema se deduce del teorema 1. [pic 37]
TEOREMA 2
Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces toda antiderivada de f en I está dada por
(3)[pic 38]
Donde C es una constante arbitraria y cualquier antiderivada de f en i se puede obtener a partir de (3) asignando valores particulares a c.[pic 39]
La antidiferenciación (integración indefinida) es el proceso de determinación de todas las antiderivadas de una función dada.
ESTE PROSESO SE DENOTA POR LOS SIGUIENTES SIMBOLOS[pic 40]
Como la antidiferenciación es la operación inversa de la diferenciación (derivación), los teoremas de antidiferenciación se pueden obtener de los teoremas dados para la diferenciación. Así los teoremas siguientes se pueden demostrar a partir de los teoremas para la diferenciación.
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