CONTROL DIGITAL RESUMEN DE MODELO DISCRETO DE ESTADO

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MEXICO

CAMPUS VERACRUZ

JESUS REDON SALOMON

CONTROL DIGITAL

RESUMEN DE MODELO DISCRETO DE ESTADO

2 DE MAYO 2016

Capitulo 7

7.2 Definición de estado para sistemas discretos

Se comienza por replantear la definición de estado, puesto que la variable tiempo ha dejado de ser significativa para el problema. La adaptación debe contar con que ahora se trabaja con secuencias, donde la sucesión de elementos viene marcada por el índice de la secuencia. De esta forma, se puede volver a la definición de estado desde el discreto.

Se define «estado de un sistema discreto» como la mínima cantidad de información necesaria para un elemento de índice kc, de las secuencias del sistema, para que, conociendo la entrada a partir de ese elemento, se pueda determinar el valor de todas las variables del sistema para cualquier elemento posterior.

Se puede observar que en sistemas esta definición coincide con la de los sistemas continuos, ya que el elemento ko-ésimo corresponderá al instante koT.

Según esta definición, el estado del sistema es tal que si se conoce el elemento ko, dada la entrada u(λ), con ko k, cualquier conjunto de variable del sistema T(k) puede expresar como:

    [pic 1]     [pic 2]

Donde x(k) representa el estado del sistema para el elemento k-ésimo.

El concepto de estado de un sistema discreto en un elemento puede ampliar al de variable de estado, que se denota por el vector pudiéndose definir como la secuencia vectorial cuyo valor en cualquier elemento es el del estado para dicho elemento.

Al igual que en los sistemas se define el espacio de estado como el espacio vectorial donde toma valores el vector x(k) de variables de estado. De la misma manera, teniendo en cuenta que el estado se define como la mínima cantidad de información, las variables de estado linealmente independientes y, por tanto, la dimensión del espacio de estado coincide con el número de variables de estado.

La evolución, en función del índice, del vector de estado se denomina trayectoria Estas trayectorias, a diferencia de las de ICE sistemas continuos, no son continuas, sino que forman una secuencia de puntos del espacio de estado.

Dado que el estado en ko junto con la entrada a partir de elemento determina el comportamiento posterior del sistema, definen también y, por tanto:

[pic 3]

Lo que representa la solución de la ecuación del estado y donde Φ se le llama función de transición.

7.3 Sistemas dinámicos discretos

Se entiende como sistema dinámico discreto una relación matemática entre dos conÀntC8 de secuencias fu(k)) e (y(k)) denominadas entradas y cumpliendo:

1. Para toda secuencia real de entrada fu(k)) existe una única secuencia de salida fy(k)).

2. Las salidas y(k) no dependen de las entradas u(n) para n > k. Esta condición recibe el nombre de causalidad

Estas condiciones definen a todo sistema discreto causal, pero el estudio que se va a realizar a los sistemas discretos expresables en diferencias. En estos sistemas las relaciones entradas, estados y salidas se pueden resumir en las ecuaciones:

[pic 4] 

que se conocen como ecuación de estado del sistema y ecuación de salida del sistema (7.4) , y que, como puede verse, se formulan como ecuaciones en diferencias, frente a las ecuaciones diferenciales mediante las que se modelizan el y la salida del sistema para los sistemas continuos.

Si el comportamiento del sistema puede expresarse mediante la Ecuación 7.3, es que la variable x(k) representa el estado del sistema, y viceversa.

 El concepto de linealidad en los sistemas discretos es idéntico al de sistemas Si un sistema, con un estado inicial cualquiera x1 (ko) y ante una entrada real u1( λ), ko < λ< k, responde con una y1(k), y partiendo de x2(ko) ante u2(À), ko < λ < k, se obtiene y2(k), se dice que es lineal si para de números reales a y b, partiendo del estado inicial:

[pic 5]

Y ante la entrada y se obtiene una salida

[pic 6]

En sistemas expresables en diferencias, esta condición se traduce en que tanto la ecuación de estado como la ecuación de salida son lineales en el estado y en la entrada conjuntamente, es decir se pueden expresar respectivamente como

[pic 7]

• X(k) es el vector de estado en el instante k (de dimensión n)
• U(k) es el vector de entrada en el instante k (de dimensión m)
• Y(k) es el vector de salida en el instante k (de dimensión p)
• A(k) es la matriz del sistema (de dimensión n x m)
• B(K) es la matriz de entradas del sistema(de dimensión n x m)
• C(k)es la matriz de salidas del sistema (de dimensión n x m)
• D(k)es la matriz de transmisión directa entrada salida(de dimensión n x m)

Al igual que en los "temas continuos, la matriz D(k) de importancia desde el punto de vista del análisis, puesto que expresa una simple relación estática adicional entre entrada y salida.

El concepto de invarianza es también equivalente al de los continuos. Un sistema que, partiendo de un estado inicial Xo para un índice ko y que ante una entrada cualquiera u(À), ko À c k, responde con una salida y(k), se dice que es invariante respecto al tiempo si, partiendo para N del mismo estado inicial Xo para el índice ko + N y ante la entrada desplazada u(À + N), se obtiene la misma desplazada y(k + N).

La propiedad de invarianza en los sistemas en diferencias lineales dados por las Ecuaciones 7.8 y 7.9 representa que dichas ecuaciones tomen, la forma:

[pic 8]

Donde las A, B, C y D constantes independientes del índice.

7.4. Obtención de modelos discretos de estado

La primera observación para la obtención de modelos de estado es que el posible conjunto de variables de estado no es único. Por ejemplo, si para un sistema las variables determinan el estado, también + lo determinan, ya que conocido un conjunto es de inmediata determinación el otro.

Hecha esta puntualización, se puede partir de la función de transferencia en z del sistema discreto:

[pic 9]

Donde tanto los a como los b, pueden ser nulos.

En el caso de los sistemas continuos se utiliza para la obtención del modelo de estado el operador. En el caso discreto, dicho operación se sustituye por el de desplazamiento, haciendo uso de éste para el cálculo del modelo, manteniéndose de esta forma la analogía entre el discreto y el continuo:

[pic 10]

Teniendo cuenta el establecimiento de esta correspondencia entre sistemas continuos y discretos, se volver a plantear los métodos utilizados para la obtención de modelos de estado continuos, ahora desde el punto de vista discreto.

7.4.1. Modelo de estado en variables de fase

Partiendo de la expresión de la función de en z dada 7.12, para la obtención del modelo de estado en variables de se utiliza la variable auxiliar W (z), definida como:

[pic 11]

A partir de la cual se obtienen las variables de estado de la siguiente forma

[pic 12]

De manera que las ecuaciones del modelo de estado quedan como:

[pic 13]

7.4.2 modelo de estado en variables de jordan

Partiendo de la misma expresión de la función de transferencia en z que en el caso anterior, se realiza una descomposición en fracciones simples de la forma:

[pic 14]

Donde los λ son los valores propios de la matriz A, que por simplicidad se suponen de multiplicidad uno. Dada esta descomposición, se obtiene el modelo de estado a partir de las transformadas de las variables de estado.

[pic 15]

Es decir:

[pic 16]

O bien de forma matricial:

[pic 17]

Caso de raíces de multiplicidad q

Si el sistema no admite una descomposición en fracciones simples porque existe una raíz con multiplicidad q, es decir, que la factorización queda como

[pic 18]

Se eligen como transformada z de las variables de estado:

[pic 19]

Que pasadas a su expresión como ecuación en diferencias mediante la transformada inversa z quedan como:

[pic 20]

Y expresadas en forma matricial:

[pic 21][pic 22]

[pic 23][pic 24]

Obsérvese que la existencia de polos múltiples genera en la matriz del sistema unas submatrices, tal como se puede apreciar en la ecuación, en las que, además de tener la diagonal el polo múltiple, aparecen elementos unitarios en la diagonal inmediatamente superior. Estas se denominan bloques de Jordan

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