Elaboración e interpretación de PID

Práctica 1: Elaboración e interpretación de PID

Miguel Ángel Ortiz A01018615

Guillermo Masayuki A01016268

Nicolás Iris A01015148

Daniel Fitz A01127802

Resumen

The abstract is to be in fully-justified italicized text, at the top of the left-hand column as it is here, below the author information. Use the word “Abstract” as the title, in 12-point Times, boldface type, centered relative to the column, initially capitalized. The abstract is to be in 10-point, single-spaced type, and up to 150 words in length. Leave two blank lines after the abstract, then begin the main text.

1. Introducción

        La ingeniería de control se enfoca en la modelación de sistemas matemáticamente y el diseño de controladoras que permitan que el sistema se comporte de la manera deseada. Dicho análisis y modelación se aplica a diversos tipos de sistemas como electrónicos y mecánicos. Esta disciplina tiene un rango muy amplio de aplicaciones como en aeronaútica, automatización, militar, espacial y medicina.

El objetivo del control automático es poder controlar el comportamiento con una o más entradas, también llamadas referencias, una o más salidas de una planta o sistemas. La forma más básica de controlar es colocar entre la referencia y la planta un controlador que sea el inverso de la función de transferencia de la planta, de tal manera que la función de transferencia de todo el sistema sea igual a uno. Esta primera forma básica se denomina control en lazo abierto.

        Existen muchos métodos para controlar un sistema, uno de ellos se denomina control PID (Proporcional, Integrativo, Derivativo). Este tipo de control es uno de los más usados en la industria ya que demostraron ser bastantes robustos en diversas aplicaciones. Este tipo de control es muy simple, sin embargo, su simplicidad implica en algunas ocasiones que este tipo de control no sea adecuado, dado que no sirve para plantas que son inestables en lazo abierto. Sin embargo, si su aplicación es correcta, la implementación de ésta es muy sencilla de realizar.

2. Control PID

Los controladores PID, tienen tres tipos de acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). La acción Proporcional (P) da una salida del controlador que es proporcional al error, y se puede describir con la siguiente función de transferencia en la figura 1.

[pic 1]

Fig.1: Función de transferencia

la acción proporcional

En la ecuación descrita en la figura 1, Kp es una ganancia de valor ajustable. Un controlador proporcional tiene la posibilidad de controlar cualquier panta estable, sin embargo posee un desempeño limitado, dado que se mantiene un error de estado estacionario.

La acción integral (I) da una salida proporcional al error acumulado, por lo tanto permite que el error de estado estacionario sea cero. La función de transferencia de la acción integral se describe en la figura 2, donde Ki es igual al cociente de la ganancia Kp entre el tiempo de integral.

[pic 2]

Fig. 2: Función de transferencia de la acción integral

        La acción derivativa (D) es carácter previsor y es efectiva en los transitorios, lo que permite más rápido la función de control, sin embargo, puede ocurrir que amplifique perturbaciones y causar que el sistema sea inestable. Por otra parte, cuando la acción derivativa se combina con el controlador proporcional, nos permite tener un controlador de alta sensibilidad dado que responde a la velocidad de cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error sea demasiado grande.

        Al aplicar un control PID añadimos la combinación de los tres comportamientos mencionados anteriormente y se representa con la siguiente ecuación en función del tiempo en la figura 3, cuya función de transferencia en Laplace está descrita en la figura 4.

        [pic 3]

Fig. 3: Ecuación que representa el controlador PID en función del tiempo

[pic 4]

Fig. 4: Función de transferencia del control PID.

        El diagrama en bloques de la función de transferencia del control PID se describe en la figura 5.

[pic 5]

Fig. 5: Diagrama en bloques del controlador PID

        Para calcular las ganancias para el controlador PID existe un método propuesto por Ziegler y Nichols en 1942 llamado método de oscilación. Dicho método ocupa la siguiente tabla (tabla 1) para obtener los valores de ganancias.

[pic 6]

Tabla 1. Parámetros de ajuste para el método de oscilación

         El controlador PID se aplica en el sistema como se ilustra en el siguiente diagrama de bloques de la figura 6.

[pic 7]

Fig 6. Diagrama en bloques de un sistema con controlador PID

3. Desarrollo

        A continuación aplicaremos el control PID para tres sistemas usando el método Ziegler-Nichols.

1. [pic 8]

Primeramente veremos su comportamiento a lazo abierto con la siguiente gráfica en la figura 7.

[pic 9]

Fig.7 Comportamiento del sistema a lazo abierto

Al observar la gráfica determinamos que el sistema tiene un comportamiento estable a lazo abierto por lo tanto, el control PID es aplicable en este sistema. Así mismo se puede observar que el tiempo de establecimiento es aproximadamente de Pc=6 segundos.

Acto siguiente analizaremos su estabilidad usando el criterio de Routh. Para ello, cerrando el lazo con retroalimentación unitaria y al multiplicar la planta por una ganancia K obtenemos la siguiente ecuación.

        [pic 10]

De esta forma obtenemos el valor de la constante K, cuando el sistema es estable el cual es K=7. Sustituyendo K en la ecuación característica obtenemos las siguientes raíces.

S0=-3

S1=1.73j

S2=-1.73j

        Por lo tanto la frecuencia natural ωn=1.73 y el periodo de oscilación Pc=3.63 y Kc=K=7. Con esto podemos obtener nuestras ganancias Kp, Ti, Td.

...