Estadistica. Definición de probabilidad conjunta

1.1 Definición de probabilidad conjunta.

Dada la experiencia aleatoria con espacio muestral Ω y dos eventos A y B, se define un nuevo evento llamado conjunción de A y B, que se denota A∩B, de la siguiente manera: A∩B ocurre siempre que ocurra A y ocurra B, es decir, que ocurran ambos simultáneamente.

La probabilidad de A∩B, que simboliza P(A ∩ B), se le llama probabilidad conjunta de A y B.

1.2 Eventos mutuamente excluyentes.

Un evento mutuamente excluyente es uno en el que la aceptación de una alternativa automáticamente excluye otras posibles alternativas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

1.2.1 Regla de la adición.

Para eventos mutuamente excluyentes.

El campo de las leyes es muy consciente de los eventos mutuamente excluyentes. Si bien esto es verdad en muchos crímenes, un escenario común sería recibir una multa por exceso de velocidad. La persona excedió el límite de velocidad o no. Este es un ejemplo simple, pero por lo general todo el fundamento de culpable o inocente se basa en un evento mutuamente excluyente, y por eso la importancia de un testigo. Si puede probarse que el acusado estaba haciendo algo más a la hora del crimen, no puede ser el culpable (en muchos casos).

Para eventos mutuamente no excluyentes entre sí.

Cuando se tienen eventos elementales no existe mucho problema en el sentido del cálculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización o el uso directo del cálculo combinatorio. Pero en el caso de eventos no elementales, que son los compuestos por más de un evento elemental, el proceder de manera análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden sobrepasar la capacidad de cálculo existente. Sin embargo, utilizando los axiomas de la probabilidad y las siguientes propiedades, se podrán expresar las probabilidades de estos eventos en términos de los eventos elementales que lo componen, siempre y cuando se conozcan las probabilidades de éstos.

Veamos la probabilidad de una unión de eventos, la cual la podremos calcular de la siguiente manera:

Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,

P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)

-Eventos independientes.

Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P(B/A) = P(B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.

Proposición 3.6: Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B.

Demostración: De la definición de probabilidad condicional se tiene

y

Despejando [3.3]

Como B es independiente de A, se tiene: P(B/A) = P(B) y sustituyendo en [3.3] nos conduce a la expresión

Por lo tanto, , de donde , lo que nos indica que A es independiente de B.

1.3.1 Regla de la multiplicación.

-Para eventos independientes.

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

La regla de la multiplicacion para eventos independientes :

P=Pa x Pb

Ejemplos:

Calcula la probabilidad de obtener un numero par aL tirar un dado y de obtener un sol al tirar una moneda.

Pa=(1,2,3,4,5,6) Pb=Moneda(aguila)(sol)

(2,4,6)

Pa=3/6 Pb=1/2

-Para eventos dependientes.

En los temas anteriores relativos a la probabilidad condicional, hemos visto el caso en que el resultado de un evento está condicionado a la ocurrencia de otro. Sin embargo, hay eventos que se salen de este contexto, en cuyo caso se habla de eventos independientes. Hagamos el estudio de ellos.

Se dice que un evento A es independiente de un evento B, si la probabilidad de que A suceda no está influenciada porque B haya o no sucedido.

1.4 Probabilidad condicional.

1.4.1 Definición.

En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.

Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

La primera semilla sea roja?

La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:

La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por

, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.

Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.

1.4.2 Teorema de Bayes.

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763[1] que expresa la probabilidad

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