Implementacion De La Transformadas De Laplace

Aplicación de las Transformadas de Laplace

(Control de Procesos)

Ing. Gerardo Daniel Jonapa Alvarez

Universidad del Sur – Maestría en Telecomunicaciones

Tuxtla Gutiérrez Chiapas, México.

Jonapa185@gmail.com

Resumen- En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensamblé automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros.

El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia. Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente: La transformada de Laplace.

I.-INTRODUCCIÓN

En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.

Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales. De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

II.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Analizando el problema de control del tanque de calentamiento, es evidente que la solución de las ecuaciones diferenciales será una de nuestras mayores tareas. El método de la transformada de Laplace proporciona una vía eficiente para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales con coeficientes constantes. Transformando una ecuación diferencial resulta una ecuación algebraica con la variable s reemplazando al tiempo como variable independiente. Resolviendo esta ecuación algebraica y haciendo la transformación inversa da la solución de la ecuación original.

III.-EL CONCEPTO DE UNA TRANSFORMADA

Un ejemplo familiar de una transformada es un logaritmo. Por ejemplo, considerar la multiplicación de dos números tales como:

(643) (2,68) = ...

Para resolverlo mediante logaritmos es necesario lo siguiente:

1. Tomar los logaritmos (hacer la transformación).

2. Sumar los logaritmos (solucionar el problema en un dominio matemático diferente). Notar que la complejidad del problema se ha reducido: Adición reemplaza a multiplicación.

3. Tomar el antilogaritmo (hacer la transformación inversa).

El problema transformado es resuelto en el paso 2, y luego en el paso 3 esta solución es convertida al dominio del problema original.

La transformada de Laplace tiene mucho en común con las transformadas logarítmicas. Las transformadas de Laplace son transformadas integrales y son transformadas para funciones en lugar de números.

Definimos:

f(t) = una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t < 0

s = una variable compleja, s = σ + jω; ( σ y ω; son variables reales y j = √-1)

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que procede debe transformarse por la integral de Laplace.

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

Entonces la transformada de Laplace de f(t) está dada por

Donde L es el símbolo para “La transformada de Laplace de”.

Así pues, aplicar una transformada de Laplace a una ecuación diferencial equivale pasar del dominio del tiempo t a la variable compleja s + jw en el dominio de la s.

Una vez que se ha obtenido la solución de la expresión algebraica en función de la variable s, bastará buscar la transformada inversa de Laplace (antitransformada) con el fin de obtener la solución de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo. Se expresa del modo siguiente:

L-1 [F(s)] = f(t)

IV.-EL PROCESO DE DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL

Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere

Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas. A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez

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