Las sucesiones de Cauchy

Las sucesiones de Cauchy son m´as que sucesiones en la cual existe un

elemento de la sucesi´on, tal que, para los t´erminos sucesivos la distancia entre

entre dos cualquiera de ellos tiende a ser tan peque˜na como se quiera.

Adem´as, permiten determinar si una sucesi´on converge sin necesidad de intuir

o saber de antemano el valor del l´ımite (definici´on de convergencia de

una sucesi´on) y no necesita ser una sucesi´on mon´otona (teorema de la convergencia

mon´otona) para aplicar la definici´on de Cauchy. El objetivo de

este documento es mostrar que, si se debilita la definici´on de Cauchy, las

sucesiones que la satisfagan pueden obtener propiedades interesantes. A este

“debilitamiento” lo llamamos sucesiones cuasi-Cauchy. Se hablar´a primero

de la recta real y luego se extiende a espacios m´etricos.

1. En la recta real R

Definici´on 1.1. Sea (xn) una sucesi´on de n´umeros reales.

† (xn) es de Cauchy si dado  > 0 existe un entero K > 0 tal que

m, n  K implica que |xm − xn| < .

† (xn) es cuasi-Cauchy si dado  > 0 existe un entero K > 0 tal que

n  K implica que |xn+1 − xn| < .

Observaci´on 1. Note que toda sucesi´on de Cauchy es cuasi-Cauchy. Basta

hacer m = n + 1 en el primer inciso de la definici´on (1.1).

No es cierto que toda sucesi´on cuasi-Cauchy es de Cauchy. Para ver esto,

sea (sn) la sucesi´on de sumas parciales de la serie P1/n. Se probar´a que

esta sucesi´on es cuasi-Cauchy pero no es de Cauchy.

*Unas notas acerca de estas sucesiones. Versi´on . Jorge Andres Rojas.

**Ver bibliograf´ıa para m´as info acerca del art´ıculo.

1

Para ver que es cuasi-Cauchy, sea  > 0. Por la propiedad arquimediana,

existe k 2 N tal que 1

k < . Para n 2 N tal que k  n + 1 se tiene que

|sn+1 − sn| =

1 +

1

2

+

1

3

+ · · · +

1

n + 1 − 1 +

1

2

+

1

3

+ · · · +

1

n

=

1

n + 1

=

1

n + 1

Luego se tiene que

|sn+1 − sn| =

1

n + 1 

1

k

< 

Por lo tanto, para  > 0 dado, existe k 2 N tal que para toda n  k implica

que |xn+1 − xn| < . As´ı, (sn) es cuasi-Cauchy.

Se procede a mostrar que (sn) no es de Cauchy. Sea k un natural dado. Para

m, n > k naturales se tiene que

|sm − sn| =

1

n + 1

+

1

n + 2

+ · · · +

1

m

=

1

n + 1

+

1

n + 2

+ · · · +

1

m

Como n + 1 < n + 2 < n + 3 < · · · < m entonces

1

m

+

1

m

+ · · · +

1

m

<

1

n + 1

+

1

n + 2

+ · · · +

1

m

Note que el n´umero de elementos que hay de n hasta m es m − n. As´ı, se

concluye que

m − n

m

< |sm − sn|

En particular cuando m = 2n se tiene que

2n − n

2n

=

1

2

< |s2n − sn|

Se concluye que existe 0 = 1/2 tal que para toda k existe al menos un n > k

y al menos un m = 2n > k tal que |sm − sn|  0. Por lo tanto, no es de

Cauchy.

Un comentario adicional a todo esto, es que no toda sucesi´on divergente es

cuasi-Cauchy. Por ejemplo, la sucesi´on (xn) = (−1)n no es cuasi-Cauchy.

Observe que,

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