Sucesiones

PROYECTO DE INVESTIGACION MATEMATICAS

SEGUNDO-CORTE

¿Es la sucesión ¿Que es una sucesión definida recursivamente? Proponga un ejemplo. de Fibonnaci recursiva? Explique su respuesta.

R/ Los valores de los términos de una sucesión pueden definirse explícitamente: mediante fórmulas como . Hay sucesiones que se definen implícitamente mediante reglas que permiten encontrar un término de la sucesión utilizando otros términos que lo preceden en la sucesión.

Definición recursiva de sucesión Una sucesión está definida recursivamente siempre que:

Cláusula base: Los valores de algunos términos de la sucesión, generalmente el primero, o los primeros, se especifiquen explícitamente; En la cláusula base se dan los valores de los elementos a partir de los cuales se generan los demás valores de la sucesión.

Cláusula recursiva: Los valores de los otros elementos de la sucesión están definidos en término de valores previos en la sucesión; La cláusula recursiva nos describe la manera (reglas o fórmulas) para obtener los otros valores de la sucesión (de manera “recurrente”).

Ejemplo: Sucesiones aritméticas

La sucesión definida por , es decir,

¿Qué es la sucesión de Fibonacci recursiva?

Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci es una figura clave de las matemáticas. La sucesión de Fibonacci es uno de los ejercicios típicos de programación para practicar con los bucles o la recursividad.

llamada serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales

Es secreto de esta sucesión es el de que siempre comenzara con los dígitos 0 y 1 y a partir de ellos el termino siguiente de la serie será la suma de los dos anteriores; 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377...

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:

fn=fn-1+fn-2

partiendo de dos primeros valores predeterminados:

f0=0

f1=1

Se obtienen los siguientes números:

Para

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en matemática discreta.

Resolver:

Ejercicios 11.1.

Pares del 1-16, decir en cada caso diga si la sucesión que se va generando es creciente, decreciente, alternada, acotada. 35-38. Sumas parciales. Y 67, 78, 79, 80.

R/

Ejercicios 11.2 (Sucesiones aritméticas.)

¿Qué propuso Gauss cuando su maestro de escuela le propuso sumar los 100 primeros números naturales? 37 y 44.

R/ En 1784, a los siete años de edad, ohann Carl Friedrich Gauss, ingresó a una de las escuelas de primeras letras de Brunswick donde daba clases un maestro llamado Büttner, quien corrigió rápidamente su lectura, le enseñó gramática, ortografía y caligrafía y perfeccionó su talento matemático y lo animó a continuar el bachillerato, como consta en su carta para que lo aceptaran en el Lyceum; pero quien usaba unos métodos severos y una estricta disciplina, lo que desagradaba a alguien tan sensible. Se cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética.1 Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» ('ya está'). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.

“…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad… pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante:

1, 2, 3, 4…….. 97, 98, 99, 100

1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =… = 101

Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto 101· 50 = 5050

Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término:

dónde a1 es el primer término, an el último, y n es el número de términos dela progresión…..”

esta es una cita tomada el libro “Los grandes matemáticos” de E. T. Bell (1948) muy interesante cerrando esta con la siguiente frace:

“….Cuando Gauss tenía diecinueve años, su madre preguntó a un amigo de éste, el matemático Wolfang Bolyai, si Gauss llegaría a ser alguien. Bolyai le respondió: ¡El más grande de los matemáticos de Europa!, y ella se puso a llorar….”

Ejercicios 11.3 (Sucesiones geométricas.)

¿Qué es una serie geométrica infinita? 47, 48. 75 y 76 explique la regularidad que encuentra en cada caso (para los dos últimos).

R/ Una expresión de la forma recibe el nombre de serie infinita. Los puntos quieren decir que la suma continúa de manera indefinida.

47-48. Calcule la suma de la serie geométrica infinita.

=

=

75 y 76 explique la regularidad que encuentra en cada caso.

75. Los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado 1 se unen para formar un nuevo cuadrado. Este procedimiento se repite para cada nuevo cuadrado.

76. se recorta un disco circular de radio R de un papel. Se recortan otros dos discos de radio 1/2R de otro papel, y se colocan sobre el primer disco, y luego se colocan otros cuatro discos de radio igual a 1/4R se colocan sobre los dos discos anteriores. Si suponemos que este proceso se puede repetir de manera indefinida.

La regularidad que hay entre ellas es el mayor valor posible de R es 1, lo que ocurre si todas las cifras que se suman son iguales; ya que el numerador y el denominador serán iguales. En este caso se dice que la regularidad es del 100%.

realizar los ejercicios de las potencias de (i) que trabajamos en clase y que deben terminar.

R/

Referencias:

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