Método de Cardano.

Método de Cardano

Sea una ecuación algebraica polinomial de tercer grado completa sin normalizar en una sola variable [pic 1]de la forma

[pic 2]  con [pic 3]                                                        (1)

donde [pic 4]  son sus coeficientes polinomiales. Sean [pic 5]  las tres raíces de la ecuación [pic 6]que deseamos calcular. Dividiendo ambos lados de la ecuación [pic 7]por su coeficiente principal [pic 8]  obtenemos

[pic 9]

si definimos  [pic 10], la ecuación [pic 11]queda como

[pic 12]

con lo cual hemos ya normalizado la ecuación [pic 13], pues es más fácil de trabajar la ecuación [pic 14]ya normalizada que la ecuación [pic 15], pero con la ventaja de que las raíces de ambas son exactamente iguales. Ahora, realicemos la transformación de Tschirnhausen, dada en la forma

[pic 16]

lo que nos permite eliminar el término de la potencia cuadrática cuando se sustituye la ecuación [pic 17]en la ecuación [pic 18], así se obtiene

[pic 19]

donde al desarrollarse los binomios y simplificar términos comunes nos da

[pic 20]

y si hacemos las sustituciones arbitrarias pero convenientes

[pic 21]

obtenemos la ecuación

[pic 22]

a la cual se le llama ecuación cúbica reducida por contener un término menos (en este caso ha desaparecido el término cuadrático por el uso de la transformación de Tschirnhausen) que la ecuación completa [pic 23], la cual es más fácil de resolver que la ecuación [pic 24], de modo que si resolvemos la ecuación [pic 25]entonces las raíces de la ecuación [pic 26]se calcularán de forma sencilla usando la ecuación [pic 27]por ser esta una relación lineal e invertible. Note que si [pic 28], implica necesariamente según las ecuaciones [pic 29]y [pic 30]que [pic 31]. La ecuación [pic 32]tiene tres raíces [pic 33]que se calculan como sigue:

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

donde los valores de [pic 37], [pic 38]y [pic 39]se definen como

[pic 40]

donde [pic 41]es el discriminante de la ecuación cúbica [pic 42]y nos ayuda a establecer cuatro casos posibles distintos como sigue.

Caso 1. Una raíz real y dos complejas conjugadas entre sí

Si [pic 43]y [pic 44], para [pic 45], se tiene para la ecuación [pic 46]una raíz real dada como [pic 47]por la ecuación [pic 48]y dos raíces complejas conjugadas [pic 49], dadas por las ecuaciones [pic 50]y [pic 51]. Al restar a cada una de estas raíces la cantidad [pic 52]de acuerdo a la ecuación [pic 53]se obtiene una raíz real [pic 54]y dos complejas conjugadas [pic 55]también para la ecuación de interés [pic 56]. Este es uno de los dos casos en que se presentan las raíces de multiplicidad unitaria.

Ejemplo 1. Usando el método de Cardano calcule las tres raíces de la ecuación cúbica siguiente:

[pic 57]

Solución. Primero normalizamos la ecuación dividiendo ambos lados por su coeficiente principal [pic 58], para dar

[pic 59]

la cual al compararla con la ecuación [pic 60]podemos definir que [pic 61], con los cuales podemos calcular [pic 62]y [pic 63]a partir de las ecuaciones [pic 64]y [pic 65]respectivamente para dar

[pic 66]

[pic 67]

con estos valores podemos calcular el discriminante [pic 68]mediante la ecuación [pic 69]para dar

[pic 70]

puesto que [pic 71]y [pic 72], entonces obtendremos una raíz real y dos complejas conjugadas. Para ello, calculamos primero los valores de A y B mediante las ecauciones [pic 73]y [pic 74], respectivamente, para dar

[pic 75]

[pic 76]

las raíces de la ecuación [pic 77]se calculan mediante las ecuaciones [pic 78],[pic 79] y [pic 80]para dar respectivamente

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

ahora, ya por último, usaremos la ecuación [pic 84]para poder obtener las raíces de la ecuación que nos pedían resolver, como

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