PROYECTO DE GEODESIA

UNIVERSIDAD DEL VALLE

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Y GEOMATICA

PROYECTO DE GEODESIA

AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS

PRESENTADO POR:

JADIER ASPRILLA

ALEJANDRO PEREA FRANCO

DIEGO CALDERON

PRESENTADO A :

ING. MAURICIO RINCON

SANTIAGO DE CALI, JUNIO 15 DEL 2010

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION 4

OBJETIVOS 5

Objetivo General 5

Objetivos Específicos 6

MARCO TEORICO. 6

La Geodesia. 6

Geodesia Geométrica 6

Ajuste por Mínimos Cuadrados. 6

Levantamiento Geodésico. 7

Geoide 7

Elipsoide de revolución 8

Ecuación de la elipse 8

Achatamiento 8

Coordenadas Geográficas 9

Secciones normales mutuas 9

Línea geodésica 10

METODOLOGIA 13

Calculo de líneas Bases 13

Definir punto de partida y punto de llegada. 13

Las dos coordenadas cual será el de partida en nuestro caso es A el de partida y B el de llegada. 13

Cálculo de W, N, M y las constantes B, C, y ∆φ 13

Cálculos a partir de B. 13

Ya definidos nuestros puntos calculamos , , , D, E, con el punto B con las siguientes formulas: 14

Cálculo de Y. 14

Calculamos Y con la siguiente formula los valores planteados en 4.1.2 y 4.1.3: 14

Cálculo del Azimut. 14

Calculamos el azimut de la línea del punto A-B con la siguiente formula: 14

Calculo de la distancia del punto A-B. 14

Calculo del primer exceso esférico 14

Ajuste con el primer exceso esférico . 14

Los triángulos contenidos en los tres cuadriláteros, realizamos la sumatoria de sus ángulos internos y lo igualams180º para seguir la condición de un triangulo, para así 15

Calculo de distancias planas 15

Calculo del segundo exceso esférico 15

Cálculo de los valores de W, N, M con : 16

Luego Calculamos el para cada figura, con la siguiente formula: 16

Ahora procedemos a ajustar el para cada triangulo, este ajuste se hará con los ángulos ajustados por el : 16

Calculo de camino de menor resistencia. 16

El cálculo de la resistencia de la figura (se habla de la disposición de los vértices y de la distribución de los triángulos a usar). 16

Planteo de ecuaciones de lado. 17

Ecuación de azimut 17

Planteo de ecuación de latitud y longitud 17

Planteo Matricial del ajuste por mínimos Cuadrados 17

RESULTADOS 18

4.CONCLUSIONES 31

BIBLIOGRAFÍA 32

INDICE DE FIGURAS

Figura 1. Elipsoide de Revolución 8

Figura 2. Latitud y Longitud sobre el elipsoide terrestre. 9

Figura 3. Referencias a partir del Ecuador y m. Greenwich. 10

Figura 4. Secciones Normales Mutuas en A y B. 11

Figura 5. Línea Geodésica (Curvatura dual). 12

INTRODUCCION

La Geodesia es de gran utilidad cuando se aplica con fines de control, es decir, para establecer la ordenación de tierras, los límites de suelo edificable o verificar las dimensiones de las obras construidas. La topografía de los terrenos, los elementos naturales y artificiales como embalses, puentes y carreteras, se representan en los mapas gracias a los levantamientos geodésicos. Las mediciones en un estudio topográfico son lineales y angulares, y se basan en principios de geometría y trigonometría tanto plana como esférica. En la actualidad, se utilizan satélites artificiales para determinar la distribución irregular de masas en el interior de la Tierra, así como su forma y dimensiones a partir de las irregularidades en sus órbitas.

Nos facilita una mayor y mejor información sobre el territorio de interés, lo cual actualización catastral, el manejo de aguas superficiales y subterráneas, la producción agropecuaria, el desarrollo de infraestructura (caminos, represas, etc.) entre otros.

Para realizar los cálculos de distancias y posiciones geodésias, se requiere de una alta veracidad y precisión en la toma de datos de campo de la zona donde se realizarán estudios, por tanto, el uso matemático de ecuaciones que logran resolver este inconveniente, requiere que los datos sean calculados con la mejor precisión posible para obtener una información confiable.

El siguiente trabajo presenta el procedimiento de ajuste y triangulación geodésico aplicando el proceso matricial de mínimos cuadrados y los procedimientos de minimización de error necesarios para desarrollarlo.

OBJETIVOS

Objetivo General

Realizar el ajuste de las posiciones Geodésicas, utilizando el método de mínimos cuadrados, teniendo en cuenta las observaciones y las condiciones para aplicar las correcciones apropiadas.

Objetivos Específicos

• Aplicar el método inverso de Puissant para calcular las distancias principales de la red geodésica.

• Utilizar el método del problema directo de Puissant, para calcular las coordenadas geográficas de los vértices de cada cuadrilátero de la red geodésica.

• Seguir los procedimientos respectivos para encontrar las ecuaciones básicas en el desarrollo del ajuste por mínimos cuadrados de la red geodésica.

MARCO TEORICO.

La Geodesia.

Es la ciencia estudia la forma, dimensiones y campo gravitatorio de la Tierra en territorios extensos. Como ya sabemos, esta es su principal diferencia con la topografía, las cual basa sus trabajos en superficies de extensión reducida. Desde un punto de vista practico, una de las mayores utilidades de la geodesia es que mediante sus técnicas es posible representar cartográficamente territorios muy extensos. Esto se consigue mediante el establecimiento de una de red de puntos distribuidos por toda la superficie terrestre, de los cuales se determinaran sus coordenadas.

Tras el establecimiento de esta red de puntos de control, mas comúnmente denominados vértices geodésicos, se cuenta con una estructura precisa sobre la que podrían apoyarse otros levantamientos posteriores, densificando la red inicial y dando cobertura a todo el territorio

Geodesia Geométrica

Se encarga de fundamentar todos los conocimientos básicos sobre la forma de la Tierra, con los soportes matemáticos y geométricos de las relaciones espaciales entre elementos de medición dentro de un entorno espacial.

Incluye el estudio de las triangulaciones y trilateraciones, el cálculo y compensación de redes geodésicas y el cálculo de coordenadas, con el análisis estadístico de los resultados.

Ajuste por Mínimos Cuadrados.

La mayoría de las mediciones de levantamientos se deben ajustar a ciertas condiciones geométricas. Las magnitudes por las que las mediciones no satisfacen estas condiciones necesarias se denominan errores de cierre, e indican la presencia de errores aleatorios. Diversos procedimientos se aplican para distribuir esos errores y producir condiciones geométrica y matemáticamente perfectas. Debido a que los errores aleatorios en topografía ocurren conforme a las leyes matemáticas de la probabilidad y se “distribuyen normalmente”, el proceso de ajuste más adecuado deberá basarse en estas leyes. El procedimiento de los mínimos cuadrados que se encuentra en varios software del mercado es uno de tales métodos

Es una técnica de optimización matemática que, dada una serie de mediciones, intenta encontrar una función que se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"). Intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se sabe que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración). Pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular.

Levantamiento Geodésico.

Para

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