Simulacion

TALLER # 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES

INTEGRANTES

MAYRA JIMENEZ MANJARRES

FRANKLIN GONZALEZ RETAMOZO

MARTHA QUINTANA SARABIA

GRUPO 02

INGENIERA

INGRID JOHANA DONADO ROMERO

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

VALLEDUPAR

2012-2

TALLER 2

Halle una aproximación (exacta hasta la décima cifra decimal) a la tasa de interés la con la que se conseguiría aumentar el capital acumulado un distribuidor de equipos de cómputo, a $1´000.000 si durante 240 meses ahorra $680.000

F=1000000

P=680.000

n=240m

F=P(1+i)^n

1.000.000=680.000(1+i)^240

680.000(1+i)^240- 1.000.000=0

Aplicando newton. a partir de una aproxima inicial de i=0.05 basados en un estudio previo tenemos la siguiente tabla.

i a b Fc Error

1 0.000000 0.005000 238113.396815 0.002500

2 0.000000 0.002500 -82267.958451 0.001250

3 0.001250 0.002500 66003.032825 0.000625

4 0.001250 0.001875 -10895.355677 0.000312

5 0.001563 0.001875 26837.235166 0.000156

6 0.001563 0.001719 7795.098800 0.000078

7 0.001563 0.001641 -1593.681597 0.000039

8 0.001602 0.001641 3089.769721 0.000020

9 0.001602 0.001621 745.315684 0.000010

10 0.001602 0.001611 -424.864260 0.000005

11 0.001606 0.001611 160.055288 0.000002

12 0.001606 0.001609 -132.447080 0.000001

13 0.001608 0.001609 13.793454 0.000001

14 0.001608 0.001608 -59.329475 0.000000

15 0.001608 0.001608 -22.768676 0.000000

16 0.001608 0.001608 -4.487778 0.000000

17 0.001608 0.001608 4.652796 0.000000

18 0.001608 0.001608 0.082499 0.000000

19 0.001608 0.001608 -2.202642 0.000000

20 0.001608 0.001608 -1.060072 0.000000

21 0.001608 0.001608 -0.488787 0.000000

22 0.001608 0.001608 -0.203144 0.000000

23 0.001608 0.001608 -0.060322 0.000000

24 0.001608 0.001608 0.011088 0.000000

25 0.001608 0.001608 -0.024617 0.000000

26 0.001608 0.001608 -0.006764 0.000000

La tasa de interés con que se conseguiría aumentar el capital acumulado es de: 0.0016

%programa NEWTON

Syms x

F=input('f(x)= ');

P0=input('P0= ');

tol = input ('Toleracia= ');

N=input('Numero maximo de iteraciones= ');

g=diff(F);

K=0;

while K<=N

x=P0;

FP0=eval(F);

gP0=eval(g);

P=P0-(FP0/gP0);

if abs(P-P0)<tol

disp(P);

break

else

K=K+1;

P0=P;

end

end

if K>N

disp('Agotado numero de iteraciones, finalizado sin exito')

end

2. Suponiendo que las ecuaciones de movimiento de un proyectil son:

Y=f(t) = 4605 –(1-e^(-t/15))-147t,

X = r(t) = 2400 (1- e^(-t/15).

a. Determine el tiempo transcurrido hasta el impacto con 10 cifras decimales de precisión.

Se asume que el momento del impacto es aquel en el cual Y=f(t) = 4605 –(1-e^(-t/15))-147t se hace igual cero, es decir:

Y=f(t) = 4605 –(1-e^(-t/15))-147t=0

Grafica de Análisis inicial.

Gráficamente podríamos determinar entonces que en un tiempo en el que la función se hace cero es muy próximo a [x0,x1]=[30,35]

Gráfica. Aplicación del método NEWTON- RAPHSON

Una vez aplicado el método de Newton Raphson, con una exactitud de diez cifraz decimales, el tiempo en que demora en caer el proyectil es cercano a t=31.3205674875. Teniendo en cuenta que la tolerancia fue del 10%, y fu necesaria 1 sola iteración.

Gráfica de Comprobación

b. Determine el alcance del disparo con 10 cifras decimales de precisión.

El alcance del disparo es el mayor valor en X que puede alcanzar el proyectil de esta manera, como x está en función del tiempo, y el tiempo en que el proyectil cae al suelo es

t=31.3205674875, reemplazamos este valor en la función:

x=r(t)=2400*(1-e^((-t)/15) )

x=r(31.3205674875)=2400*(1-e^((-31.3205674875)/15))

Con una exactitud de 10 cifras decimales el alcance del disparo es igual a

x= 2102.5678345071

En t=31.3205674875, tiempo en el que el proyectil toca el suelo.

Grafica de Análisis del problema

c. Halle el punto de la parábola y=x^2 que está más cerca del punto (3,1) con diez cifras decimales de precisión.

Grafica de Análisis del problema

Para encontrar el punto de la parábola mas cerca a P(3,1), empleamos el siguiente procedimiento, que nos ayudará a encontrar una función a la cual se le aplica un método numérico y es entonces cuando se halla la solución a nuestro problema:

y-a^2=2a(x-a)

y=2ax-a^2

entonces,(3-a)/(1-a^2 )=2a

(1-a^2)/(3-a)=(-1)/2a

(2a-2a^3)/(3-a)=-1

2a-2a^3=a-3

a-2a^3+3=0,

ponemos en función de x

2x^3-x-3=0

Gráfica de Aplicación del método Newton Raphson

El método que empleamos fue Newton Raphson para encontrar el punto cercano a (3,1), siendo asi, la respuesta es x=1.2907065514, con una tolerancia del 10%, y 3 iteraciones.

Grafica de Comprobación del método

d. Halle el punto de la curva y=sen(x-sen(x)) que está más cerca del punto (2.1,0.5) con diez cifras decimales de precisión.

Gráfica de Análisis

Nos dirigimos luego a encontrar la solución planteando una nueva ecuación asi:

y-b=sen(x-a-sen(x-a) )

Reemplazamos nuestros valores del punto (2.1,0.5) en la ecuación anterior

y-0.5=sen(x-2.1-sen(x-2.1) )

y=sen(x-2.1-sen(x-2.1) )+0.5=0

Grafica Resultado del Análisis

Gráfica Aplicación del Método Bisección

Buscamos la solución a través de Bisección con una precisión de 10 cifras decimales, y encontramos a x=0.5703125000, de la ecuación

y=sen(x-2.1-sen(x-2.1) )+0.5=0

Grafica de Comprobación del método

e. Halle con una precisión de diez cifras decimales, el valor de x para el que es mínima la distancia vertical entre las gráficas de las funciones f(x)=x2 +2 y g(x)=(x/5) – sen (x).

Gráfica de Análisis

Gráfica de Aplicación del Método de Bisección

La solución de mi problema fue a través de la aplicación del método de bisección, encontrando con que el posible valor de x para el que la distancia entre las dos funciones anteriores es mínima es: x=0.0078125000

Ya que g(x)=x/5-sen(x) estaba sobre el punto (0,0) la utilizamos para encontrar el punto en x, más cercano a f(x).

4. Desarrolle un algoritmo para aproximar, con una precisión de cuatro cifras decimales, las raíces reales de cada una de las funciones dadas en el intervalo correspondiente. Aproxime cada raí con una precisión de 12 cifras decimales:

Solución

Solución

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