Simulação padrão de difração através de uma abertura.

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Simulação padrão de difração através de uma abertura

R.C. Pejendino, estudante de mestrado em engenharia elétrica,

Rua Marquês de São Vicente 225, Rio de Janeiro, 22453-900, Brazil,

 rcarlospj@ele.puc-rio.br

Abstract— A transformada de Fourier tem uma alta correlação com a análise de Fourier na descrição de sistemas ópticos.  Este artigo tem como objetivo apresentar a relação entre a difração da luz através de uma fenda sob os critérios do Fraunhofer e as possibilidades de análise de processamento de imagem.

Índice de termos— difração, Fourier, Fraunhofer, imagem, luz, óptico, padrão, fenda.

Abstract—The Fourier transform has a high correlation with the Fourier analysis in the description of optical systems. This article aims to present the relationship between the diffraction of light through a crack under the criteria of Fraunhofer and image processing analysis possibilities.

Index thermo—diffraction, Fourier, Fraunhofer, image, light, optical, pattern, crevice.

1. Introdução

A

análise de Fourier é um processo matemático que mostra que se pode obter uma função descontínua a partir da soma de funções contínuas, isto é, se a forma de onda periódica é, pode ser representado com precisão arbitrária sobrepondo um número suficientemente grande de ondas senoidais que formam uma série harmônica.

Com base na teoria de Fourier óptica e conhecidos resultados experimentais (padrões de difração) através de uma simulação de processamento de imagem é realizada, usando transformada de Fourier ranhuras conhecidas eo processo pode ser verificado por comparação com padrões.

O artigo aborda o alcance ea eficácia do processamento de imagem digital para análise de dados a partir de uma imagem. Além disso, o documento define inicialmente alguns conceitos físicos e matemáticos necessários para o leitor, e depois apresentar a simulação e análise de dados para posterior comparação com modelos físicos e matemáticos estudados na literatura

1. Conteúdo

1. Difração

É um fenômeno que acontece quando uma onda encontra um obstáculo. Em física clássica, o fenômeno da difração é descrito como uma aparente flexão das ondas em volta de pequenos obstáculos e também como o espalhamento, ou alargamento, das ondas após atravessar orifícios ou fendas. Esse alargamento ocorre conforme o princípio de Huygens. O fenômeno da difração acontece com todos os tipos de ondas, incluindo ondas sonoras, ondas na água e ondas eletromagnéticas (como luz visível, raios-X e ondas de rádio). Assim, a comprovação da difração da luz foi de vital importância para constatar sua natureza ondulatória.

1. Difração de Fraunhofer

Também chamado difração de campo distante é um padrão de difração de uma onda eletromagnética cuja fonte (como a tela) estão a uma distância infinita do obstáculo, de modo que nesta e na tela há incidência de ondas plana. Difração de Fraunhofer é, assim, de um caso particular de difração de Fresnel, e também mais fácil de analisar, uma vez que a distância desde a abertura até a tela é muito grande e os raios podem ser analisados como em paralelo, que no experimento de Fresnel não ocorrer. Este tipo de fenômeno é observado mais longe do que as distâncias de difração de Fresnel próximo campo e ocorre apenas quando o número de Fresnel é muito menor do que a unidade e pode fazer a aproximação de raios paralelos.

[pic 2]

Figura 1. Diagrama esquemático de difração de Fraunhofer da abertura retangular.

1. Transformada de Fourier(FT)

É uma transformação matemática utilizada para transformar sinais entre o domínio do tempo (ou de espaço) e o domínio da frequência, o que tem muitas aplicações na engenharia e física. É reversível, sendo capaz de transformar-se em qualquer um dos domínios para o outro.

A função é definida geralmente no domínio do tempo como

, ou na posiçãoe depois se torna o domínio defrequência como; a última função é que chamada Transformada de Fourier. As equações mostradas em (1) e (2) tem a definição de Transformada de Fourier e suaTransformada inversa .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

  (1)[pic 8]

  (2)[pic 9]

Estas equações podem ser alargadas a duas dimensõestal como ilustrado nas equações mostradas em (3) e (4), onde ()e () são variáveis de frequência.[pic 10][pic 11]

  (3)[pic 12]

  (4)[pic 13]

1. Transformada de Fourier Discreta (DFT)

Em aplicações de engenharia, tais como processamento de sinal, o processo é considerado discreto e não contínuo, porque a aquisição de dados é feita digitalmente, de modo a captura de dados resultantes são discretos.

A DFT é desenvolvido para trabalhar com ela em sistemas reais discretos para otimizar o desempenho ao calcular a transformada.As equações (5) y (6) têm a definição da transformada de Fourier discreta  e o seu inverso IDFT em uma dimensão,.[pic 14][pic 15]

                                   (5)[pic 16]

                                     (6)[pic 17]

Onde: .[pic 18]

As equações mostradas em (5) e (6) pode ser estendida para o caso de a transformação discreta de Fourier a duas dimensões 2DFT  e o seu inverso  são mostrados nas equações (7) e (8) respectivamente.[pic 19][pic 20]

        (7)[pic 21]

          (8)[pic 22]

Onde: [pic 23]

[pic 24]

1. Fast Fourier Transform (FFT)

À medida que o número de operações realizadas pelo DFT pode ser altamente exigente em recursos e de tempo de sistema, a implementação de um algoritmo recursivo diminui exponencialmente o número de operações realizadas pelo DFT é necessário; isso incentiva o surgimento de novos métodos de análise, tais como FFT.

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