Unidad 2, Investigacion de Operaciones

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Índice

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Introducción ……………………………………………………………………….…………….….. 1

Unidad 2- Optimización de Redes…………………………………….…………... 2

      2.1 Terminología ………………………………………………………………….………... 2

      2.2 Problema de la Ruta más corta ………………………………….….…. 5

      2.3 Problema de árbol de mínima expansión ………………….…. 8

      2.4 Problema de flujo máximo ……………………………………..……….… 15

      2.5 Problema de flujo de costo mínimo ……………………..………... 20

      2.6 programación lineal en Teoría de Redes ………………..…….. 24

Conclusión …………………………………………………………………………………..….…… 29

Bibliografías ……………………………………………………………………………………...… 30

Introducción

La programación lineal soluciona situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones llamadas restricciones. La cual uno de los mayores desarrollos recientes en Investigación de Operaciones ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes.

En esta Investigación de Operaciones se desea utilizar las herramientas que nos permite tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos de Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.

Con este trabajo el objetivo principal es poder desarrollar las habilidades necesarias para poder aplicar la programación lineal, en este caso la optimización de redes, así mismo conocer los conceptos básicos para el entendimiento de cada método, tanto como para poder resolverlos por lo cual se espera agregar paso a paso de lo que se tiene que hacer para llegar a resolver cada problema que se desee resolver, entre otros puntos que van de la mano de programación lineal. El   saber   aplicar   estos   modelos   será   de   gran   utilidad   para   resolver   distintos problemas, ya que a un futuro serian de gran utilidad.

La representación y optimización de redes se utiliza en áreas tan diversas como producción, distribución, localización de instalaciones en fin un sin número de áreas.

Donde en este trabajo se conocerán los diversos tipos importantes de problemas de redes como, problema de la Ruta más corta, problema de árbol de mínima expansión, problema de flujo máximo, problema de flujo de costo mínimo, la terminología en general de estos y algunos ejemplos para así poder resolverlos.

Unidad 2- Optimización de Redes

Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real).

La modelación de redes permite la resolución de múltiples problemas de programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos como Algoritmos de optimización de redes. Dentro de los problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y el CPM.

2.1 Terminología

Programación   lineal:  Programación   lineal: (PL) Técnica   matemática

utilizada para ayudar al gerente a decidir cómo hacer más efectivo el uso de los recursos de una organización. Programación matemática Categoría general de modelado matemático y técnicas de solución utilizadas para asignar recursos mientras optimiza una meta medible.

La PL es un tipo de modelo de programación.

Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos. Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son no-dirigidos, la red es una red no-dirigida.

Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos. Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección.

Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol.

Optimización de redes: es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal.

Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal.

Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal.

Los modelos de redes son intuitivos, proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones".

Ellos se presentan con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:

• Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).
• Modelo de la ruta más corta.
• Modelo del flujo máximo.
• Modelo del flujo del costo mínimo.
• Modelo de minimización de redes

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red, pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red.

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

2.2 Problema de la Ruta más corta

El Problema del Camino más Corto (o ruta más barata) consiste en encontrar una ruta o camino óptimo entre un nodo fuente y un nodo destino, los cuales están enlazados a través de una red con arcos que poseen un cierto atributo, el cual puede ser costo, distancia, tiempo, etc.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente diagrama donde los números asignados a cada uno de los arcos representan la distancia en kilómetros de un nodo a otro. Se desea encontrar la ruta con la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 8.

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El tamaño reducido de la red anterior permite encontrar el camino más corto simplemente enumerando las distintas alternativas que comenzando en el nodo 1 permita llegar al nodo 8. De esta forma las rutas posibles son:

• Ruta 1-2-5-7-8: 4+8+17+9=38 [km]
• Ruta 1-3-4-7-8: 3+12+20+9=44 [km]
• Ruta 1-3-4-6-8: 3+12+2+22=39 [km]
• Ruta 1-3-4-8: 3+12+15=30 [km]
• Ruta 1-3-6-8: 3+4+22=29 [km]

La ruta o camino más corto esta dada por la secuencia 1-3-6-8 con una distancia total de 29[km].[pic 7]

Entendimiento de resolución:

Variables de Decisión:

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Función Objetivo: 

Minimizar la distancia total en [km] dada por la siguiente expresión:

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Restricciones:

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