Antecedentes Históricos Del Calculo

ANTECEDENTES HISTORICOS DEL CÁLCULO

El cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal se divide en dos: diferencial e integral.

Los orígenes del cálculo integral se remontan, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes realizó en el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar hasta el siglo XVII para que se descubriera y desarrollara. Las causas de este retraso son: La inexistencia de un sistema de numeración adecuado. No se habían desarrollado aún el álgebra simbólica y la geometría analítica, que permitieron el tratamiento algebraico y no geométrico de las curvas, posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar problemas científicos y matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo.

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Eudoxo y Arquímedes quisieron encontrar el área del círculo.

En el siglo XVII Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes; fue desarrollado por Newton alrededor de 1669 y Leibniz trabajó en el mismo tema a partir del año 1684. Bernoulli, Euler y Lagrange lo desarrollaron ampliamente en el siglo XVII. Dirichlet, Cauchy y Weierstrass fueron quienes pusieron sus fundamentos sobre una base firme en el siglo XIX.

Los griegos se habían preocupado de cómo tratar ese ente tan curioso como difícil que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. La regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Éste es el famoso principio de Arquímedes quien lo toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas debida al descubrimiento de los irracionales. Fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes que ya en el siglo XVII se habían recuperado. Donde éste da su famosa estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia que desembocó en el nacimiento del cálculo. La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo. René Descartes fue conocido como filósofo y fue quien presentó su obra “geometría” junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sin duda superior a muchos profesionales. Fermat no publicó, sin embargo, casi nada: sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo. En el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos que, los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri discípulo de Galileo, fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante estaba dado. Otros de los protagonistas de esta historia son: Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius, quien publicó sus principales aportaciones en su Opus geometricum; John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes; Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas hasta el momento algo meramente geométrico en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito. El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo: Método de Exhausción (Arquímedes), método de los indivisibles (Cavalieri), aritmética de los infinitos (Wallis) y métodos de las series infinitas (Newton). En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculo de tangentes, áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Saint Vincent, Pascal, Wallis; siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Sir Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. La geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo claro fueron los logaritmos. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos que tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Fueron descubiertos independientemente por Napier y Bürgi.

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