Bases De Calculo Vectorial

GEOMETRIA PLANA

Geometría Plana: Del griego geo, tierra, metrein, medir, rama de la matemática que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y el cálculo de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría del espacio, con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, geometría no euclídea

Reseña Histórica De La Geometría Plana:

La geometría surgió hace miles de años. Muchos consideran que fue la necesidad de medir las tierras la que dio origen a esta parte de la Matemática. Las antiguas civilizaciones construyeron sus viviendas y sus tumbas, sus graneros y canales, edificaron y adornaron sus templos, sus museos y observatorios. De los egipcios se sabe que conocían la construcción de figuras, utilizaban instrumentos geométricos elementales (regla graduadas y compases), construidos por ellos mismos.

La geometría fue introducida en Grecia por uno de los llamados “siete sabios de la Antigüedad” Tales de Mileto, en el siglo VI a.n.e. En el siglo Vll se dieron los primeros pasos en la modernización de la geometría, se introdujo la geometría analítica y algunos de sus principios más elementales como el trabajo con coordenadas. Luego en el siglo XIV le dieron un gran impulso al desarrollo de la misma. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para los esquemas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

En el siglo VI a.n.e. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se puede deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de acciones, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos, como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se considera como un conjunto de supuestas útiles pero arbitrarias.

La geometría demostrativa de los griegos se ocupaba de polígonos, círculos y de sus correspondientes, según dice el matemático griego Euclides, en su libro “Los elementos”. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico, hasta la actualidad

El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descontés, con el discurso del método publicado en 1637. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar como aplicar los métodos de una disciplina en otra. Esto es un fundamento de la geometría analítica donde las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyugante en la mayor parte de la geometría moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Grauss, Nikolai Labachewski, y János Bayai, trabajaron por separado sistema de coherentes de geometría no euclídea. Este sistema aparece a partir de los trabajos llamados “postulados paralelos” de Euclides al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso si, coherentes. El matemático británico Arthuer Cay desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlos con figuras similares en tres o menos dimensiones, esta se conoce como geometría estructural. Otro concepto dimensional es el de dimensiones fraccionarias, aparecido en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

¿Para que sirve la Geometría?

De forma general la enseñanza de la Geometría tiene como objetivo general desarrollar el pensamiento espacial del hombre, de modo tal que este pueda hacer una mejor interpretación del espacio físico que le rodea en pos de transformarlo.

Elementos:

Ángulos

Definición: Unión o intersección de dos semiplanos cuyos bordes se cortan o intersecan.

Clasificación de ángulos según su amplitud:

a) Agudo: menor que 90º.

b) Recto: igual a 90º.

c) Obtuso: mayor que 90º y menor que 180º.

d) Llano: igual a 180º.

e) Sobreobtuso: mayor que 180º y menor que 360º.

f) Completo: igual a 360º.

Otros ángulos

a) Consecutivos: ángulos que tienen en común el vértice y un lado.

b) Adyacentes: ángulos consecutivos situados a un lado de una recta.

Suman 180 grados.

c)Opuestos por el vértice: ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados están formados por semirrectas opuestas.

Son iguales.

d)Correspondientes: situados a un mismo lado de la secante, uno es interno y otro externo.

Entre paralelas son iguales.

e)Conjugados: situados a un mismo lado de la secante, ambos son internos o ambos son externos. Entre paralelas suman 180º.

f)Alternos: situados a diferentes lados de la secante, ambos son internos o ambos son externos.

Entre paralelas son iguales.

Triángulos

Definición: Polígono que tiene tres lados.

Clasificación

a)Según sus lados:

Equilátero: Sus tres lados tienen igual longitud. I

isósceles: Dos de sus lados tienen igual longitud.

Escaleno: Sus tres lados son diferentes.

b)Según sus ángulos:

Acutángulo: Sus tres ángulos son agudos.

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

Rectángulo: Tiene un ángulo recto.

Propiedades de los triángulos

a)La suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a 180º.

<A + <B + <C=180º

b)La amplitud de cada ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

<CBD= <A + <C

c)A ángulos iguales se oponen lados iguales y viceversa.

Si <A=<B entonces AC=BC

d)A mayor lado se opone el mayor ángulo y viceversa.

e)La suma de dos lados cualesquiera es siempre mayor que el tercer lado (desigualdad triangular).

Rectas notables en los triángulos

Mediatriz del triángulo

Mediatriz de un segmento: Recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

1. Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.

Las mediatices de un triángulo: Rectas perpendiculares a cada lado y que cortan a estos en su punto medio. El punto de intersección de las mediatices de llama circuncentro (M) y está:

- Dentro del triángulo si este es acutángulo.

- Fuera del triángulo si este es obtusángulo.

- Sobre la hipotenusa si este es rectángulo

Alturas del triángulo : Segmentos de perpendiculares trazadas desde los vértices de triángulo a las rectas que contienen a los lados opuestos. El punto de intersección de las alturas se llama ortocentro (H) y está:

- Dentro del triángulo si este es acutángulo.

- Fuera del triángulo si este es obtusángulo.

- Coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo.

Medianas del triángulo: Segmentos determinados por los vértices del triángulo y el punto medio de sus lados opuestos. El punto de intersección de las medianas se llama baricentro (G) y siempre es un punto interior de este.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz de un ángulo: Semirrecta cuyo origen es el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.

- Todos los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

Bisectrices de un triángulo: Segmentos de las bisectrices de los ángulos del triángulo determinados por los vértices de estos y el punto de intersección de los lados opuestos. El punto de intersección de las bisectrices del triángulo se llama incentro (I), es siempre interior al mismo y equidista de sus lados.

Generalidades

a)Triángulo equilátero: Como sus tres lados son iguales:

- Sus tres ángulos son iguales a 60º.

- Sus rectas notables coinciden.

b)Triángulo isósceles:

- Como tiene dos lados iguales, sus ángulos base también lo son.

- Las rectas notables respecto a la base coinciden.

c)Triángulo rectángulo:

- El lado que se opone al ángulo recto se le llama hipotenusa (mayor lado) y los otros dos catetos.

- Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de las longitudes de sus catetos.

+

- En todo triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 30º, la longitud del lado opuesto a este es igual a

...