CALCULO UNIDAD 3

3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

3.1. AREAS

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de

Geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

3.1.1. AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION

Área bajo la gráfica de una función

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1.Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

3.1.2. AREA ENTRE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES

3.1.2 Área Entre las Gráficas de Funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:

F(x) y g(x) [<f(x)] y en el intervalo [a, b].

Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [− 2; 2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene: Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.

3.1.3. LONGITUD DE CURVAS

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

3.1.4.CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

Método del disco:

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución.

Método de la arandela:

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre 2 curvas como se muestra:

Si la región que giramos para formar un sólido no toca o cruza el eje de rotaciones el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos.

Método de los casquillos:

Este método es también llamado método de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la fórmula para el volumen del cilindro diferencial.

3.1.5. CALCULO DE CENTROIDES

Calculo de la Centroides por medio de la integración.

1. Preparar un esquema del cuerpo a escala.

2. Establecer un sistema de coordenadas, en la mayoría de los cuerpos que sean superficies planas, se utilizan coordenadas rectangulares, siempre que el cuerpo presente un eje o un plano de simetría se tomara uno de los ejes, el centroide se encontrara siempre sobre tal eje.

3. Seleccionar un elemento de volumen, superficie o longitud... para la determinación del centro de masa o centro de gravedad determinar la masa

...