Calculo Diferencial

Calculo Diferencial.

Prof. Arturo Sánchez.

Alumna: Joseline Fernanda Guarneros Flores.

Grado y grupo: 5ºB.

Primer Parcial.

Unidad I Introducción

Objetivo.- Determinar y encontrar las propiedades de:

Concepto de Función

Clases de Funciones

Variables Dependientes e Independientes

La Notación

Concepto de Limites

Límite de la forma 0/0 (cero entre cero)

Unidad 2 Concepto de Derivada

Objetivo.- Demostrar, Analizar y Comprender

Incrementos

Funciones Continuas

Pendientes

Derivadas

Velocidad

Unidad 3 Derivadas de las Funciones Algebraicas

Objetivo.- Aplicar y Calcular

¿Qué es la derivación?

Demostrar cuales son las Formulas básicas de Derivación Implícita

Derivadas Sucesivas

Desarrollo

Unidad I

CONCEPTO DE FUNCION

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es FUCIÓN de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

En análisis matemático, el concepto general de FUNCIÓN, APLICACIÓN O MAPEO se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural incluyendo el cero.

...  −2 → +4,  −1 → +1,  ±0 → ±0,   

  +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9,  ...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N.

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s² recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte de un instante en el que se conviene que el tiempo es t=0 s.)

La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, en una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final)

Notación usual: ƒ: A→B

Dados dos conjuntos llamados A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

Ƒ: D

X f(x)=y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El numero X perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y=f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

X

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x / f (x)}

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x D

Clases de Funciones.

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x).

Funciones Algebraicas.

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable dependiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y racionales.

Ejemplos.

Adición y Sustracción:

Sea f(x) = x+2 y g(x) = x²+1, entonces la función suma es

f (+g) (x)=x+2+x²+1=x²+x+3, y la función resta (f-g) (x)=x+2+x²-1=x²+x+1.

Multiplicación:

La multiplicación de dos funciones f y g es otra función f•g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando las imágenes de f y g. Si las funciones vienen definidas por una formula, la función resultante tiene como expresión analítica el producto de dichas formulas.

Sea f(x)=x+2 y g(x)=x²

Entonces la función producto es:

h(x)= (f•g)(x)=(x+2) •x²=x³+2x²

División:

(f/g)(x)= f(x) / g(x)

D (f+g)= (D f D g) – {x / g(x)= 0}

D f= - {2} D g= (0, ∞) g(x) ≠

D (f+g)= (0,2) (2, ∞)

Potencia:

La función potencia es una función polinómica de la forma

P(x) = xn, n> 3, n entero positivo.

Ejemplos: P(x)= x⁴, G(x)= x⁶, H(x)= x⁸, p(x)= x⁵, f(x)= x⁷, g(x)= x⁹, etc.

Estas funciones se pueden clasificar en dos clases:

Cuando “n” es par.

Cuando “n” es impar.

Racionales:

Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de la forma de todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador. Ejemplo:

Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas:

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x)= 5x - 2

Funciones implícitas:

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones

5x – y – 2= 0

Funciones polinómicas.

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x)= a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ + … + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes.

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La grafica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas.

Funciones polinómicas de primer grado.

f(x)= mx+ n

Su grafica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función a fin.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas.

f(x)=ax^2+bx+c

Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su grafica una parábola.

Funciones a trozos.

Son funciones definidas por diferentes criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales.

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales.

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes.

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial.

f(x)= a ͯ

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a ͯse llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas.

La función logarítmica en base a, es la función inversa de la exponencial en base a.

f(x)= logₐx

Funciones trigonométricas.

Función seno.

f(x)= sen x

Función coseno.

f(x)= cos x

Función tangente.

f(x)= tan x

Función cosecante.

f(x)= cosec x

Función secante.

f(x)= sec x

Función cotangente.

f(x)= cotg x

Funciones constantes.

La función constante es del tipo:

y= n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0

La grafica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Función lineal.

La función lineal es del tipo:

y= mx

Su grafica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y= 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Función identidad.

f(x)= x

Su grafica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Función afín.

La función afín es del tipo:

y= mx + n

m Es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta

...