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Decimos que una recta se aplica sobre sí misma, si cada punto de la recta se aplica sobre un punto de la recta, pero no todos sobre el mismo punto, aún considerando que los puntos en la recta se pueden mover de un lado a otro: a.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (-1, 0) y a (0, 1) sobre (0, -1). Demuestre que cada recta que pasa por el origen se aplica sobre sí misma. Demuestre que cada una de esas rectas se aplica sobre sí misma con el sentido de la dirección invertido. Esta transformación lineal se llama inversión con respecto al origen. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R2. b.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre (-1, -1) y deja fijo a (1, -1). Demuestre que toda recta perpendicular a la recta x1 + x2 = 0 se aplica sobre sí misma, con el sentido de la dirección invertido. Pruebe que cada punto sobre la recta x1 + x2 = 0 se deja fijo. ¿Cuáles rectas de las que pasan por el origen se aplican sobre sí mismas?. Esta transformación lineal se llama reflexión alrededor de la línea x1 + x2 = 0. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica en R2. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base {(1, 1), (1, -1)}. c.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre (2, 2) y a (1, -1) sobre (3, -3). Demuestre que las rectas que pasan por el origen y por los puntos (1, 1) y (1, -1) se aplican sobre sí mismas y que ningunas otras rectas se aplican sobre sí mismas. Encuentre las matrices que representan a esta transformación lineal con respecto a las bases, canónicas en R2 y {(1, 1), (1, -1)}. d.- Una transformación lineal deja fijo a (1, 0) y aplica (0, 1) sobre (1, 1). Demuestre que cada recta de la forma x2 = c se aplica sobre sí misma y se traslada dentro de sí misma una distancia igual a c. Esta transformación lineal se llama deslizamiento. ¿Cuáles rectas que pasan por el origen se aplican sobre sí mismas? Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R2. e.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (5/13, 12/13) y a (0, 1) sobre (-12/13, 5/13). Demuestre que toda recta que pasa por el origen se hace girar en un ángulo  = ArcCos(5/13), en sentido antihorario. Esta transformación lineal se llama rotación. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R2. f.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (2/3, 2/3) y a (0, 1) sobre (1/3, 1/3). Demuestre que cada punto sobre la recta 2x1 + x2 = 3c se aplica sobre el único punto (c, c). La recta x1 – x2 = 0 se deja fija. La única otra recta que pasa por el origen y se aplica sobre sí misma, es la recta 2x1 + x2 = 0. Esta transformación lineal se llama proyección sobre la recta x1 – x2 = 0 paralela a la recta 2x1 + x2 = 0.

TRANSFORMACIONES LINEALES

JOE GARCIA ARCOS

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7.2.10 Sea S = {1, x, x2, x3} una base de P3 y sea f : P3  P4 la transformación lineal definida por

0

()

x kk f x t dt  : a.- Encuentre la matriz A para f con respecto a S y a la base canónica de P4. b.- Use A para integrar p(x) = 15 + 6x – 2x2 + 5x3.

7.2.11 Use la matriz de rotación en R2 en sentido antihorario para rotar 90° alrededor del origen el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0). Grafique los triángulos.

7.2.12 Sean S1 = {(1, 3), (-2, -2)} y S2 = {(-12, 0), (-4, 4)} bases de R2, y sea 32 A 04    la matriz de f : R2  R2 con respecto a S1: a.- Determine la matriz de transición P de S2 a S1. b.- Aplique las matrices A y P para encontrar 1 [] v S y

1

[ ( )] fvS , donde 2

1

[]

2

v 

  S . c.- Determine B,

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