Investigacion de operaciones: Las distribuciones más importantes de variables aleatorias continuas unidimensionales.

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NOMBRES: JESUS QUICEHUATL AVILA, RUBEN JUAREZ ROMERO

INGENIERIA INDUSTRIAL

MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES

SEPTIMO SEMESTRE

“DISTRIBUCIONES CONTINUAS”

NOVIEMBRE DE 2015

INTRODUCCION

En esta unidad estudiaremos las distribuciones más importantes de variables aleatorias continuas unidimensionales. Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas, que pueden tomar cualquier valor y que resultan principalmente del proceso de medición.

Ejemplos de variables aleatorias continuas son:

1. La estatura de un grupo de personas
2. El tiempo dedicado a estudiar
3. La temperatura en una ciudad, etc.

PROPOSITO

El propósito de la unidad es identificar y resolver problemas de planeación, organización y control que le permitan estructurar  y  optimizar  recursos,  basándose  en  factores  cualitativos  y  cuantitativos  que surgen en las operaciones de una organización.

UNIDAD III

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

SUMARIO

3.1- Variables aleatorias continuas, 3.2- Distribución normal, 3.2.1- Ejercicios, 3.3- Distribución exponencial, 3.3.1- Ejercicios.

3.1 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.

Los resultados de un experimento pueden ser naturalmente numéricos (por ejemplo el lanzamiento de un dado), o estar representados por un código (como en el caso del lanzamiento de una moneda con el resultado cara/cruz codificado como 0/1). La representación numérica de los resultados define lo que se conoce como variable aleatoria.

Una variable aleatoria, x, puede ser discreta (como el lanzamiento de un dado) o continua (como en el tiempo para que falle un equipo). Cada variable x aleatoria continua o discreta puede ser cuantificada por una función de distribución de probabilidad (fdp), f(x) o p(x), que satisface a las siguientes condiciones.

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Una importante medida de probabilidad es la función de distribución acumulada (FDA) definida como:

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Ejemplo.

Considere el experimento de lanzar un dado representado por la variable aleatoria x = {1,2,3,4,5,6}. La fdp y la FDA asociadas son:

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La figura 14.1 grafica las dos funciones. La fdp p(x) es la función discreta uniforme porque todos los valores de las variables aleatorias ocurren con iguales probabilidades.

La contraparte continua de la p(x) uniforme se ilustra mediante el siguiente experimento.

Una aguja de longitud l gira en el centro de un circulo de diámetro l. Después de marcar un punto de referencia arbitrario en la circunferencia, se hace girar la aguja en el sentido de las manecillas del reloj y se mide la distancia de la circunferencia, x, desde el punto marcado hasta el punto donde se detuvo la aguja. Como cualquier punto de detección sobre la circunferencia tienen la misma probabilidad de ocurrir, la distribución de x es uniforme en el intervalo 0 ≤ x ≤ pl con la siguiente fdp

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3.1.1       EXPECTATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA.

Si h(x) es la función real de una variable aleatoria x, el valor esperado de h(x) se calcula como:

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Ejemplo.

Durante la primera semana de cada mes pagué todas mis facturas y conteste algunas cartas. Suelo comprar 20 estampillas de primera clase cada mes para este propósito. En realidad, la cantidad de estampillas que uso varían al azar entre 10 y 24 con iguales probabilidades. Determine el promedio de estampillas que sobran(es decir, el excedente promedio) por mes.

La fdp de cantidad de estampillas utilizadas es:

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El número de estampillas sobrantes es:

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Por tanto,

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E{h(x)} = 5/15 (0) representa el resultado de quedarse sin estampillas lo que corresponde a la probabilidad de utilizar 20 estampillas; es decir,

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1. VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS.

Considere las dos variables aleatorias continuas x1 y x2 donde a1 ≤ x1 ≤ b1 y a1  x2 ≤ b2. Defina f(x1,x2) como la fdp conjunta de x1 y x2 y f1(x1) y f2(x2) como sus respectivas fdp marginales.[pic 13]

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Las mismas formulas aplican a las fdp discretas, al reemplazar la integración con la suma.

En el caso especial y = c1x1 + c2x2, donde las variables aleatorias x1 y x2 estan conjuntamente distribuidas deacuerdo con la fdp f(x1,x2), podemos demostrar que

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Donde.

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Si x1 y x2 son independiente, entonces E{x1x2} = E{x1}E{x2} y con {x1,x2} = 0. Lo contrario no es cierto, en el sentido de que dos variables dependientes ´puedan tener covarianza cero.

1. DISTRIBUCION NORMAL.

La distribución normal describe muchos fenómenos aleatorios de la vida diaria, como las calificaciones de exámenes y el peso y la estatura. La fdp de la distribución normal es:}

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