ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR

ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR

Una ecuación diferencial se dice Ecuación Diferencial Lineal de Orden n, que abreviaremos como EDL(n), si tiene la forma:

an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + ··· + a1(x)y’ + a0(x)y = r(x)

Cuando r(x) = 0, es decir cuando la ED tiene la forma

an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + ··· + a1(x)y’ + a0(x)y = 0

se llama Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Orden n, y se abreviará por EDLH(n). Si todos los coeficientes ai(x) son constantes se dice que la ED es una Ecuación Diferencial Lineal con Coeficientes Constantes de Orden n, lo cual se abreviará como EDLCC(n).

Un problema con condiciones iniciales para una EDL tiene la forma:

PCI =

an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + … + a1(x)y 0 + a0(x)y = r(x)

y(x0) = y0, y’(x0) = y’0, yn(x0) = yn0 , … , y(n−1)(x0) = y0(n−1)

El siguiente teorema da las condiciones bajo las cuales existe una solución única a un problema con valores iniciales.

Teorema

Si las funciones an(x), an−1(x),..,a1(x), a0(x), y r(x) son continuas en un intervalo I que contiene al punto x0, y además la función an(x) no se hace cero en ese intervalo I, entonces existe una única solución al problema con valores iniciales en el intervalo I. Asumiremos que las condiciones del teorema anterior siempre se cumplen, y no repetiremos esto para los siguientes resultados. El teorema anterior dice entonces que siempre hay solución a, nuestro propósito ahora es determinarla. El siguiente teorema conduce a imaginarnos la solución general.

Teorema

Si las funciones y1, y2,...,yk son soluciones a la EDLH en el intervalo I entonces la combinación lineal

y = c1 y1 + c2 y2 + · · · + ck yk,

también es solución a la EDLH para cualquier valor de las constantes Ci. Este teorema nos da la idea que si tenemos y1, y2, ... yn soluciones a entonces

y = C1 y1 + C2 y2 + ··· + Cn yn

debería ser la solución general.

RESUMEN VIDEO

an(x)yn + an-1(x)yn-1 + … + a1(x)y’ + a0(x)y = g(x)

a1(x)y’ + a0(x)y = g(x) y(x0) =y0

Existen dos tipos de condiciones

De valor inicial

y(x0)=y0 , y’=(x0)=y1 , y’’(x0)=y2+ … + yn-1(x0)=yn-1

Ejemplo: Verificar si es solución o no:

y’’- 4y = 12x solución y=3e2x + e-2x – 3x

Las condiciones iniciales y(0) = 4 y’(0) = 1

y’ = 6e2x -2e-2x – 3 12e2x + 4e-2x -4(3e2x + e-2x – 3x) = 12x

y’’ = 12e2x + 4e-2x 12e2x + 4e-2x -12e2x – 4e-2x + 12x = 12x

12x = 12x

Valores en la frontera

a2(x)y’’ + a1(x)y’ + a0(x)y = g(x)

y(a) = y0 y’(b) = y1

A diferencia de las de valor inicial aquí se evalúan las derivadas en diferentes puntos.

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES

Antes de definir a las ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos, hablaremos sobre las funciones homogéneas. Funciones homogéneas Una función es homogénea es una función con comportamiento escalativo multiplicativo: si el argumento se multiplica por un factor, entonces el resultado es una multiplicación por alguna potencia de este factor. Se dice que una función f(x,y) es homogénea de grado k si: f (tx, ty)= tK f (x, y). Observe que de acuerdo con esta definición, una función homogénea de grado cero cumple con

f (tx, ty) = t0 f (x, y) = f (x, y)

Ejemplo: Demuestre que la función f(x, y) = x2 + y2 es homogénea.

Aplicando la definición: f(tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 = t2x2 + t2y2 = t2 (x2 + y2) = t2 f(x, y)

Entonces la función es homogénea de grado dos.

La definición de estas ecuaciones puede darse en dos formas: una cuando la ecuación está en forma diferencial y otra cuando la ecuación está en su forma normal.

Cuando la ecuación está en su forma diferencial Mdx + Ndy = 0

Se dice que una ecuación de coeficientes homogéneos es aquélla en donde M y N son funciones homogéneas de x y y del mismo grado.

Ejemplo: Determine si la siguiente ecuación diferencial es de coeficientes homogéneos. ( ) 0 2 y2 dx +( x2 – xy) dy = 0

En este caso M = y2 y N = x2 − xy . Ahora averiguamos si M y N son homogéneas:

M = f ( y) = y2 ; f( ty)=( ty)2 = t2 y2 = t2 f( y) por lo tanto M es homogénea de grado 2

N = f (x, y) = x2 − xy ; f( tx, ty) = (tx)2 – (tx)( ty) = t2 x2 – t2 xy = t2 (x2 – xy) = t2 f( x, y) por lo tanto

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