Ecuaciones de orden superior

Ecuaciones de orden superior

Tienen la forma:

[pic 1]

Ecuaciones diferenciales con problemas de valor inicial

Definición: Consiste en encontrar una solución de dicha ecuación diferencial en un intervalo I, que satisfaga en el punto x0  de I la n condiciones siguientes:

y(x0)=y0

y’(x0)=y1

y’’(x0)=y2

yn-1(x0)=yn-1

A  estas se les conoce como funciones mono paramétricas esto quiere decir que depende de un parámetro de un número y por cada parámetro tiene una solución.

y(x0)=y0 , y’(x0)=y1, y’’(x0)=y2, yn-1(x0)=yn-1  se llaman condiciones iniciales.

Se deben cumplir tres condiciones para que una ecuación sea única en el problema:

1.  Todas las funciones deben de estar evaluadas en el mismo punto
2. Todas las funciones de x que están multiplicando a las derivadas tienen que ser continuas en el intervalo donde estamos evaluando.
3. Garantizar que an≠0 para toda x en ese invertalo.

Ejemplo #1

y’’ -4y=12x                                               y=3e2x + e-2x-3x

                                                                y’=6e2x -2 e-2x-3[pic 2][pic 3][pic 4]

y(0)=4                                                      y’’=12e2x +4 e-2x

y’(0)=1

[pic 5]

y’’ -4y=12x

12e2x +4 e-2x -4(3e2x + e-2x-3x=12x

12e2x +4 e-2x-12e2x -4 e-2x +12x=12x

                                            12x=12x

• Ahora tenemos que probar con las condiciones iniciales

• y=3e2x + e-2x-3x

4=3e2 (0) + e-2(0)-3(0)

4=3+1-0

4=4

• y’=6e2x -2 e-2x-3

1=6e2 (0) -2 e-2 (0)-3

1=6(1)-2(1)-3

1=1

• Por lo tanto se cumplen las tres características y tiene una única solución

Ejemplo #2

X2 y’’-2xy’+2y=6                                y=cx2 +x+3

                                                          y’=2cx+1

                                                          Y’’=2c[pic 6]

X2 y’’-2xy’+2y=6

X2 (2c)-2x(2cx+1)+2(cx2 +x+3 )=6

2cx2 -4cx2-2x +2cx2 +2x+6= 6

                                        6=6

• Ahora tenemos que probar con las condiciones iniciales:

• y=cx2 +x+3

                  3=c(0)2 +0+3

                  3=3

•  y’=2cx+1

1=2c (0)+1

1=1

• En consecuencia la tercera condición no se cumple an≠0 ya x2  puede ser cualquier constante incluso por tal razón la tercera no se cumple y esta problema esta ecuación tiene infinitas soluciones.

 Ecuaciones Diferenciales con Problemas de valores en la frontera

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