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Las funciones del lenguaje se refieren al uso de la lengua que hace un hablante.

En simples palabras, las funciones del lenguaje son los diferentes objetivos, propósitos y servicio que se le da al lenguaje al comunicarse, dándose una función del lenguaje por cada factor que tiene éste, en donde la función que prevalece es el factor en donde más se pone énfasis al comunicarse.

Bühler propuso que existían únicamente tres funciones:

• La Representativa o referencial, por la cual se trasmite una información objetivamente. Es la función principal del lenguaje, ya que es la que transmite información más amplia.

El hablante expresa algo, informa sobre una realidad.

• La Expresiva o emotiva, que expresa sentimientos del emisor.

• La Conativa o apelativa, mediante la que se influye en el receptor del mensaje mediante órdenes, mandatos o sugerencias.

Nota: La Conativa no puede ser usada en textos donde el lector busca entender el uso que puede dar a una herramienta. Ya que lo limita a seguir un camino ya recorrido en lugar de permitirle encontrar nuevos resultados. Específicamente manuales técnicos o instrucciones de uso

Función apelativa o conativa

Se llama conativa de latín "conatus" (inicio), porque el emisor espera el inicio de una reacción por parte del receptor.

Se centra en el receptor. Es la función de mandato y pregunta. Sus recursos lingüísticos son los vocativos, modo imperativo, oraciones interrogativas, utilización deliberada de elementos afectivos, adjetivos valorativos, términos connotativos y toda la serie de recursos retóricos. Se da en lenguaje coloquial, es dominante en la publicidad y propaganda política e ideológica en general. Mediante el uso de esta función se pretende causar una reacción en el receptor. Es decir con esta función se pretende que haga algo o que deje de hacer. Ejemplos: Ejemplo: cuando decimos «¡Cállate!» o «Abre la puerta, por favor.»

Ejemplo: «¡Cierra la puerta!» - «Observen las imágenes y respondan.» Puede ocurrir que una frase aparentemente referencial esconda una función apelativa.

Ejemplo: «La ventana está abierta» - Puede estar haciendo una mera descripción de un hecho, pero también puede haber un contexto: «Cierra la ventana».

Dentro del mensaje se invita al oyente a que haga algo.

[editar] Función referencial

Es la función del lenguaje en donde se pone énfasis al factor de contexto. Al ser el contexto todo lo extracomunicativo, la función referencial trata solamente sucesos reales y comprobables, ya que no son opiniones ni cosas subjetivas, lo que es una serie de elementos verificables.

Está presente en todos los actos comunicativos. Se da cuando el mensaje que se transmite puede ser verificable, porque claramente reconocemos la relación que se establece entre el mensaje y el objeto (referente). Los recursos lingüísticos principales de esta función son los deícticos.

Es aquella que utiliza el lenguaje denotativo (el significado primario de las palabras). Prevalecen los sustantivos y verbos; los textos informativos, científicos, periodísticos como también afiches Llamada también representativa, denotativa o cognoscitiva. Permite brindar conocimientos, conceptos, información objetiva. Está relacionada con el referente.

Tiene como principal objetivo el informar. Los textos que la contienen se caracterizan por ser objetivos y unívocos. Esta función la encontramos en los llamados textos científicos, cuyo propósito es ofrecer conocimientos. Se caracterizan por aludir a lo extralingüístico, es decir, a nuestro entorno o lo que nos rodea. Ej: el hombre es un ser racional.

[editar] Función emotiva

Se encuentra en primera persona y su efecto de sentido es de identificación. También llamada función expresiva o sintomática. Esta función le permite al emisor la exteriorización de sus actitudes, de sus sentimientos y estados de ánimo, así como la de sus deseos, voluntades, nivel socioeconómico y el grado de interés o de apasionamiento con que realiza determinada comunicación. Esta función se cumple, por consiguiente, cuando el mensaje está centrado en el emisor:

Estoy tan solo, amor, que a mi cuarto

sólo sube, peldaño tras peldaño,

la vieja escalera que tráquea.

Juan Roa

Es bueno aclarar que la expresividad no se da aparte de lo representativo, sino que es una función del lenguaje que permite una proyección del sujeto de la enunciación pero con base en una representatividad. Así, en expresiones corrientes como "esa mujer me fascina" o "¡qué mañana tan hermosa!", predomina, sin duda, la función expresiva, pero con un soporte de representación simbólica dado por la alusión a unos referentes.

Para concluir, observemos que la función expresiva o emotiva se manifiesta gracias a los significados afectivos o connotativos que se establecen sobre la base de los significados denotativos: cuando hablamos, expresamos nuestro estado de ánimo, nuestras actitudes o nuestra pertenencia a un grupo social, damos información sobre nosotros mismos, exteriorizamos síntomas, aunque no tengamos siempre plena conciencia de ello. El emisor se comunica para transmitir la información centrada objetivamente en la realidad exterior referente a las ideas que tiene sobre ella.

[editar] Función poética

Es la orientada al mensaje. Aparece siempre que la expresión atrae la atención sobre su forma. Constante en lenguaje publicitario. Cualquier manifestación en la que se utilice a propósito el lenguaje con propósito estético o chocante. Sus recursos son variados, todas las figuras estilísticas y juegos de palabras.

Esta función se encuentra en textos literarios, como lo son: Cuentos, Novelas, poemas, chistes, historietas, etc.

En la acción poética del lenguaje corriente: se somete a medida y ritmo.

[editar] Función fática

Esta función está principalmente orientada al canal de comunicación entre el emisor y el receptor. Su finalidad es iniciar, prolongar, interrumpir o finalizar una conversación o bien sencillamente comprobar si existe algún tipo de contacto. Su contenido informativo es nulo o escaso y se utiliza como forma o manera de saludo.

La finalidad de la función fática no es principalmente informar, sino facilitar el contacto social para poder transmitir y optimizar posteriormente mensajes de mayor contenido.

Constituyen esta función todas las unidades que utilizamos para iniciar, mantener o finalizar la conversación. Ejemplos: Por supuesto, claro, escucho, naturalmente, entiendo, como no, OK, perfecto, bien, ya, de acuerdo, etcétera.

[editar] Función metalingüística

Se centra en el propio código de la lengua. Se utiliza para hablar del propio lenguaje, aclara el mensaje. Se manifiesta en declaraciones y definiciones.

Ejemplo: "Pedro tiene 5 letras".

[editar] Michael Halliday

Artículo principal: Michael Halliday

La propuesta teórica de Michael Halliday implicó el cuestionamiento de las propuestas de dos grandes lingüistas: Ferdinand de Saussure y William Labov, puesto que ninguna de las dos permitía un estudio acabado del binarismo "lengua"/"habla": o era la opción sistémica (lengua) o la opción funcional (habla). Halliday plantea la discusión al respecto en el libro "El lenguaje como semiótica social" (1979), donde profundiza respecto a un nuevo modelo para el estudio del lenguaje integrando el componente sociocultural como clave en su comprensión.

Funciones del lenguaje según la Teoría de los actos de habla

La Teoría de los actos de habla amplió este esquema al contemplar dentro de este también a otros dos factores de la comunicación soslayados por la interpretación de Jakobson: el contexto y la situación, de forma que a la función representativa la llamó función locutiva (lo que se dice), a la expresiva la llamó ilocutiva (lo que se hace al mismo tiempo que se dice) y a la conativa perlocutiva (lo que se consigue por medio de decir). Esto dio origen a la pragmática lingüística.

Véase también

• Karl Bühler

• Comunicación

• Michael Halliday

• Roman Jakobson

• William Labov

• Lenguaje escrito

• Lenguaje oral

• Metáfora

• Metonimia

• Ferdinand de Saussure

• Semiótica

Bibliografía relacionada

• Gil, J. (2001) Introducción a las teorías lingüísticas del siglo XX. Santiago, Melusina-Ril.

• Halliday, M.A.K. (1979) El lenguaje como semiótica social. México, Fondo de Cultura Económica.

• Saussure, F. (1986) Curso de lingüística general. Buenos Aires, Losada.

• Berruto, Gaetano J. (1979) La sociolingüística. México, Fondo de Cultura Económica.

Bueno, ya que acabamos de hablar de las estadísticas de visitas en esta web, os diré que todos los días llegan a La Lengua cuatro o cinco cien o doscientos presuntos estudiantes de Secundaria con examen final buscando “funciones de la lengua” y cosas así. No busquéis más, mis pequeños padawans. Habéis llegado al templo de la sabiduría jedi.

Es más correcto hablar de “funciones del lenguaje”, porque una “lengua”, en lingüística, es un idioma, y todos los idiomas tienen las mismas funciones. El lenguaje (es decir, la capacidad humana de comunicarse mediante un sistema de signos sonoros articulados) tiene las siguientes funciones:

1. Función representativa o referencial. Se usa cuando pretendemos meramente transmitir una información, sin hacer valoraciones sobre ella ni pretender reacciones en nuestro interlocutor, por ejemplo cuando decimos “está lloviendo”, o “la capital de Marruecos es Rabat”. Esta función se centra, dentro de los elementos de la comunicación, en el mensaje, aunque también hay quien dice que se centra en la realidad exterior o referente (los elementos de la comunicación están explicados al final de este artículo).

2. Función expresiva o emotiva. Es utilizada cuando el emisor (elemento en el que se centra esta función) pretende dar cuenta de su estado físico o anímico, como cuando soltamos un “¡ay!” al pillarnos la lengua con la tapa del piano, cuando decimos a nuestra novia que la echamos de menos o cuando decimos que odiamos las espinacas.

3. Función apelativa o conativa. Mediante el uso de esta función normalmente pretendemos provocar una reacción en el receptor, que es el elemento fundamental aquí. Es decir, queremos que haga algo, o que deje de hacerlo. Es la función principal cuando, por ejemplo, decimos “vete a tomar el aire”, “abre la ventana, por favor” o “cállate”.

4. Función fática. La usamos para comprobar que el canal (elemento fundamental) sigue abierto, es decir, que la comunicación es físicamente posible. Por ejemplo, cuando hablando por el móvil preguntamos si nos oyen, o cuando usamos coletillas. Ejemplos de coletillas, en cursiva: “Te quedas ahí quieto, ¿eh?“; “ayer lo pasé genial en la fiesta, ¿sabes?“.

5. Función poética o estética. Se pretende crear belleza usando el lenguaje. Es la función principal en poemas, novelas, obras de teatro y canciones. También es una de las principales funciones en los refranes. Esta función, al igual que la representativa, se centra en el mensaje, pero al contrario que ella, en su forma y no en su contenido. Cualquier poema es un ejemplo de la función estética del lenguaje. Por ejemplo: “Y yo me la llevé al río, / creyendo que era mozuela, / pero tenía marido.” (Federico García Lorca)

6. Función metalingüística. Se utiliza cuando se usa la lengua para hablar de la misma lengua u otra cualquiera. Por ejemplo, cuando decimos “burro se escribe con b”, o “the es el artículo en inglés”. Esta función se centra en el código, es decir, en la lengua respectiva de la que se hable.

Las tres primeras funciones son comunes a cualquier acto de comunicación. A las otras tres, más propias del lenguaje, se les llama funciones lingüísticas.

No está de más decir que casi cualquier acto de comunicación verbal alberga más de una de las funciones: por ejemplo, cuando gritamos “¡Sácame el dedo del ojo!” estamos usando al mismo tiempo las funciones apelativa y expresiva; cuando decimos “¡Qué bien, mañana es mi cumpleaños”, la expresiva y la representativa; al decir “El semáforo ya está en verde” usamos las funciones representativa y apelativa (transmitimos la información, y al mismo tiempo queremos que el conductor arranque); si decimos a un compañero “¡Barco se escribe con b, animal”, hacemos uso de las funciones apelativa, expresiva y metalingüística al mismo tiempo.

¿Cómo? ¿Que tampoco os aclaráis con los elementos de la comunicación? Bueno, pues me siento generoso hoy.

Haz clic sobre la imagen para verla a tamaño correcto.

En el dibujo encontramos todos los elementos de la comunicación:

1. El emisor es la fuente del mensaje, es decir, donde se origina la información. En el dibujo, yo represento al emisor, dado que yo emito el mensaje.

2. El receptor es el destinatario de la información. En este caso, todos mis alumnos son los receptores.

3. El mensaje es la información que se transmite. En este caso, mi pregunta “¡¡¿Quién ha tirado ese papel?!!

4. El canal es el medio físico por el que viaja el mensaje. En el ejemplo, es el aire por el cual viajan las ondas sonoras de las palabras que digo. Puede ser también el cable del teléfono, o el papel en el que está escrita una carta.

5. El código es el sistema de signos que utilizo para codificar la información. Puede ser cualquier lengua natural (como el castellano, en el ejemplo del dibujo), pero también un código secreto, el Morse, el esperanto o las señales que se hacen los deportistas para indicar qué jugada van a realizar. Por supuesto, para que la comunicación sea efectiva, tanto emisor como receptor deben conocer el mismo código (por ejemplo, el mismo idioma).

6. La situación son todas las circunstancias que rodean al acto de comunicación, y que influyen en el significado del lenguaje. Puede ser el lugar donde se encuentren emisor y receptor, el momento del día -o del año- , la relación que haya entre ellos, etc. En la situación se encuentra también el

7. referente, que aunque propiamente no es un elemento de la comunicación, suele ser explicado junto con ellos. Es la realidad extralingüística a la que se refiere el mensaje (en caso de que lo haga). En el ejemplo, el referente es el papel arrugado que hay en el suelo.

8. El ruido tampoco suele ser tomado como un elemento de la comunicación. Es cualquier interferencia que dificulte que el mensaje llegue a su destino. Puede ser el ruido de la clase, como los murmullos o las toses, o el motor de un camión que pase por la calle.

Formas del discurso

Tradicionalmente los textos en prosa se han clasificado en las llamadas formas del discurso o formas de composición: narración, descripción, exposición y argumentación. Esta división se basa en la intención que domine en cada una de ellas y, en consecuencia, en la distinta manera de organizar el texto: en la narración se detallan conocimientos reales o ficticios dispuestos en un tiempo y un espacio; en la descripción se evocan observaciones de la realidad; en la exposición se explican ordenadamente ideas y principios; en la argumentación, se defiende una postura y se intenta convencer de ella al receptor. La narración y la descripción se dirigen principalmente a la imaginación mientras que exposición y argumentación lo hacen al intelecto; los primeros son los más característicos de la expresión literaria y los segundos de las vertientes científica y humanística.

A estas cuatro formas del discurso hay que añadir el diálogo, no el que se produce en situaciones reales de comunicación oral, sino el que el autor recoge en sus textos para transmitir información al lector.

Esta clasificación no quiere decir que los textos se den con una de esas formas exclusivamente, ya que en una composición encontramos mezcladas diferentes variedades: en un cuento, la narración debe combinarse con la descripción de ambientes y personajes que, además, pueden dialogar entre ellos; del mismo modo, cuando argumentamos necesitamos exponer nuestras ideas y muy probablemente describir situaciones o enunciar ejemplos de un modo narrativo.

En el texto que viene a continuación puede verse cómo se combinan diferentes formas del discurso; se trata de un fragmento del dietario que escribe Josep Pla en Madrid en los primeros meses de la Segunda República:

5 DE MAYO. EPIGRAMAS LITERARIOS

En Madrid, cuando un literato llega a determinado nivel dentro de su profesión, no tiene más remedio que hacer una vida social activa. Ahora bien, este literato, para llegar hasta allí, ha de tener alguna dimensión filosófica. Si el literato no tiene esta dimensión, si se conforma con una capacidad meramente descriptiva, no pasa del rellano. Baroja y Azorín no han pasado del rellano. A Machado se le considera un gran poeta, pero no es un poeta elegante. A Unamuno se le considera un energúmeno de Salamanca. Un hombre del pos-98, el escritor –gran escritor– y filósofo Ortega y Gasset, está considerado como un hombre de la vida social. Las duquesas marquesas, etcétera, con mayor circulación en Madrid escuchaban cautivadas sus observaciones, estimadas profundas y fascinantes. Un día, en una de las mejores casas del País Vasco, se encontraron el entonces rey Alfonso XIII y el filósosfo. Hechas las presentaciones, el ex Rey le preguntó a Ortega qué disciplina o asignatura profesaba en la Universidad Central.

–Metafísica, señor…–contestó con una reverencia el autor de España invertebrada.

–Esto debe de ser muy complicado –dijo el ex Rey con una risita y una nonchalance francesa, borbónica y madrileña.

A Ortega la respuesta le pareció intolerable, y aquello le convirtió en un republicano inflamado. Estos últimos meses, con sus escritos en El Sol ha contribuido realmente a inclinar el fiel de la balanza.

Hoy Ortega está radiante, se encuentra a caballo entre la vieja sociedad aristocrática, que es, como resulta fácil adivinar, monárquica, y sus amigos republicanos, y es muy envidiado.

Josep Pla, Madrid. El advenimiento de la República

El texto comienza con una reflexión sobre las relaciones existentes entre los escritores madrileños y la vida social de la ciudad; podemos considerar estas líneas una pequeña exposición en la que se intercalan leves pinceladas descriptivas de Machado, Unamuno.... Tras estas líneas, Pla nos cuenta una anécdota, un encuentro entre Alfonso XIII y Ortega, tendríamos aquí una muestra de narración, que comienza además de un modo tradicional : “Un día…” . En ella se nos transmite el diálogo entre los dos protagonistas del sucedido a los que se describe mínimamente: respetuoso y más tarde irritado el filósofo; frívolo y displicente el rey. Las consecuencias de dicho encuentro y la situación actual –en el momento de escribirse el texto– de Ortega, al que se muestra en un feliz equilibrio, en una posición que suscita envidias, completan el escrito.

Podemos ver, pues, cómo en un pequeño fragmento de prosa pueden tener cabida diferentes formas del discurso; en este caso, exposición, narración, descripción y diálogo.

El discurso es un evento comunicativo social, realizado mediante el empleo de elementos lingüísticos. Articula el enunciado con una situación de comunicación singular, es decir, con la intención del autor, con el oyente o auditorio, con el año, el tiempo o temática determinada, entre otros.

Discurso es el mecanismo mas efectivos para entablar comunicacion con un determinado publico;por ende debe haber un vinculo previo entre el orador,oyente y auditorio.

Contenido

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• 1 Usos en diferentes materias

• 2 Discurso en la literatura

• 3 Los 'cuatro discursos' en psicoanálisis

• 4 Véase también

• 5 Referencias

• 6 Enlaces externos

[editar] Usos en diferentes materias

Definición: -Exposición oral y pública de alguna extensión: discurso de egresos en la Real Academia Española. -Serie de las palabras y frases empleadas para manifestar lo que se piensa o siente: mientras hablaba, el discurso quedaba entrecortado por las lágrimas. -Escrito o tratado en que se discurre sobre una materia: el Discurso del método. -Lapso de tiempo: el discurso de la existencia. -Serie de palabras y frases que posee coherencia lógica y gramatical: el nombre y el verbo son partes del discurso.

• En el uso un discurso es un mensaje oral de dirigirse a un público. Su principal función ha sido desde sus orígenes comunicar o exponer pero con el objetivo principal de persuadir.

También podemos decir que un discurso es un acto de habla, y por tanto consta de los elementos de todo acto de habla: en primer lugar, un acto locutivo o locucionario, es decir, el acto de decir un dicho (texto) con sentido y referencia; en segundo lugar, un acto ilocutivo o ilocucionario, o el conjunto de actos convencionalmente asociados al acto locutivo; finalmente, un acto perlocutivo o perlocucionario, o sea, los efectos en pensamientos, creencias, sentimientos o acciones del interlocutor (oyente).

El discurso es el razonamiento extenso dirigido por una persona a otra u otras, es la exposición oral de alguna extensión hecha generalmente con el fin de persuadir, y que ella como dijimos se encuentra conformada por tres aspectos que son: Tema o contenido del discurso, Orador y Auditorio.

En primer lugar, tenemos el contenido del discurso, el cual debe ser tejido en el telar de las experiencias, debe estar copado de detalles, ilustraciones, personificaciones, dramatismo y ejemplos en algunos casos; y todos estos expresados con términos familiares y concisos los cuales den la comprensión y el entendimiento adecuado; en donde lo que se quiere decir sea entendido por todos.

• En lingüística y en las ciencias sociales y cognitivas el discurso es una forma de lenguaje escrito (texto) o hablado (conversación en su contexto social, político o cultural).

• En la antropología y la etnografía se habla también de evento de comunicación.

• En la filosofía, por ejemplo con Foucault, un discurso es más bien un sistema de discursos, un sistema social de pensamiento o de ideas

• En el psicoanálisis, la noción de discurso se basa en la lógica, pero incorpora los aportes de la lingüística, la antropología, la filosofía y la historia, entre otras disciplinas. A partir de los aportes de Jacques Lacan, en psicoanálisis se trabaja con la “estructura de los cuatro discursos”1

El Análisis del discurso es una praxis 'trans-disciplinaria' que se desarrolló en los años 1960s en la antropología, la lingüística, la sociología, la filosofía, y la psicología, y después también en otras disciplinas, como la historia, el estudio de la comunicación y el psicoanálisis.

Dado la multiplicidad de los enfoques, el discurso se puede definir como una estructura verbal, como un evento comunicativo cultural, una forma de interacción, un sentido, una representación mental, un signo, etc. Tanto el discurso hablado como el discurso escrito (texto) se considera hoy en día como una forma de interacción contextualmente situada.

Como estructura verbal, un discurso es una secuencia coherente de oraciones. La coherencia global se define por los temas o tópicos que se expresan por ejemplo en los titulares o los resúmenes del discurso.

Como interacción (conversación, diálogo) el discurso es una secuencia coherente de turnos y acciones de varios participantes, en que cada acto se lleva a cabo en relación con el anterior, y prepara el siguiente.

Aparte de sus estructuras secuenciales, los discursos tienen muchas otras estructuras en varios niveles, por ejemplo estructuras de la gramática (fonología, sintaxis, semántica), el estilo, las estructuras de la retórica (como metáforas, eufemismos), y las estructuras 'esquemáticas' que definen el formato global del discurso, como la argumentación, la narración, o el formato convencional de una noticia en la prensa.

De la perspectiva de la cognición, el discurso se describe como procesos y representaciones mentales, en que los usuarios de la lengua aplican palabra por palabra, oración por oración, estrategias de producción o de comprensión antes de almacenar fragmentos del discurso en la memoria. Porque los usuarios de la misma lengua y cultura comparten tantos conocimientos, el discurso es fundamentalmente 'incompleto'

La aproximación etnográfica del discurso enfatiza la variación cultural de los discursos: Conversaciones, discursos políticos, negociaciones, cuentos, y muchos otros géneros tienen otras estructuras y estrategias en otras culturas.

[editar] Discurso en la literatura

Es una unidad del lenguaje, contiene aspectos semánticos (intención) y pragmáticos (ideas).

• Discurso dialógico: domina la función apelativa.

• Discurso expositivo: domina la función referencial.

• Discurso argumentativo: domina la función apelativa.

[editar] Los 'cuatro discursos' en psicoanálisis

En su seminario titulado El reverso del psicoanálisis, Lacan introduce una formalización de lo denominó los ‘cuatro discursos’ en base a los cuatro términos: ' ' , ' ', ' ' y ' ' , es decir, el sujeto, el significante amo, el saber y el objeto a.

La disposición que tienen los mismos en cada uno de ellos es tal que cada uno resulta de un movimiento de rotación de cualquier otro, resultado de lo cual, por ejemplo, es que el discurso analítico es el contrapunto del discurso del amo, en el sentido en que existe entre ambos una simetría que no es en relación a una línea ni a un plano, sino, precisamente, a un punto.

Discurso del amo (M)

Discurso de la histeria (H)

Discurso de la universidad (U)

Discurso del analista (A)

[editar] Véase también

Discurso directo e indirecto

Formas Del Discurso

FORMAS DEL DISCURSO

Como ya dijimos las 4 formas del discurso son: descriptivo, narrativo, argumentativo y oral o de exposición, a continuación mostraré los datos importantes o mejor dicho, lo que se necesita para poder redactarlos.

Nota: Los ejemplos de cada uno se encontrarán al final del ensayo debido al poco tiempo que tuve para hacer el ensayo, además de el trabajo que cada día es más pesado.

DESCRIPTIVO

Podemos definir a la descripción como un dibujo hecho con palabras que puede referirse a una persona, un animal, un lugar o a una cosa por supuesto está empleada en el discurso esta misma podemos dividirla en 2 ramas:

La primera es la prosopografía esta es la encargada de describir los rasgos físicos de lo que se esté describiendo, en especial se hace más fuerte cundo existen comparaciones en la misma

La segunda es la etopeya esta es la encargada de describir los rasgos morales de las personas pueden ser generalmente los sentimientos o lo que está pensando, eso para el caso de las personas. Cuando se habla de animales, cosas o lugares se puede hacer de 2 maneras: la primera puede ser comparándolos para darle (al igual que el ejemplo anterior) más fuerza o podemos utilizar la segunda que es describirlo de manera personalizada para darle un poco más de contexto.

El discurso descriptivo utiliza principalmente el adjetivo que es el que señala virtudes y defectos del sujeto ya sean físicas o abstractas, esto es lo medular del discurso descriptivo ya que sin él no podría haber descripción.

Para poder darle estructura y hacerlo descriptivo necesitamos seguir los siguientes pasos:

* Escoger los rasgos principales, de preferencia, los detalles concretos. No es lo mismo decir: una casa bonita, que decir: una casa blanca con tejado y con flores adornando la entrada.

* Calificar o determinar los rasgos escogidos con adjetivos y comparaciones que reproduzcan en la mente del lector la imagen deseada. Ej: Sus ojos eran negros, tan negros como la oscuridad...

Heterogeneidad composicional del discurso

La crítica literaria (Genette 1972), la tradición filosófica (Ricoeur 1986), la lingüística textual (Benveniste 1966, Weinrich 1973),la semántica formal (Lascarides y Asher 1993),la etnometodología (Sacks 1992, Gülich y Quasthoff 1986), la sociolingüística (Labov 1978), son son subcategorías de las ciencias de la lengua que examinaron muy a fondo, y desde perspectivas distintas, entidades nocionales y conceptos relacionados con el discurso como la narración, la descripción, la explicación, la información, la argumentación, la deliberación, etc.

Si estas categorías dieron lugar a propuestas teóricas distintas, e incluso divergentes, la constancia y la transversalidad de tal cuestionamiento responde a una realidad empírica innegable: tanto a nivel oral como al escrito, las producciones discursivas no corresponden a la manifestación de un ùnico tipo de discurso, pero se articulan en una pluralidad de segmentos, que están incluidos en distintos tipos, y que se combinan según diferentes modalidades.

Por lo tanto, dar a conocer las modalidades de tal combinación equivale a estudiar la complejidad de la organización del discurso según una opinión particular, la de su heterogeneidad composicional.

Evidentemente, el análisis tradicional del discurso (Maingueneau 1990, Adam 1992, Bronckart 1997, Roulet, Filliettaz y Grobet 2001) aportó mucho acerca de esta problemática. Además de múltiples propuestas relativas a la clasificación de los tipos de discurso, sus contribuciones teóricas y metodológicas entorno a la heterogeneidad composicional son de gràn interés y muy copiosas.

Al combinar un estudio centrado en la estructura interna de los textos con un cuestionamiento de orden circunstancial, los analistas del discurso destacan por ejemplo la complejidad de los sistemas de información implicados en la cuestión de la heterogeneidad composicional, y contribuyen así a distinguir mejor el concepto de tipo de discurso.

Más concretamente, ponen de manifiesto que si las clases de textos estàn relacionadas con las condiciones de producción del discurso y a los aspectos que caracterizan un conjunto potencialmente ilimitado de actividades lingüísticas certificadas en una colectividad en un tiempo dado (p.ej.: la fábula, la autobiografía, la novela, el cuento, etc), los tipos de discurso designan un número terminado, estable, recurrente y claramente identificable de modalidades que implican la existencia de textos que contribuyen a la organización de las "infraestructuras" (p.ej.: narración, descripción, deliberación, etc.).

De esta evocación somera de algunas de las contribuciones al análisis de las producciones lingüísticas, se retendrá que el concepto de tipo de discurso ocupa un lugar destacado en los trabajos consagrados a la descripción de las estructuras discursivass. Porque constituye una condición necesaria para el estudio de la heterogeneidad composicional del discurso; aparece como un paso obligatorio en la descripción de la organización del discurso y merece, por lo tanto, una atención especial.

Esta es la razón por la cual los apartados siguientes se dedicarán a la presentación de una tipología discursiva, así como a algunas observaciones generales relativas al lugar de tal instrumento de análisis en un modelo de la organización del discurso .

Tipos de discurso

Contrariamente a la clasificación genérica ( fábula, noticia, cuento, novela, etc), cuya caracterización obedece a una multitud de criterios heterogéneos y desemboca en un infinito de categorías en perpetua evolución, los tipos de discurso (narración, descripción,etc.) se distribuyen en un número limitado de modalidades, que hacen posible un planteamiento tipológico.

Sin embargo, esta tipología plantea a las teorías lingüísticas importantes dificultades, que justifican, sin duda, la multiplicidad de las tentativas de las que ha sido objeto el discurso, y esto desde hace varias décadas.

Desde el punto de vista empírico, por ejemplo, la constitución de una tipología se enfrenta necesariamente a la notable diversidad de las producciones lingüísticas certificadas. En efecto, los tipos divagadores presentan, según del cotexto en el cual aparecen, propiedades extremadamente variables, y pueden manifestarse bajo formas semióticas múltiples (Filliettaz y Grobet 1999). Se plantea entonces la cuestión cómo, a partir de la infinita diversidad de las realidades empíricas, se llega a extraer los principios estables y recurrentes que son la base de las infraestructuras textuales.

Pero esta cuestión remite a un problema teórico más general, y que se refiere a la naturaleza de información que debe solicitar el lingüista con el fin de constituir una tipología validera.

Como lo deja ver la evolución de la investigación en este ámbito, varios criterios definitorios son posibles. En la época de Benveniste (1966) y de Weinrich (1973), por ejemplo, se pretendió fundar los tipos de discurso sobre categorías lexico semánticas, y más concretamente sobre configuraciones aspecto temporales (Roulet 1991).

Pero tales enfoques se encontraron rápidamente enfrentados a importantes límites. Ampliamente dependientes de las lenguas particulares, y sobre todo muy influidos por las clases de actividades lingüísticas, los criterios lexico semánticos constituyen buenos indicadores estadísticos, pero resultan a veces demasiado restrictivos, a veces demasiado generales para fundar una tipología valida empíricamente (ver Filliettaz y Grobet 1999, Grobet y Filliettaz 2000).

Es seguramente lo que explica los esfuerzos para definir los tipos de discurso a partir de entidades preliguísticas. Fayol (1985), por ejemplo, presentó una tentativa interesante de describir los relatos por medio de una estructura cognoscitiva estereotipada basada en esquemas o escrituras cuyo alcance excede ampliamente el marco específico de las actividades lingüísticas particulares.

Del mismo modo Adán (1992) avanzó una definición explícita de un número terminado de "prototipos secuenciales", distintos desde el punto de vista de su "superestructura".

Por último, Bronckart (1997) elaboró una tipología basada en cuatro "arquetipos psicológicos", derivados de un número limitado de operaciones mentales referentes a los datos mundanos así como sobre las instancias actanciales.

Aunque se trata de tentativas tipológicas sensiblemente diferentes y con algunos aspectos incompatibles, son tipologías que comparten sin embargo una serie de propiedades comunes que es de gran utilidad aclarar aquí.

Se basan en primer lugar en categorías cognoscitivas que movilizan información de carácter de referencia, es decir, información que se refiere a los informes que el discurso mantiene con el mundo que representa. Todas ellas admiten, de una forma u otra, que los oradores disponen de recursos psicológicos caracterizados a partir de los cuales interpretan y producen secuencias discursivas particulares.

Sin embargo, aunque ofrecen la ventaja de situar la reflexión tipológica a un nivel, a la vez, trans-semiótica y no determinado contextualmente, estos enfoques sólo determinan parcialmente las especificidades de los distintos tipos de discurso.

Como lo mostró bien Roulet (1989), los conceptos de "superestructura" (Adán 1992) o de "esquema" (Fayol 1985) se refieren tanto a unidades como a acontecimientos y aspectos no lingüísticos, y caracterizan un método de análisis independiente de toda forma de textualización. Ahora bien, definir tipos de discurso consiste no solamente en aclarar unas operaciones psicológicas generales en las cuales se basan las categorías discursivas, sini también poner de relieve los principios que afianzan éstas en unidades específicamente divagadoras.

En definitiva, todo indica pues que el concepto de tipo de discurso no se va relacionado con una sola entidad teórica elemental ya que hay, en este sentido, toda una pluralidad de sistemas de información que intervienen en su definición. Es al menos lo que recientemente pretendieron establecer los trabajos ginebrinos (Roulet, Filliettaz y Grobet), cuyo enfoque modular adopta una tipología que presenta la ventaja de confirmar la importancia de las categorías cognoscitivas sin por ello minimizar el papel que estructura las configuraciones textuales.

Esta tipología que presentamos, someramente, a continuación, se articula en torno a tres tipos de discurso que son la narración , la descripción y la deliberación.

La narración

De entre el conjunto de las categorías implicadas en la descripción de las infraestructuras textuales, el concepto de narración constituye indiscutiblemente el que fue objeto del mayor número de investigaciones.

Por su parte, el modelo modular ginebrino propone definir el discurso narrativo como un segmento textual monológico que tiene por propiedad designar una pluralidad de acontecimientos divididos del mundo ordinario en el cual se sienta el pleito de la comunicación. Más específicamente, este tipo de discurso se basa en los principios subyacentes a la construcción de unidades discursivas monológicas que son las intervenciones (Roulet, Filliettaz y Grobet). Pero se basa igualmente sobre dos principios de referencia , a saber a) el de la disyunción de los mundos y b) el de "cadena efectiva culminativa" o de "historia".

Uno de los méritos de los trabajos de Bronckart (1997) es haber estudiado de manera profunda las múltiples modalidades de puesta en relación entre el mundo ordinario y el mundo discursivo. En este sentido, todo indica que la narración se caracteriza por la disyunción que opera entre estos dos niveles de referencia.

Convencionalmente, y desde el punto de vista espacial y temporal, el discurso narrativo lleva, en efecto, a la creación de un mundo discursivo que se descubre en disyunción con del mundo ordinario en el cual se sienta la acción lingüística.

Este principio de disyunción de los dos mundos, en cuestion, no debe asimilarse al concepto de "ficción", y no se refiere específicamente a la recapitulación de ùltimos hechos. Pero no hay que olvidar que en un discurso narrativo se puede representar un mundo cuyos datos temporales son posteriores a las del mundo ordinario, y, como lo deja patentemente establecido la frecuencia de las narraciones en la vida diaria, puede porocederse permanentemente a la evocación de acontecimientos referencialmente disyuntivos, sin asignar un carácter ficticio a estos últimos.

Hay que reconocer que algunas configuraciones semióticas, como, por ejemplo, las "actas" (aplazamientos) o las "menciones" (Gülich y Quasthoff 1986), optan por la existencia de una disyunción de dos universos de referencia, pero sin por ello constituir verdaderas narraciones.

Esta es la razón por la cual, a pesar de las reservas que tal tentativa pudo suscitar (Bronckart 1997), es importante especificar las condiciones de referencia de aparición de la narración, precisando la naturaleza del proceso designado por este tipo de discurso. En efecto, pocos son los trabajos referentes al discurso narrativo que no mencionan los conceptos de progresión temporal, de transformación de Estados, anudamiento y desenlace o también de organización efectiva causalmente pedida (Fayol 1985, Adán 1992 y 1994).

Aunque centradas en aspectos variados de la organización de las narraciones, estas propiedades convergen hacia la hipótesis según la cual las distintas formas de expresión de narratividad se organizan minimalmente en torno a una historia y que, más específicamente, designan un conjunto de Estados y acontecimientos que se articulan en una cadena culminativa. Esta es la razón por la que se puede considerar en definitiva que los juicios empíricos de los oradores relativos a la narración se basan, al menos en parte, en una representación específica, los de una historia caracterizada:

Figura 1: Representación praxeológica de una historia

La representación praxeológica aquí presentada remite claramente a unq información de carácter referencial. El transcusrso que propone traduce la idea de una transformación temporal y causalmente pedida, que se encuentra explícitamente mencionada en varios autores, y, en particular, en Adán (1992), en forma de un "esquema quinario". En cuanto a la evocación de una COMPLICACIÓN, de una REACTION y de una RESOLUCIÓN, traduce la necesaria "puesta en intriga" de los acontecimientos disyuntivos que son objeto de la recapitulación.

De hechom es de considerar que si las expresiones narrativas mencionan cadenas efectivas, éstas no se sientan en una simple organización cronológica lineal, pero se articulan en un efecto de culminación vinculada a la aparición de un doble movimiento de anudamiento y desenlace.

A veces dada por demasiados vinculantes, esta propiedad constituye sin embargo una condición recurrente en un gran número de modelos del relato: ya presente en Propp, a través de los episodios de provocación, reacción y sanción, Adán comenta detenidamente este efecto de culminación (1994: 104). Se encuentran incluso rastros en el modelo laboviense, en la medida en que las etapas narrativas que distingue presuponen minimalmente una tensión entre acontecimientos desencadenantes y acontecimientos concluyentes (Labov 1978: 306). Entendida literalmente, tal condición supone una reducción de la infinita diversidad de los discursos narrativos posibles.

Sin embargo, si el concepto de historia funciona como un principio definitorio teóricamente válido, es porque presenta una forma de flexibilidad indispensable para la definición de los tipos de discurso. Esta flexibilidad se manifiesta en primer lugar en el carácter que caracteriza tal representación, que no debe confundirse ni con "escrituras" que planean, ni con "normas" de carácter determinista, sino que puede dar lugar, según las situaciones, a frecuencias múltiples.

Esta maleabilidad se manifiesta también a través de los principios de "recursividad" que garantizan la representación praxeológica de la historia una gran diversidad de realizaciones efectivas.Tal como queda indicado por las flechas, éstas se refieren, por una parte, a la potencial multiplicación lineal de los episodios de REACTION, y por otra parte, a la derivación posible de cada uno de los episodios de la intriga, en forma de historias insertadas.

La descripción

Contrariamente a la narración, cuyo estatuto tipológico pocas veces se cuestiona, el discurso descriptivo dio lugar a incesantes controversias y fue objeto de tratamientos variados en los autores y teóricos que se ocuparon del estudio del tema.

Segùn los trabajos francófonos (Hamon 1993, Adán y Petitjean 1989, Adán 1992 y 1993), esta controversia se debe ,por una parte, a la aparente falta de construcción que presenta este tipo de discurso, y por otra parte, a su estatuto a menudo supeditado a nivel textual.

Sea como sea, la descripción segùn Adán se basa en un "procedimiento de jerarquización muy estricto", regulado por un número limitado de operaciones que son (a) la sujeción, (b) la aspectualización, (c) la puesta en relación y (d) la tematización :

a. Porque toda descripción se refiere a una entidad de referencia determinada, se afianza minimalmente en un "tema-título". Esta operación de sujeción es esencial, puesto que garantiza al discurso descriptivo su coherencia, y funde hasta cierto punto su "horizonte de espera". Además de la evocación catafórica del tema-título, varias modalidades de sujeción pueden considerarse. Se puede por ejemplo revelar retrospectivamente la entidad que fue objeto de la descripción, y así proceder a una asignación. Y se pueden también en cualquier momento reformular el tema-título o cualquier otro elemento de la descripción, modificándolo sensiblemente.

b. Lo característico del discurso descriptivo consiste en mencionar las partes o las propiedades de las entidades de referencia. La operación de aspectualización es pues la base de la extensión descriptiva. Equivale a presentar sucesivamente las características que se reconocen en el tema- título o a cualquier otro elemento de una descripción.

c. Además puede suceder que el tema-título esté situado en el espacio y en el tiempo. A veces también es asimilado, en comparación o en metáfora, a otras entidades de referencia. El conjunto de estas operaciones está incluido en el procedimiento de puesta en relación.

d. Finalmente, la operación de tematización garantiza al discurso descriptivo una extensión potencialmente infinita. En efecto, como lo precisa Adán (1993), "cualquier elemento puede encontrarse, a su vez, al inicio de un nuevo procedimiento de aspectualización y/o de puesta en situación". La articulación de las operaciones constitutivas de la descripción da una idea clara de los principios en que se basa la organización de este tipo de discurso, y que implican la base de su jerarquización:

Figura 2: Las operaciones descriptivas según Adán (1993: 115)

Aunque muy someramnete presentada aquí, esta definición ofrece la ventaja de relacionar un número limitado de operaciones semióticas con los principios que son la base de las secuencias descriptivas, que sean elementales o complejas.

Además, estas categorías afianzan en un conjunto homogéneo de información de referencia los principios definitorios de este tipo de discurso. En efecto, la "superestructura" anteriormente mencionada va relacionada con un conjunto caracterizado de operaciones cognoscitivas elementales: el tema-título remite a una entidad conceptual cuyas características son objeto de derivaciones particulares, especificadas por la naturaleza de las operaciones descriptivas.

Se puede pues considerar que a diferencia de las narraciones, basadas en representaciones praxeológicas de historias, los discursos descriptivos se refieren a categorías conceptuales, y designan las propiedades de los lugares, de los seres o de cualquier otra unidad de referencia que puede ser objeto de una derivación conceptual.

Se consigue así una definición de la descripción que supone este tipo de discurso como un segmento textual monológico que designa, a través de las operaciones específicas que son la sujeción, la aspectualización, la puesta en relación y la tematización, las distintas características de una entidad conceptual.

La deliberación

A pesar de nombres variables ( discurso teórico, explicativo, argumentativo, informativo, etc), el discurso deliberativo se encuentra mencionado de manera recurrente en los distintos modelos tipológicos existentes.

Parece necesario por lo tanto concederlo un fuerte estatuto tipológico. Sin embargo, mientras que es posible entender configuraciones de referencia relativas a las narraciones y a las descripciones, parece en cambio difícil relacionar la diversidad de los discursos deliberativos con un conjunto determinado de principios.

En efecto, contrariamente a los tipos arriba estudiados, el discurso deliberativo no parece generar "esperas particulares" relativas a un contenido de referencia. Además, las propiedades lingüísticas a veces contabilizadas para entender las especificidades resultan realmente demasiado generales, y se aplican también a otras categorías tipológicas.

No obstante, lejos cuestionar la validez de una tipología basada parcialmente en información de referencia, estas particularidades ponen de relieve la gran neutralidad de las configuraciones deliberativas. Esta es la razón por la que es necesario definir este tipo como una clase de "grado cero" de un modelo tipológico, correspondiendo al conjunto de las producciones discursivas que escapan a la vez a las propiedades de la narración y a las de la descripción.

Esta hipótesis de un discurso deliberativo "por defecto" parece satisfactorio en la medida en que contribuye a la asimilación de ciertos elementos a la vez empíricos y teóricos. En primer lugar, el establecimiento de un tipo neutro, definido de manera negativa, puede explicar por qué, al menos en contexto conversacional, la gran mayoría de las producciones verbales están incluidas precisamente en el este tipo discursivo. Es solamente cuando el contenido de referencia se organiza de manera específica que entidades textuales toman localmente la forma de un discurso señalado como la narración o la descripción.

Por otra parte, desde un punto de vista más teórico, la definición por defecto ofrece la ventaja de dar cuenta debido a que el conjunto de las categorías tipológicas no presentan el mismo grado de apariencia. Adoptar la hipótesis de un "grado cero" vuelve de nuevo así a admitir que el discurso deliberativo constituye una entidad muy poco destacada, y que está por consiguiente preferible describir la neutralidad más que de intentar desesperadamente traerla a un prototipo ilusorio.

Tipología y modelo de organización del discurso

La tipología discursiva anteriormente mencionada sólo constituye un ejemplo de clasificación entre las múltiples posibilidades que se elaboraron durante últimos años. En la medida en que sólo se destacan tres categorías, esta tipología puede sin embargo darse por mínima desde el punto de vista de varios aspectos.

Contrariamente al enfoque que propone Adán (1992), la clasificación anteriormente mencionada no implica una distinción elemental entre la explicación y la argumentación, y no concede un fuerte estatuto tipológico a varias clases que frecuentemente vemos mencionadas en los tratados de otros autores.

Por ejemplo, el "discurso poético" no se ve como un tipo de discurso particular, puesto que éste destaca o por actividades lingüísticas que se manifiestan en múltiples subtipos ( el soneto, el blasón, la fábula, el poema en prosa, etc.), o de una función general del uso de la lengua - la función poética o autotélica descrita por Jakobson (1963) - que se encuentra potencialmente expresada en el conjunto de las producciones discursivas y que, por lo tanto, no remite a una infraestructura textual específica.

En cuanto al "discurso procesal", que se manifiesta principalmente en las producciones verbales de carácter preceptivo ( ingresos de cocina, métodos de empleo, procedimientos, explicaciones, etc.), se vinculó claramente con un subtipo de descripción bien estudiado por Adán (1992): la descripción de acciones.

En la medida en que su configuración de referencia se vinculó con operaciones de aspectualización de un tema-título por partes temporalmente pedidas, es necesario admitir que el discurso procesal supone un proceso descriptivo. Por último, a diferencia de un gran número de autores (Adán 1992, Bronckart 1997), la tipología propuesta por el modelo modular ginebrino no aplica el "discurso dialógico" o "interactivo" a un tipo entre otros.

El reglamento de las conversaciones remite en efecto a principios fundamentales que están incluidos en la dimensión elemental de la organización del discurso - la dimensión jerárquica - y no de la problemática de la heterogeneidad composicional. En cuanto a los diálogos representados, muy frecuentes tanto orales como escritos, su estudio es susceptible de mostrarlos como consubstancialmente vinculados con los discursos narrativos, descriptivos o deliberativos que los soportan.

A pesar de su reducido número de categorías, la tipología arriba definida ofrece una serie de ventajas, tanto metodológicas, empíricas como teóricas. A nivel metodológico, la clasificación se basa en un conjunto estable de principios recurrentes, y no, como es el caso a veces, según criterios definitorios que varían de una categoría a otra.

De manera recurrente, es una información referencial y textual que permite definir el conjunto de las tres entidades que son la narración, la descripción y la deliberación. Además, el enfoque cognoscitivo privilegiado aquí hace posible la consideración de un extenso conjunto de realidades empíricas y permite superar satisfactoriamente el problema de la variedad de las producciones discursivas.

En efecto, los tipos de discurso constituyen una información diagramática abstracta que especifica los contornos de entidades interiorizadas por los oradores. Dichas entidades pueden aplicarse según modalidades variables a la realidad de los discursos producidos, yendo de la realización "prototípica" a formas de manifestaciones más inesperadas.

Por último, debido a que reconoce plenamente la complejidad inherente al concepto de tipo de discurso, en particular, distinguiendo la información referencial y textual que la componen, la tipología presentada aquí permite aclarar desde un punto de vista teórico lo que los tipos discursivos comparten con otras formas de expresión no lingüísticas (una configuración de referencia específica), y lo que le es propio (una configuración textual monologica de intervención).

En resumidas cuentas, si la definición de los tipos discursivos aparece como una condición necesaria para el estudio de la heterogeneidad composicional del discurso, es importante recordar que no constituye más que una etapa.

En efecto, describir la posibilidad para producciones verbales de combinar una multitud de fragmentos que dependen de configuraciones de referencia variables no se aplica a la definición de tipos abstractos: implica determinar cómo estos tipos de discurso se manifiestan en secuencias efectivas, cómo estas secuencias se hacen a nivel léxico-sintáctico por efectos argumentativos, narrativos o autotélicos, cómo se imbrican finalmente a nivel textual y, cómo responden a las propiedades de las situaciones de interacción en las cuales se enuncian (véase Filliettaz 1999 y Roulet, Filliettaz y Grobet 2001).

En definitiva, la problemática de los tipos de discurso deja ver el carácter complejo de las realidades discursivas y la necesidad para los analistas de establecer respuestas metodológicamente adaptadas a tal complejidad.

BIBLIOGRAFIA

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Adam, Jean-Michel: La description. Paris 1993.

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Adam, Jean-Michel / Petitjean, André: Le texte descriptif. Paris 1989.

Benveniste, Emile: Problèmes de linguistique générale. tome 1. Paris 1966.

Bronckart, Jean-Paul: Activité langagière, textes et discours. Lausanne 1997.

Fayol, Michel: Le récit et sa construction. Neuchâtel 1985.

Filliettaz, Laurent: Une approche modulaire de l’hétérogénéité compositionnelle du discours. Le cas des récits oraux. In: Cahiers de linguistique française 21, 1999, S. 261-327.

Filliettaz, Laurent / Grobet, Anne: L’hétérogénéité compositionnelle du discours : quelques remarques préliminaires. In: Cahiers de linguistique française 21, 1999, S. 213-260.

Genette, Gérard: Discours et récit. In: Figures III, Paris 1972, S. 71-267.

Labov, William: Le parler ordinaire. Paris 1978.

Hamon, Philippe: Introduction à l’analyse du descriptif. Paris 1993.

Jakobson, Roman: Linguistique et poétique. In: Essais de linguistique générale. Paris 1963, S. 209-248.

Maingueneau, Dominique: Eléments de linguistique pour le texte littéraire. Paris 1990.

Ricoeur, Paul: Du texte à l’action. Paris 1986.

Roulet, Eddy: Des dimensions argumentatives du récit et de la description dans le discours. In: Argumentation 3, 1989, S. 247-270.

La oración es el constituyente sintáctico más pequeño posible, capaz de realizar un enunciado o expresar el contenido de una proposición lógica, un mandato, una petición, una pregunta o, en general, un acto ilocutivo que incluya algún tipo de predicación. Se diferencia de las frases en su completitud descriptiva. A veces se usa el término cláusula para designar un constituyente sintáctico con estructura oracional, pero dependiente sintácticamente de otra unidad mayor careciendo también de independencia semántica, o fonológica.l.Esta falta de autonomía es la principal referencia respecto de la oración, unidad completa e independiente, ya que necesita relacionarse con otras cláusulas dentro de la oración principal.

Una definición tradicional es: «La oración es la palabra o conjunto de palabras qué tiene sentido completo y autonomía sintáctica» que aunque es imprecisa, trata de reflejar el hecho de que la oración pragmáticamente es el fragmento más pequeño del discurso que comunica una idea completa y posee independencia (es decir, podría sacarse del contexto y seguir comunicando). Debe tenerse presente que técnicamente los términos enunciado, proposición y oración no son sinónimos, ya que el primero se refiere a aspectos pragmáticos, el segundo lógicos y semánticos y el último puramente gramaticales. Fonológicamente las oraciones están delimitadas prosódicamente por pausas y gráficamente por comas o puntos. En las escuelas formalistas, es la unidad de análisis fundamental.

Contenido

[ocultar]

• 1 Introducción

o 1.1 Enfoque funcional de oración

o 1.2 Enfoque generativista de oración

o 1.3 Cláusulas, oraciones, enunciados y proposiciones

• 2 Clasificación de las oraciones

o 2.1 Criterios sintácticos

 2.1.1 Según la divisibilidad

 2.1.2 Oraciones según la forma del sujeto

 2.1.3 Oraciones según la complejidad del predicado

 2.1.4 Coordinación o parataxis

 2.1.5 Subordinación o hipotaxis

o 2.2 Criterios pragmáticos: Oraciones según la fuerza ilocutiva

o 2.3 Oraciones según el tipo de verbo (morfología, semántica)

• 3 Véase también

• 4 Referencias

o 4.1 Bibliografía

[editar] Introducción

Copia digital de la primera oración húngara conocida. Manuscrito de 1055 de Tihany.

El concepto de «oración» es paradójicamente uno de los que más revisiones ha sufrido en los modelos gramaticales desde la aparición de la lingüística moderna y en particular la moderna teoría de la sintaxis. Tradicionalmente los gramáticos trataron la oración como una unión de "sujeto + predicado"

Sujeto y Predicado.- Estudiado

GRAMÁTICA ELEMENTAL

La gramática es la ciencia que estudia las expresiones significativas usadas en el habla normal. En su

nivel elemental, define un conjunto infinito de frases útiles para explicar el significado y el uso de las

oraciones [1].

_______

file:///C|/GrElem/A_/gramatica.html (4 de 817)03/04/2009 03:26:36 p.m.

Gramática elemental de la lengua española

[1] Esta gramática es muy diferente de las clásicas y de las escolares. Ello no se debe a vanas

pretensiones de originalidad, sino a la estrechez del propósito perseguido. Así, se ha omitido toda

información innecesaria para una gramática elemental. Tampoco se han repetido las insatisfactorias

definiciones tradicionales de las llamadas partes de la oración (sustantivo, adjetivo, verbo, adverbio,

preposición, conjunción), ni intentado ofrecer otras mejores (tarea acaso imposible), pues para

explicar las propiedades sintácticas y semánticas de las oraciones y sus diversos usos son suficientes

los listados completos de las diferentes clases de palabras proporcionados por el diccionario y

algunas reglas adicionales. Además, hubo que acuñar neologismos gramaticales y - lo que es aún más

duro - redefinir para su uso técnico no pocos términos de venerable tradición. Ojalá el lector sepa

apreciar la prudencia con que se hizo esto.

La segunda diferencia se debe a que esta gramática no solo no presenta la materia en el orden

habitual, sino que lisa y llanamente no tiene ningún orden de lectura predeterminado. En cada página

hay remisiones a otras en donde se explican los conceptos requeridos para la comprensión cabal de lo

que se está leyendo. Al principio, pues, el lector se verá atrapado en un remolino de idas y venidas

por diferentes páginas. Pero a medida que vaya conformando en su mente un cuadro cada vez más

claro y completo de la totalidad podrá profundizar más y más en cada una de ellas.

La tercera diferencia importante es que en esta gramática abundan los ejemplos, sacados casi todos de

un vasto corpus de textos conocidos. Esto ha sido posible gracias a la publicación digitalizada de los

textos en la internet y al software que elaboré para bucear en ellos.

El vocabulario es el conjunto de palabras que forman parte de un idioma específico, conocidas por una persona u otra entidad (como un diccionario).

El vocabulario de una persona puede ser definido como el conjunto de palabras que son comprendidas por esa persona, o como el conjunto de palabras probablemente utilizadas por ésta. Así es que por ejemplo "valiente" forma parte del vocabulario normal de las personas hispanohablantes, mientras que "bizarro" no lo es, ya que a pesar de éstos ser sinónimos, "bizarro" es una palabra prácticamente en desuso (o erróneamente utilizada con el significado del vocablo del idioma inglés bizarre, que significa extraño, o extravagante). La riqueza del vocabulario de una persona es considerada popularmente como reflejo de la inteligencia o nivel de educación de ésta.

El incremento del propio vocabulario es una parte importante tanto en el aprendizaje de idiomas, como en la mejora de las propias habilidades en idioma en el cual la persona ya es adepta.

La adquisición del vocabulario (tanto en el primer idioma como en los segundos y/o extranjeros), es un proceso muy complejo. La primera distinción que debemos hacer es entre vocabulario pasivo y vocabulario activo. El primero es el vocabulario que el sujeto entiende sin ayuda o con muy poca ayuda, pero que no es capaz de utilizar autónomamente. El segundo, es el vocabulario que el sujeto comprende sin problemas, pero que además, es capaz de utilizar cuando lo necesita y sin necesidad de ayuda. Parece claro, por lo tanto, que el vocabulario más amplio de una persona es el vocabulario pasivo, y parece claro también, que si una persona no tiene una palabra "almacenada" en su vocabulario pasivo, difícilmente esa palabra podrá llegar a formar parte de su vocabulario activo. Uno de los defensores de esta teoría fue Tracey Terrell, co-autor del "Natural Approach", y que invirtió un gran esfuerzo en intentar explicar este proceso de adquisición lingüística. Terrell afirma que una forma primero se "liga" (binding en inglés), es decir, se relaciona una forma con su significado. Este proceso parece ser un proceso paulatino y relativamente "lento", ya que no sería un aprendizaje sino una adquisición. Una vez la forma ya está "ligada", el sujeto debería ir intentando "acceder" (accessing en inglés) a esa forma en repetidas ocasiones. Las primeras veces requerirá de mucho tiempo, y posiblemente de cierta ayuda, pero ese tiempo o esa necesidad de ayuda se irá reduciendo paulatinamente. Cuantas más veces ese sujeto intente acceder a esa forma, más "accesible" estará.

La comparación y la analogía en el párrafo es la sustentación de lo dicho, buscando similitudes con hechos u objetos ya conocidos tanto por el emisor como por el receptor.

EJEMPLO DE LA COMPARACIÓN Y LA ANALOGÍA EN EL PÁRRAFO:

"Semejante a México en su comportamiento social -Argentina también está dividida en clases, depende de la inversión y la tecnología norteamericana- por más que se le considera nación del primer mundo en las estadísticas y tendencias pasadas, es claro que la patria del Che Guevara es una República que ofrece ejemplos para las demás naciones del continente."

Reglas sobre el uso de las letras C, S y Z

Se escriben con C:

1.- Las palabras que llevan C, cuando esta letra tiene sonido fuerte ante a, o, u, l, r, y antes de la última sílaba. Ejemplos: carreta, corredor, cubierta, cloro, crucero, acne.

2.- Las palabras que terminan en ancia, ancio, encia, encio, uncio, uncio. Las únicas excepciones son ansia, Hortensia y hortensia.

3.- Las terminaciones de los diminutivos cito, ecito, cico, ecico, cillo, ecillo y sus femeninos correspondientes, salvo que se deriven de palabras con s en la última sílaba. Ejemplos: bracito, nuevecito, hombrecico, airecillo.

4.- Las terminaciones cia, cie, cio. Son excepciones algunos nombres propios y palabras de origen griego, tales como Rusia, Asia, Dionisio, gimnasio, idiosincrasia, iglesia, anestesia, magnesia, etc.

5.- Los verbos que terminan en ciar, así como las palabras de las cuales proceden y las que se derivan de ellas. Se exceptúan los verbos ansiar, extasiar, lisiar y sus derivados. Ejemplos: Acariciar, beneficiar, presenciar.

6.- Los verbos que terminan en cer y cir, así como los grupos ce y ci de los derivados de dichos verbos. Solamente se escriben con s los verbos ser, coser (con hilo y aguja), toser, asir y sus compuestos, así como las palabras que de ellos se derivan. Ejemplos: agradecer, zurcir.

7.- Los sustantivos terminados en ción, que se derivan de palabras acabadas en to y do. Ejemplos: bendito, bendición; erudito, erudición. Hay otros sustantivos que terminan en sión, pero están relacionados con palabras que llevan s en la sílaba final.

Se esciben con S:

1.- Las palabras que al principio llevan la partícula es, seguida por b, f, g, l, m, q. Ejemplos: esbozar, esfuerzo, esgrimir, esmero, esquelético.

2.- Las palabras que terminan en sión, partícula que se escribe después de l y r, ejemplos: propulsión, inmersión. Excepciones: absorción, deserción, insersión, porción y proporción.

3.- La mayor parte de las palabras que terminan en sión se determinan a través de grupos, entre los cuales los más importantes están: misión, admisión; visión, división; presión, depresión; fusión, confusión; cisión, concisión; tensión, extensión; gresión, regresión; cesión, sucesión; prensión, comprensión; clusión, conclusión; cusión, repercusión; pensión, suspensión; hesión, cohesión; censión, ascensión; fesión, confesión, profesión, rosión, corrosión.

4.- Los sustantivos que acaban en sión, procedentes de adjetivos terminados en so, sor, sible o sivo. Ejemplos: adverso, animadversión; agresor, agresión; previsible, previsión; adhesivo, adhesión.

5.- Las terminaciones ismo, ista. Ejemplos: egoísmo, egoísta.

6.- Las terminaciones esta, esto. Ejemplos: manifiesta, dispuesto.

7.- Las terminaciones ísimo e ísima de los superlativos. Ejemplos: valentísismo, certísima.

8.- Los gentilicios terminados en ense. Ejemplos: coahuilense, hidalguense, jalisciense.

9.- La terminación sis. Ejemplos: análisis, hipótesis, ósmosis, diéresis.

Se escriben con Z:

1.- Los adjetivos terminados en az y oz, llevan z al final. Ejemplos: capaz, atroz.

2.- La mayor parte de las palabras terminadas en anza. Ejemplos: bienaventuranza, lanza, chanza. Excepciones más notables son gansa y cansa (del verbo cansar).

3.- La terminación azgo. Ejemplos: noviazgo, hallazgo.

4.- Las palabras que son aumentativos o expresan la idea de golpe, si terminan en azo, aza. Ejemplos: sablazo, manaza.

5.- Las terminaciones ez y eza de los sustantivos abstractos, que indica que es o tiene lo que señala la raíz. Ejemplos: honradez de honrado; naturaleza de natural.

6.- Las terminaciones zuelo y zuela. Ejemplos: liderzuelo, portezuela. Excepto mocosuelo.

7.- El sufijo ez de los patronímicos.Ejemplos: Hernández, López.

Con el objeto de complementar este capítulo, a continuación se apuntan una serie de palabras que llevan sc: adolescencia, ascenso, consciente, descender, discípulo, escenario, escisión, fascinar, fluorescente, irascible, oscilar, plebiscito, prescindir, susceptible y viceversa.

Usos de B, V.

USOS DE LA "b"

Se usa B: Ejemplos:

Antes de l, r. Bloque, brecha.

En los comienzos bi, bis, biz (cuando Signifiquen dos, o dos veces. Bipolar, bisnieto, biznieto.

En los comienzos bibli (cuando signifique libro) Bibliotecario.

En los comienzos bene (cuando signifique bondad) Benévolo.

Comienzos bu, bur, bus. Bueno, burdo, buscar.

Después de la sílaba CU. Encubierto, cubículo.

Después de las sílabas ha, he, hi, ho, hu. Hablar, hebilla, hibernar, hobachón, hubieron

En las terminaciones ble y bilidad. Respetable, respetabilidad.

EXCEPTO: MOVILIDAD, CIVILIDAD.

Terminaciones bundo, bunda. Moribundo, nauseabunda.

Terminaciones aba, abas, ábamos, abais, aban. Terminaba, terminabas,terminábamos, terminabais, terminaban.

Partículas ab, abs, ob, obs. Abstraer, obstrucción.

Partículas sub (cuando signifiquen por debajo o inferior) Subterráneo, Subgerente

Terminaciones bir. Subir.

EXCEPTO: HERVIR, SERVIR, VIVIR.

Terminaciones ber. Saber.

EXCEPTO: VER, VOLVER, ATREVER, RESOLVER.

Después de m. Cambio.

USOS DE "v"

Después de n, d, b. Envío, adversario, obvio.

En los comienzos eva, eve, evi, evo. Evacuar, eventual, evidenciar, evocar.

Después de las sílabas pra, pre, pri, pro. Previo, privado, provocar.

EXCEPTO: PROBAR, PROBABLE.

Comienzos villa, vice. Villano, Vicerrector o Vice-Rector.

EXCEPTO: BILLAR, BÍCEPS, BICÉFALO.

Terminaciones viro, vira, voro, vora. Reviro, carnívoro.

EXCEPTO: VÍBORA.

Adjetivos (los que nos dicen cómo es algo de lo que estamos hablando) terminados en ava, ave, avo, eva, eve, evo, iva, ivo. Cóncava, suave, nuevo.

EXCEPTO: ÁRABE.

Después de la sílaba ol. Olvidar.

HOMÓFONAS "b, v." (SON PALABRAS QUE SUENAN IGUAL PERO SE ESCRIBEN DIFERENTE, PARA ESTO, DEBERÁS FIJARTE EN SU SIGNIFICADO)

SIGNIFICADO:

ACERVO CONJUNTO DE COSAS. (EL ACERVO CULTURAL)

ACERBO CRUEL, ÁSPERO. (EL JUEZ TIENE CARÁCTER ACERBO)

BASTA DE BASTAR. (NO BASTA CON ESTA INFORMACIÓN,YA BASTA POR FAVOR!ES SUFICIENTE).

VASTA EXTENSA, AMPLIA.

BIENES DE FORTUNA

VIENES DE VENIR

COMBINO DE COMBINAR (ROPA, COLORES, ETC.)

CONVINO DE CONVENIR, (QUE TE CONVIENE O DE CONVENIO)

GRABAR UN DISCO, CASSETTE O BIEN, ESCULPIR.

GRAVAR CARGAR O IMPONER TRIBUTOS (EN CONTABILIDAD)

REBELAR CONTRA ALGUIEN, CONTRA LA AUTORIDAD.

REVELAR UNA FOTOGRAFÍA, DECIR UN SECRETO.

RECABAR CONSEGUIR (FIRMAS, ETC.)

RECAVAR VOLVER A CAVAR.

TUVO DEL VERBO TENER

TUBO CILINDRO HUECO

Reglas sobre el uso de las letras G y J

Uso de la letra g:

1.- La g tiene sonido gutural ante a, o, u y sonido de jota ante e, i. Ejemplos: gato, gorrión, gusto. Geranio, gis.

2.- Antel or va siempre g. Ejemplos: glicerina, grandiosa.

3.- La g, para que suene gutural ante e,i, lleva intercalada una u, que no suena.Y el sonido de jota, se escribe con j. Ejemplos: guedeja, guitarra. Jazmín, jefe, jirafa.

4.- En las sílabas gue, gui, cuando debe sonar la u, se pone sobre ésta la diéresis ( ¨ ). Ejemplos: güera, pingüino.

5.- En la conjugación se debe conservar (siempre que sea posible) el sonido que tenga la g en el infinitivo, debido a lo anterior, habrá ocasiones en que tenga que cambiarse por gu, por j o por g.

Ejemplos: proteger, protejo, protejas, protegeré, protegía.

Conseguir, consigo, consigas, conseguiré, conseguía.

Dirigir, dirijo, dirijas, dirigiré, dirigía.

Proseguir, prosigo, prosigas, proseguiré, proseguía.

Congregar, congrego, congregas, congregué, congregaré, congreguen.

6.- Todas las palabras que comienzan o terminan por geo (tierra), se escriben con g. Ejemplos: Geografía, perigeo.

7.- Las palabras que comienzan por legi, legis (ley), se escriben con g, Ejemplos: legítimo, legislación. Lejitos no deriva de legi, legis, sino de lejos.

8.- Las palabras que incluyen logía (de logos. tratado, estudio) Ejemplos: Biología, Paleontología.

9.- los términos que llevan g antesde m y n. Ejemplos: enigma, dignidad.

Se escriben con la letra j:

1.- Las palabras que contienen las sílabas ja, jo, ju. Ejemplos: jabón, joroba, júbilo, abeja, arrojo.

2.- Todas las formas que llevan j en el infinitivo. Ejemplos: trabajar, dejar, empujar, dibujar.

3.- Las palabras terminadas en aje .Ejemplos: lenguaje, equipaje, viaje. Excepciones: ambages, enálage e hipálage.

4.- Las palabras que comienzan por eje. Ejemplos: ejercer, ejercicio. Excepciones: Egeo y Egeria.

Uso de la LL

Terminaciones

De diminutivos illo/a, cillo/a, ecillo/a, cecillo/a

v. gr. Cuadernillo, huevecillo, royecillo, pececillo.

De los sustantivos ella, ello, illa, illo.

v. gr. Huella, destello, tortilla, rodilla, cuchillo, grillo.

Verbos

Terminación del infinitivo llar de los verbos derivados de sus sustantivos.

v. gr. Fallo - fallar, botella - embotellar, silla - ensillar, cepillo - cepillar, sello - sellar, patrulla - patrullar.

Verbos terminados en llir y sus derivados.

v. gr. Bullir - bulla, bullicio, salpullir - salpullido, tullir - tullido, zambullir - zambullido.

Uso de la Y

Al Principio

Comienzo de la sílaba yer

v. gr. yerto, yerno, yerba,

Sílabas que intervienen

Sonido vocálico al final de palabra, también sus plurales. Es decir, si ésta termina en diptongo "ay, ey, oy, uy"

v. gr. buey - bueyes, ley - leyes, rey - reyes, convoy - convoyes, mamey, voy, muy

leí, decaí (porque el acento rompe con el diptongo)

Sílaba yec

v. gr. inyección, proyectar, abyecto. Otros

Después de los prefijos ad, a, sub, dis.

v. gr. adyacente, ayuno, disyuntura, subyugar.

Palabras que no siguen regla pero se escriben con "y"

rayo, joya, ayudar, coadyuvar, yegua, playa, desmayo, yunta

Verbos

Conjugaciones verbales de cuyos infinitivos terminen en uir

v. gr. construir - construyo, disminuir - disminuyo, influir - influyeron, sustituir - sustituyeron.

En los tiempos verbales que en infinitivo no tengan ni y ni ll

v. gr. oir - oye, ir - vayamos

Uso de la H

Al principio

Prefijos griegos hidro (agua), hiper (sobre, más allá), hipo (debajo), hemi (medio), hosp (huésped), hema - hemato - hemo (sangre), hex - hexa (seis), hepta (siete), hecto (ocho), homo (igual), hetero (diferente), higr (húmedo)

v. gr. hidrofobia, hiperextenso, hipóglotis, hemisferio, hospital, hematoma, hexagenario, heptasemanal, homogéneo, heterosexual

ipo (veneno), ipomeico (ácido), ipecacuana (planta mediinal), ipil (árbol filipino), omóplato

Herb, horr, holg, hist, host. v.gr. Herbal, horror, holgazán, historia,

hostería

istmo, ostra

Herm, hern

v. gr. Hernia, hermoso, hermafrodita, hermano, hermético"

ermita, ermitaño

Sílabas que intervienen

Sílaba hu, cuando va seguida de M

v. gr. Humo, húmedo, humano, humor, humilde, humanidad, humectar, húmero

umbilical, umbral, umbría

Terminaciones

Huelo, huela precedidas de vocal

v. gr. Aldehuela, bestihuela, parihuela, judihuelo, matihuelo

Otros

Antes de los diptongos IA, IE, UE, UI, IOI, UAI

v. gr. Hiato, hielo, ahuehuete, rehuir, huelo, huevo, huelga, hueso, hiena, hiauro, hioides

Interjecciones que llevan H al final

v. gr. ¡ah!, ¡bah!, ¡uh!

Derivados de la palabra HIERBA

v. gr. Herbáceo, deshierbar, hierbajo.

Después de MO y ZA, se escribe H, si sigue vocal

v. gr. Enmohecer, moho, zaherir, zahúrda

moabita, moaré

Derivados de las palabras: hundir, Habana, hurto, hinchar, habitar, hartar,

Verbos

Presente del verbo OLER

v. gr. Huelo, huelan, huele

Verbo HABER, que se confundan con la conjunción, preposición o interjección.

v. gr. Verbo (yu he caminado), interjección (¡eh!), conjunción (e). Verbo (ella ha caminado), interjección (¡ah!), preposición (a)

I. Se puede distinguir cuando ha es verbo, si es posible poner la oración en plural y así sustituirla por han, si no se puede entonces se trata de la preposición a

II. Para saber si he es verbo, sustitúyelo por su plural hemos (conservando el mismo sentido de la oración), si no se puede, entonces es la conjunción e

III. Las palabras que forman diptongo ue llevan "h", pero hay palabras derivadas de éstas que no la llevan.

v. gr. hueco: oquedad

huérfano: orfandad, orfanatorio

hueso: óseo, osamenta, osario, osificar

huevo: óvulo, ovoide, ovalado, ovario.

Uso de la R-RR

I. La "r" cuando es inicial suena FUERTE

II. En el interior de palabra suena DEBIL; para que suene fuerte, se duplica la "r":

a) Cuando en palabras compuestas cuyo primer elemento termine en voal y el segundo empiece con "r"

v. gr. Vicerrector, contrarréplica

b) cuando está entre dos vocales

v. gr. Irremediable, irrompible, irracional.

c) nunca se duplica al principio y final, ni después de consonante.

Otros

Suena fuerte después de las letras n, l, s, b pero nunca se duplica

Antes de consonante b, s, c suena suave.

Acentuación

Sílaba TÓNICA: es aquella en donde cargamos la pronunciación, es la que lleva el acento.

ACENTO: también llamada virgulilla o tilde, es una pequeña diagonal que se escribe arriba de las vocales; nunca en las consonantes.

- Cuando se escribe: acento gráfico o tilde

- Cuando no se escribe y sólo se pronuncia: acento prosódico

- Se coloca sobre palabras que se escriben exactamente igual, sirve para distinguirlas según su significado: acento diacrítico.

1) Palabras agudas: llevan acentuada gráficamente su última sílaba (que es la tónica), sólo si ésta termina en "n, s, o vocal"

v. gr. avión, acentuación, llevó, sé, después, visión

2) Palabras graves o llanas: llevan acento gráfico en la penúltima sílaba sólo si terminan en consonante que no sea "n, s" y vocal, así como las terminadas en consonante seguida de "n, s"

v. gr. cáncer, cárcel, dólar, bíceps, fórceps

3) Palabras esdrújulas: llevan acento gráfico en su antepenúltima sílaba; no hay reglas, todas se acentúan.

v. gr. último, sábado, término, mismísima, específico.

4) Palabras sobreesdújulas: llevan acento gráfico todas las palabras que su sílaba tónica se encuentre en la anteantepenúltima sílaba.

v. gr. cáncer, cárcel, dólar, bíceps, fórceps

5) Si en un diptongo o triptongo la vocal débil (i, u) está acentuada, aquél se deshace. Entonces se pone acento gráfico sobre la vocal débil

v. gr. baúl, vacía, hastío, biología, frío, maíz.

6) Los adverbios terminados en MENTE, se acentúan del mismo modo que los adjetivos de donde se han formado.

v. gr. Inútil - inútilmente, pública - públicamente.

7) Los monosílabos no se acentúan, aunque terminen en "n, s, o vocal", aun los verbales. "

v. gr. fe, dio, tos, tras, fui, vio, pie, aun.

8) En los compuestos de palabras -ambas con acento- sólo se conservará el de la segunda palabra.

v. gr. Físico químico: fisicoquímico, décimo séptimo: decimoséptimo

9) Pero si son elementos no integrados que sólo estén separados por guión, cada uno conserva su acento.

v. gr. físico - químico, décimo - séptimo.

10) Las voces latinas no se acentúan, solo cuando se castellanizan.

v. gr. curriculum vitae - currículum vitae, sui generis - sui géneris

11) Las palabras formadas por prefijos y palabras simples, conservan el acento de la palabra simple.

v. gr. inválido, incómodo, traslúcido

12) Las vocales mayúsculas siempre se acentúan.

Punto

1. Separa oraciones dentro de un párrafo: punto y seguido (la idea siguiente tiene relación con la anterior)

2. Señala el final de un párafo: punto y aparte

3. Señala el final de un texto o escrito: punto final

4. Después de abreviaturas

v. gr. Sr., H., Cía., S.A., Pdte.

Punto y coma

Se usa para separar oraciones más o menos largas pero ligadas al pensamiento principal

v. gr. los eclesiásticos las tomaron para la religión; los médicos, para los términos técnicos.

En el pensamiento interrumpido por alguna conjunción adversativa "aunque, más, pero, sin embargo, no obstante, con todo" se escribe antes el punto y coma.

v. gr. salieron los soldados; mas no pudieron caminar.

Para separar incisos en escritos de leyes, decretos, temas técnicos.

v. gr. Entonces; a) la oxidación del Klo; b) la separación der Bro; c) la reacción del No2.

Se consideró, 1º: que no es legal; 2º que no procedía; tercero que no sería justo.

Puntos suspensivos

Suelen ser tres (...), aunque pueden ser cinco (.....)

Cuando conviene dejar incompleta la oración y el sentido en suspenso

v. gr. era una situación tan molesta que...

Para expresar incertidumbre, duda, temor

v. gr. no negaré que lo amo, pero...

Cuando se desea sorprender con una salida inesperada.

v. gr. ¿qué ha pasado desde la última vez que hemos visto a nuestro muchachito? Pues ha pasado ... el tiempo

Antes de murmurar de alguien, piénsalo 7 veces, y después de haberlo pensado... no hables.

Cuando se quiere interrumpir un periodo, por no ser necesaria su continuación

v. gr. El viento del bosque llevó su oración, que ora: "Padre nuestro, que estás en los cielos..."

Como dice el refrán "a buen entendedor..."

Cuando se copia un texto y se suprime algún pasaje innecesario, suelen escribirse entre corchetes.

v. gr. un riquísimo archivo, una inmensa biblioteca [...] donde se hallan reunidas todas las artes.

La letra mayúscula es la que, en relación con la minúscula, tiene mayor tamaño y por lo general distinta forma. Como adjetivo, indica algo mayor que lo ordinario en su especie. Coloquialmente se utiliza como sinónimo de grandísimo, enorme: «mayúsculo dilema».

En el alfabeto romano, las mayúsculas son A, B, C... Sin embargo, en el latín original solo había un conjunto de letras, que, posteriormente, se convertiría en las mayúsculas cuando se desarrollaron las minúsculas. Por lo general, se emplean como inicial de nombres propios, después de punto, etc.

Después de punto

Como norma general, después de un punto (ya sea aparte o seguido) o cualquier otro signo que sirva de conclusión de la frase u oración; por ejemplo:

• ¿Querías lentejas? Pues no, no me quedan.

• ¡Muévase hacia la izquierda! La otra izquierda...

Como norma general, después de los puntos suspensivos, va mayúscula:

• No sé si... Bueno, está bien, iré.

• Al perro le gusta correr... Es muy activo.

Si la frase u oración tras los puntos suspensivos es una continuación y no otra frase independiente, no llevará mayúscula:

• En aquel momento me sentí... feliz.

• Vete cuando quieras..., querido.

• En seguida vuelvo... , cuando estés aquí.

Títulos de obras de creación artística

Los títulos de libros, películas, canciones y otras obras de creación solo llevan mayúscula en la primera palabra y los nombres propios que pudiera haber:1

• Un mundo feliz

• Cien años de soledad

• Las cuitas del joven Werther.

• El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha.

• La Constitución.

o Votaron por una nueva modificación a la Constitución de la Nación Argentina.

Títulos de publicaciones periódicas y colecciones

En publicaciones periódicas (como diarios y revistas) y colecciones, todos los sustantivos y adjetivos que forman parte del nombre deben llevar mayúsculas:

• Página/12

• El Tiempo Online

• La Revista de Neurología dejó de publicarse.

• La revista Sociedad dejó de publicarse.

• Paidós: Filosofía para la Vida (colección de una editorial).

• Biblioteca de Grandes Autores Panameños.

Títulos de libros sagrados

En los libros sagrados cristianos, todos los sustantivos y adjetivos deben llevar mayúscula:

• la Biblia

• el Antiguo Testamento (si no fuera un texto sagrado se podría escribir: «Se ufanaba de haber leído todo el Antiguo testamento de atrás para delante»).

• el Nuevo Testamento (si no fuera un texto sagrado se podría escribir: «Aprendían el Nuevo testamento de memoria»).

• el Libro de los Jueces (si no fuera un texto sagrado se podría escribir: «Usaba las páginas del Libro de los jueces como papel para armar»).

• el Evangelio según San Lucas (si no fuera un texto sagrado se podría escribir: «El autor del Evangelio de san Lucas no fue Lucas ni fue santo»).

• la Carta a los Efesios (tanto «carta» como «efesios» son sustantivos comunes; si no fuera un texto sagrado se podría escribir: «El obtuso contenido de la Carta a los efesios originó la palabra “adefesio”»).

Títulos de congresos, cursos, seminarios

También se escriben con mayúscula los sustantivos y adjetivos que dan nombre a congresos, cursillos, cursos, seminarios, etc.:

• XV Congreso Mundial de Neonatología.

• el cursillo prematrimonial «Tras los Pasos de Santa Frígida».

o Asistimos al cursillo prematrimonial, como todas las demás parejas.

• 1.er Curso de Crítica Textual.

• II Curso de Especialización en Corrección de Estilo y Ortotipografía.

• Curso Integral de Nivelación Universitaria.

• el seminario científico La Crisis de la Religión.

• el Seminario de Antropología y Economía.

• el Seminario de Gerenciamiento de Tecnologías Biomédicas.

• el seminario Periodismo y Redes.

• el seminario Ser Universitario en la Universidad Tecnológica Nacional.

• Estudio Panorámico del «Antiguo Testamento».

• Seminario de Industrias de la Lengua.

Conferencias

• Aspectos normativos de las expresiones pluriverbales españolas.

• El método ante el problema de Dios.

• Historia de la traducción desde el siglo XVIII hasta la actualidad.

• Introducción a la interpretación de conferencias.

• Introducción a la promoción de la salud.

• La filosofía y el restablecimiento de las creencias.

• La pareja interior.

• La utilización de lenguaje científico en la astrología actual.

• La verdad y las formas jurídicas (conferencia de Foucault).

• Las dos formas de convivencia: compañía o rivalidad.

• Las novedades en la última edición de la «Ortografía de la lengua española» y otros detalles importantes para los correctores.

• Recursos avanzados para la corrección con comodines y macros.

• Recursos electrónicos para la ortotipografía de la lengua inglesa.

• Recursos electrónicos para la ortotipografía del español.

• Revisión de traducciones: mejoras potenciales para traductores a partir de errores típicos.

• Una introducción a la filosofía de Wittgenstein.

• Una introducción a la relatividad general desde el punto de vista matemático.

• El discurso «La vía chilena al socialismo» (Salvador Allende, 1971).

• La vía chilena al socialismo (discurso de Salvador Allende, publicado en 1971).

Sustantivos propios

En los sustantivos propios; por ejemplo: Luis, Colombia.

Los apellidos: Maradiaga, Milanés, Rodríguez.

Cuando un apellido empieza con una preposición, esta se escribe con minúscula cuando acompaña al nombre:

• Pedro de Mendoza

o De Mendoza, adelantado español

• Luis d’Elía

o el Sr. D’Elía

Si no aparece el nombre sino solo el apellido, la preposición debe escribirse con mayúscula:

• el presidente De la Rúa

o Fernando de la Rúa

• El código Da Vinci

o Leonardo da Vinci

Nombres de diosas y dioses:2

• Afrodita

• Alá

• Amón

• Dios (cuando se usa como nombre propio, como en «Dios, te lo pedimos por tu hijo»).

o el dios Yahvé

• Diosa (cuando se usa como nombre propio, como en «oh, Diosa, otórgame tus dones»).

• la diosa María

• Jehová

• Júpiter.

En el caso del apellido de casada de una mujer, la preposición «de» se mantiene con minúsculas:

• Nilda de Siemienczuk

o la señora de Siemienczuk

o la Siemienczuk (no «la De Siemienczuk», ni «la de Siemienczuk»).

• Cristina Fernández de Kirchner

o la señora de Kirchner

o la Kirchner (no «la De Kirchner», ni «la de Kirchner»).

Si el apellido no lleva preposición, sino solamente artículo, este se escribe siempre con mayúscula, independientemente de que se anteponga o no el nombre de pila:

• Pedro Martínez de la Rosa (1971-), piloto español de Fórmula 1.

o la Sra. de De la Rosa.

o la esposa del Sr. De la Rosa.

• Guillermo La Rosa (1954-), futbolista peruano.

o la Sra. de La Rosa.

o la esposa del señor La Rosa.

• Guillermo Larrosa (1975-), futbolista argentino.

Los nombres de las dinastías derivados de un apellido se deben escribir con mayúsculas:

• los Habsburgo, los Saboya, los Tudor, los Borbones;

• la familia Kennedy.3

Cuando se utilizan como adjetivos, se deben escribir con minúscula:

• los reyes borbones, los reyes borgias.

Cuando los nombres y apellidos de un autor designan alguna de sus obras, deben mantener la mayúscula:

• Tenía el palacio lleno de pinturas famosas: en el salón vimos un Miró, un De Chirico y un Juan Gris.

Marcas comerciales

Las marcas son sustantivos propios, por lo que deben escribirse con mayúscula:

• Tanto el Cinzano como el Martini me hacen medio mal.

• Tiene un Mercedes.

Cuando no se utilizan específicamente para referirse a un producto perteneciente a una marca comercial, deben ir con minúsculas:

• Se tomó como diez martinis de marca irrecordable.

• Me corté con la yilé (de la marca Gillette de hojas de afeitar).

• Me cubrí la herida con una curita (de la marca Curitas de apósitos).

• Una aspirina sería demasiado para ella, entonces tomó una sola aspirineta (de las marcas Aspirina y Aspirinetas).

• En Chile le decían «confor» o «cónfor» al papel higiénico (de la marca Confort).

• En Perú al dentífrico le decían «colgate» (de la marca Colgate, que en inglés se pronuncia [kólgueit]).

Celebraciones o festividades

Los nombres de celebraciones civiles o religiosas:

• Año Nuevo

• Corpus

• Día de la Constitución

• Día del Polo Sur (el 14 de diciembre); cuando no forma parte de una efeméride, «polo sur» lleva minúsculas.

• Día del Trabajador

• Epifanía

• Feria de Abril (si no fuera una festividad, el mes debería ir con minúscula, como todos los meses).

• Navidad

• Pentecostés

• Primero de Mayo (si no fuera una festividad, el mes debería ir con minúscula, como todos los meses).

Historia

Los nombres de edades y épocas históricas, cómputos cronológicos, acontecimientos históricos y movimientos religiosos, políticos o culturales:4

• la Antigüedad

• el Cisma de Occidente

• la Contrarreforma

• la Edad de los Metales

• la Edad de Piedra

• la Edad Media

• la Edad Moderna

• el Medioevo

• el Genocidio armenio

• la Hégira

• el Holocausto

• la Ilustración

• la Primera Guerra Mundial, la Segunda Guerra Mundial, la Tercera Guerra Mundial

• el Renacimiento

• la Revolución de los Claveles, la Revolución de los Jazmines, la Revolución universitaria, la Revolución soviética

o la revolución socialista (que no es un hecho histórico ―ya que no se refiere específicamente a la Revolución rusa― sino que se refiere a un tipo de revolución en general).

Escuelas, doctrinas, filosofías, movimientos artísticos

• anarquismo.

• clasicismo.5

• comunismo.

• cubismo.6

• escuela austríaca de economía (no es una institución sino una doctrina).

• escuela de Platón (no es una institución sino una doctrina).

• fascismo.

• keynesianismo

• marxismo.7

• marxismo-leninismo.

• modernismo.

• monetarismo

• nazismo.

• neorrealismo italiano.8

• panafricanismo.

• panarabismo.

• socialismo democrático.

• socialdemocracia, socialdemócrata.

Religiones

Las religiones, en cambio, van con minúsculas:

• budismo

• cristianismo

• hinduismo

• islamismo

o islam (únicamente cuando se toma el islam como un ente histórico-político, podría llevar mayúsculas: «La dinastía sasánida estuvo al frente de los destinos de Persia durante los últimos siglos anteriores al Islam»).9

• testigos de Jehová

o los jehovaístas

• fe bahái

o los baháis

Eras geológicas

Se escriben con mayúscula los sustantivos que dan nombre a eras y períodos geológicos:

• el Cuaternario

• el Mioceno

• el Neolítico

• el Pleistoceno

• el Jurásico.

El adjetivo especificador que acompaña a los sustantivos «Revolución» e «Imperio» se escribe con minúscula:

• la Revolución francesa, la Revolución tunecina

• el Imperio británico, el Imperio maratha, el Imperio mogol, el Imperio romano, el Imperio sij.

En cambio otros sustantivos similares, como califato, clan, dinastía, van siempre con minúsculas:

• el califato de Córdoba10 , el califato de Damasco11

• la dinastía abasí,11 la dinastía austriaca12

• los abasíes,3 los alauíes,3 los nazaríes,3

• la XVIII dinastía egipcia,13 la 18.ª [decimooctava] dinastía13

• la dinastía de los Habsburgo,14 la dinastía de Saboya,15 la dinastía Habsburgo-Borbón,16 la dinastía Ming.3

Topónimos

Llevan mayúscula los sustantivos y adjetivos que forman parte del nombre de zonas geográficas, que generalmente abarcan distintos países, pero que se conciben como áreas geopolíticas con características comunes:

• América Latina, América Anglosajona

• la Antártica (como se utiliza en Chile) o la Antártida

• el Cono Sur

• el Magreb

• Hispanoamérica

• Latinoamérica

• Occidente, Oriente, Oriente Medio (nunca «Medio Oriente», que significaría ‘la mitad del este de Asia’).

Se deben escribir con minúscula los sustantivos comunes que acompañan a los nombres propios geográficos (arroyo, cabo, ciudad, cordillera, estrecho, golfo, isla, mar, océano, península, río, sierra, etc.):

• el cabo de Hornos.

• la bahía de las Ballenas

• la bahía de Samborombón

• la ciudad de Buenos Aires (ya que no es usual la frase: «Voy a Ciudad de Buenos Aires» sin artículo). Cuando se la nombra en documentos oficiales, se escribe con mayúscula: «En la Ciudad de Buenos Aires...», etc.

o pero: Ciudad Evita (ya que es usual la frase: «Voy a Ciudad Evita» sin artículo).

• la ciudad de Panamá (ya que no es usual la frase: «Voy a Ciudad de Panamá» sin artículo).

• la ciudad de México (ya que no es usual la frase: «Voy a Ciudad de México» sin artículo).

o pero: Ciudad Juárez (ya que es usual la frase: «Voy a Ciudad Juárez» sin artículo).

• el continente antártico (por ser un mero nombre descriptivo).

• la cordillera de los Andes

o la cordillera andina (por ser un mero nombre descriptivo; el nombre común es «cordillera de los Andes»).

• el glaciar Perito Moreno

• el golfo Pérsico

• el mar de Amundsen

• el mar Muerto

• la meseta Antártica

• los montes Transantárticos

• el océano Atlántico

• el océano Índico

• la península Antártica, la península Arábiga, la península Helénica, la península Ibérica

o la Península Ibérica (en este caso, la RAE propone escribir ambos términos con mayúsculas, debido a que se refiere a una entidad de carácter histórico-político, y no a un mero accidente geográfico)17

o la península arábiga (según la RAE),18

• la península de Kamchatka

• la península de Valdés

• la plataforma de hielo de Ross

• la provincia de Buenos Aires (aunque el nombre oficial sea «Provincia de Buenos Aires», que utiliza mayúsculas legales). Lleva mayúsculas cuando forma parte del nombre de una institución: «En la sede de la Policía de la Provincia de Buenos Aires».19

• el río Ebro («río» no forma parte del nombre propio, ya que se puede decir: «Hoy me bañé en el Ebro»).

• el Río Negro (porque «río» forma parte del nombre propio, ya que no se puede decir: «Hoy me bañé en el Negro»).

o la provincia de Río Negro (aunque el nombre oficial sea «Provincia de Río Negro», que utiliza mayúsculas legales). Lleva mayúsculas cuando forma parte del nombre de una institución: «Sitio web del Poder Judicial de la Provincia de Río Negro».

• el río Paraná

• la sierra de Gredos

En cambio si el sustantivo genérico forma parte del nombre propio, se deberá escribir con mayúscula inicial:

• Ciudad del Vaticano

• Ciudad Evita

• Ciudad Hidalgo (Chiapas).

• Ciudad Hidalgo (Michoacán).

• Ciudad Juárez (por ejemplo, «voy a Ciudad Juárez»; en cambio «voy a la ciudad de Buenos Aires»).

• el Río de la Plata (no se puede decir: «Me bañé en el de la Plata»).

o pero: «el río Paraná» (ya que se puede decir: «Me bañé en el Paraná»).

• la Sierra Nevada

• la Sierra Maestra

• la Sierra de los Comechingones

• los Picos de Europa.

• la Península Ibérica (con mayúsculas porque se refiere a una entidad de carácter histórico-político, y no a un mero accidente geográfico).20

o pero: «la península arábiga» (con minúsculas porque se refiere a un mero accidente geográfico y no a una entidad de carácter histórico-político).21 22

Llevan minúsculas los puntos y las líneas imaginarias:

• el ecuador

• el meridiano de Greenwich

• el trópico de Capricornio

• el círculo polar antártico

• el polo antártico, polo austral, polo ártico, polo boreal, polo norte, polo norte magnético, polo sur

o el polo antártico, polo austral, polo ártico, polo boreal, polo norte,

Instituciones

Llevan mayúscula los sustantivos y adjetivos que componen el nombre de los departamentos dentro de una institución, divisiones administrativas, edificios, entidades, establecimientos públicos, instituciones, monumentos, organismos, partidos políticos:

• el Área de Gestión Administrativa

• el Café de los Artistas (la palabra «café» forma parte del nombre propio).

• el café Paulista

• el Departamento de Recursos Humanos

• el Instituto de Radiología de Córdoba

• el Ministerio de Hacienda

• el Monumento a la Bandera

• el Museo de Bellas Artes

• el Partido Demócrata

• el teatro Cervantes

• el Teatro del Arte

• el Teatro Real

• el Teatro alla Scala

• la Scala de Milán

• la Facultad de Medicina

• la Real Academia de la Historia

• la Torre de Pisa

• la Universidad Nacional de Costa Rica

También se escribe con mayúscula el término que en el uso corriente nombra de manera abreviada una determinada institución o edificio:

• la Nacional (por la Biblioteca Nacional).

• el San Martín (por el teatro San Martín).

• la Autónoma (por la Universidad Autónoma).

• el Real (por el Teatro Real).

Ciencias académicas

Los sustantivos y adjetivos que forman el nombre de disciplinas científicas, cuando son mencionadas como materias de estudio, y especialmente en contextos curriculares o académicos (nombres de asignaturas, cátedras, facultades, etc.):

• Estudió Diseño Industrial.

• Es graduado en Relaciones Públicas.

• Soy licenciada en Filología Inglesa.

• Me matriculé en Comunicación Audiovisual.

• Mi mejor profesora fue la de Cálculo Numérico.

• Traducción e Interpretación.

• Filología Hispánica.

• Estudios Ingleses.

• Diseño Gráfico.

• Periodismo.

• Publicidad.

Fuera de los contextos antes señalados, se utiliza la minúscula:24

• La medicina alternativa no experimenta ningún avance real.

• La psicología infantil era más bien subvaluada.

• La diferencia de enfoque entre el cálculo numérico y el álgebra.

• La biología es una disciplina muy relevante.

• Los expertos en diseño industrial quedaron encantados.

Las asignaturas académicas que no constituyen la denominación de una disciplina científica deben ir con minúscula (solo la primera palabra se escribe con mayúscula), como si se tratase del título de un libro o de una conferencia:

• El mercado laboral de la interpretación profesional en España.

• Historia de los sistemas filosóficos.

• Introducción a la composición musical.

• Me anoté en «Introducción a la composición».

Astros

Los nombres de galaxias, constelaciones, estrellas, planetas y satélites:

• la Vía Láctea

• la Osa Mayor,

• la Estrella Polar

• Venus

• el Sol

• la Tierra

• la Luna

• Ganimedes

Números romanos

Generalmente la numeración romana se escribe en mayúscula:

• Enrique VIII

• Juan Pablo II.

Títulos de dignidad

Los títulos y cargos van con minúscula:

• don («Vino un tal don Juan»).

• san (san Jacob, san Yago, santo Iago, apóstol Sant'iago).

• santo (rezo al santo Rosario).

o Santo lleva mayúscula si se usa como nombre propio: «Todopoderoso, dame tus dones; Santo, danos la paz»

• redentor (el Cristo redentor).

• monseñor («querido monseñor, conduzca la boda» o «Fue perpetrado por monseñor Storni»).

• señor («Acérquese, por favor, señor López»).

o Sr. («Acérquese, por favor, Sr. López»).

o Señor lleva mayúscula cuando se utiliza como nombre propio («Oh, Señor, no soy digno de que entres»).

Algunas personas pretenden que algunos cargos, títulos o nombres de dignidad lleven mayúscula cuando se refieren a una persona concreta, sin mencionar expresamente su nombre propio:25 Sin embargo, no se recomienda el uso de esta mayúscula de dignidad, ya que es difícil discriminar desde qué cargo merece esa dignidad:

• presidente (como «el jefe»).

o La actual Presidenta vino en marzo.

• El papa vino en marzo (parecido a «el jefe vino en marzo»).

o El Papa vino en marzo.

• El rey Juan Carlos vino en marzo.

• El rey vino en marzo (parecido a «el jefe vino en marzo»).

o El Rey vino en marzo.

• La cacica vino en marzo.

o La Cacica vino en marzo.

• El jeque vino en marzo.

o El Jeque vino en marzo.

• La modista vino en marzo.

o La Modista vino en marzo.

Los puestos van con minúsculas, pero las instituciones van con mayúscula:

• Fue nombrada secretaria general de las Naciones Unidas.

• La directora gerente del Fondo Monetario Internacional.

• La presidenta de la República, Isabel Perón.

• La conserje no vendrá.

• La jefa Pérez tiene todo el poder.

• Susana es un miembro importante.26

• Susana es una miembro importante.26

• La nombraron oficial de policía.

• Fue la primera oficial de policía.

• La vigilante lo encarceló.27

• Gandhi fue nombrada primera ministra de la India.

• La Iglesia católica está renegando gradualmente del machismo, por lo que pronto ordenarán sacerdotisas.

• Debido al machismo, en la Iglesia católica nunca permitirán obispas, y, menos, arzobispas.

• Lo mencionó la cardenalesa primada de la Nación.

• Se avecinan los tiempos en que la Iglesia permitirá que las mujeres lleguen a papisas.

• La princesa de Mónaco, la princesa Ana, la princesa volvió al ruedo.

• La médica lo atendió prestamente.

• La profesora cobraba sueldo como música oficial de la corte.

Tilde

Las normas ortográficas del español obligan a poner tilde a las letras mayúsculas con las mismas normas que las minúsculas, aun cuando no se emplearon durante mucho tiempo debido a problemas tipográficos (no existían los caracteres en mayúscula con acentos).

Siglas y acrónimos

Cuando las siglas tienen cuatro letras o menos, se deben escribir completamente en mayúsculas:

• CIA (Agencia Central de Inteligencia, de los Estados Unidos), a pesar de que se pronuncia /cía/ (y no /ce i á/) no debe llevar tilde, porque es una sigla de menos de cuatro letras.

o No se debe escribir Cía., que es la abreviatura de «compañía».

• INEI (Instituto Nacional de Estadística e Informática), se pronuncia /inéi/ (y no /i ene e i/).

• OTAN, que en Latinoamérica se pronuncia /otán/ y en España /ótan/.

Cuando los acrónimos son sustantivos propios y tienen más de cuatro letras, solo se escribe en mayúscula la inicial:

• Ansés, que lleva tilde por ser palabra aguda terminada en n o s.

o En cambio si se escribiera ANSES no deberá llevar tilde y se deberá pronunciar /a ene ese e ese/.

• Náscar (National Association for Stock Car Auto Racing: Asociación Nacional de Carreras de Automóviles de Serie), pronunciado /náskar/.

o En cambio si se escribiera NASCAR no deberá llevar tilde y se deberá pronunciar /ene a ese ce a ere/ (muy inusual).

• Unicef

• Unesco (United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization: Organización de Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura).

Cuando los acrónimos son sustantivos comunes y tienen más de cuatro letras, se deben escribir enteramente con minúsculas:

• láser (que lleva tilde por ser palabra grave terminada en consonante).

• ovni.

• púlsar.

• radar.

• sida.

Dígrafos

En español o castellano, cuando una palabra empieza por las letras ch, gu, ll o qu, solo se escribe en mayúscula la primera letra: Chaurasia, Guernica, Lloyd, Quevedo; esto ya era así cuando la c, la ch, la l y la ll se alfabetizaban de manera separada.

Cuando estos dígrafos integran una sigla, solo se debe escribir con mayúscula el primero de sus componentes:

• RPCh (República Popular China).

Uso de las mayúsculas en otros idiomas

En idiomas como el alemán, todos los sustantivos empiezan por mayúscula. En los idiomas que tienen dígrafos (como IJ en holandés), cuando estos deben escribirse en mayúscula a menudo se escriben así las dos letras que los forman, y no solo la primera (caso de IJsselmeer).

En inglés habitualmente se escriben con mayúscula inicial todas las palabras importantes de un título:

• Brave New World,

• One Hundred Years of Solitude,

• The Sorrows of Young Werther.

MATEMATICAS

números reales

Representación geométrica de los números reales

A los números reales se les suele representar (o ubicar) en un eje, es decir, en una recta en la cual hay

un punto fijo 0 llamado origen, una unidad de longitud convencional y un sentido.

Si a partir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremos

una sucesión de puntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1; 2; 3; : : :; (estos

puntos representan a los números naturales).

0 1 2 3

Los simétricos de estos puntos con respecto al origen, es decir, los puntos que se obtienen al marcar

repetidamente la unidad de longitud en el sentido contrario al del eje, representan a los números

negativos.

3 -2 -1 0 1 2 3

Número complejo

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

• Producto por escalar

• Multiplicación

• Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta

• División

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que .

[editar] Cuerpo de los números complejos

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

[editar] Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

[editar] Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

[editar] Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

[editar] Argumento

El argumento principal o fase de un número complejo genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente expresión:

donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

O también: Siendo:

la función signo.

[editar] Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

1.3 Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.

• Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).

• Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...

• Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.

• Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

2. Productos notables y factorización

on aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término.

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes.

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término.

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia de un binomio. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene una tercera representación:

El coeficiente de en el desarrollo de es

donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

(2)

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3)

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

[editar] Coeficiente binomial

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como de forma sencilla:

[editar] Historia

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bien por integración.

El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.

Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fue introducido por Michel Stifer en el siglo XVI.

teorema del residuo

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).

Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:

f(x) = (x-2)(x+3) + 4

Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).

El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:

f(x) = (x-1)(x+2)

Como se muestra, (x-1) es un factor.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

Por ejemplo: Simplificar

Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,

Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

Por ejemplo: Simplificar

Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo.

En este caso el método adecuado es sacar factor común así

Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes

2.

3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador

4. , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.

5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplifica:

Suma y resta de fracciones algebraicas

Opera:

El m.c.m. de los denominadores es

Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto de fracciones algebraicas

Opera:

Multiplicamos numeradores y denominadores, pero lo dejamos indicado:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:

Cociente de fracciones algebraicas

Opera:

Hacemos el producto cruzado, dejándolo indicado:

Simplificamos:

Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:

Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad

Llamamos expresión algebraica a toda combinación de variables y números relacionados por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

Varias expresiones numéricas o algebraicas relacionadas entre sí con el signo igual ( = ) le llamaremos igualdad.

Algunas igualdades podrían ser:

a. 42-32=12

b. 7.103=7000

c. (a+b)2=a2+2ab+b2

d. x+(1/7).x=24

Estas igualdades no tienen el mismo carácter. Para empezar, las igualdades pueden ser ciertas o falsas: la igualdad numérica a) es falsa, pero la b) es cierta. La igualdad algebraica c) es cierta para cualesquiera valores de a y b; sin embargo, la igualdad d) es cierta (decimos que se verifica) para x=21 y para cualquier otro valor de x es falsa.

Por tanto hay igualdades de dos tipos:

1. Identidades:

Son igualdades que se verifican siempre, tanto si son numéricas o algebraicas. Por ejemplo,

3-2-1=0

que es una identidad numérica y

(a-b).(a+b)=a2-b2

que es una identidad algebraica.

2. Ecuaciones:

Son igualdades que se verifican para algunos valores determinados de las letras. Por ejemplo:

es una ecuación que se verifica para x=2 y x=-1. Por otra parte, la ecuación:

se verifica para una infinidad de parejas de números: x=3 , y=2 ; x=4 , y=3 ; x=10 , y=9 ; etc.

Algunos conceptos usuales al tratar ecuaciones son:

• Soluciones o raíces de la ecuación:

Son los valores numéricos que verifica una ecuación, es decir, los que al ser sustituidos en las letras convierten a la ecuación en una igualdad.

• Resolver una ecuación

Es encontrar la solución de la misma.

Ecuación de primer grado simple

Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.

Recuerda:

Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.

Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado.1 2 Es decir que la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.

na ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

,

y

constituyen las dos soluciones.

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]

1. Completa. Es la forma canónica:

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.

Una ecuación cuadrática incompleta:

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.

[editar] Deducción para resolver la ecuación de la forma

La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente líder, de forma que

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que y la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

Transponiendo n

Sumando a ambos términos

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Transponiendo y simplificando la fraccion de la raíz

Simplficando a común denominador

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

La resolución de problemas algebraicos se basa en el concepto de ecuaciones equivalentes. Esta idea tiene particular aplicación en el caso de las ecuaciones lineales o de primer grado en las que sólo existe una incógnita (normalmente denotada por x), siempre en el numerador de los términos y elevada al grado 1. Un ejemplo de ecuación de primer grado, con una incógnita sería 3x + 5 = 4  (1 - x) ++ 2x.

Para resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se emplea un procedimiento genérico que se ilustra en el ejemplo adjunto:

Sea la ecuación:

Para resolverla se aplican los siguientes pasos:

• 1. Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que aparezcan (en el ejemplo, sería 12). Entonces, se obtiene: 9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x

• 2. Se eliminan los paréntesis, con lo que queda: 9x + 48 = 48 - 48x + 16x

• 3. Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un miembro y los que no la tengan en el otro: 9x + 48x - 16x = 48 - 48

• 4. Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias: 41x = 0

• 5. Se despeja la incógnita: x = 0

• 6. Se comprueba la solución sustituyéndola por la incógnita en la ecuación inicial.

Inecuaciones

Paralelamente a los conceptos de igualdad y ecuación pueden definirse los de desigualdad e inecuación. Una desigualdad resulta de la comparación entre dos expresiones algebraicas separadas por los símbolos menor (<), mayor (>), menor o igual () o mayor o igual (). El resultado de esta desigualdad es una inecuación.

Resolver una inecuación es hallar el valor o conjunto de valores (raíces) que la verifican, de manera que distintas inecuaciones con iguales soluciones se dicen equivalentes. Un ejemplo de inecuación podría ser 3x + 5  4  (1 - x) + 2x.

Propiedades de las desigualdades

Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades de las desigualdades:

• Cuando se suma o resta un mismo término en ambos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente.

• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por un número o cantidad positivos, la inecuación resultante es equivalente; si este número o cantidad son negativos, la inecuación resultante es también equivalente, pero ha de invertirse el signo de la desigualdad.

Estas propiedades se utilizan, al igual que en las ecuaciones, para transponer términos y obtener las raíces o soluciones.

• Incógnitas de una ecuación:

Son las letras que aparecen en una ecuación y deben ser calculadas como valores que cumplen la ecuación.

5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

Antes de afrontar las formas de resolver un sistema de ecuaciones vamos a ver algunos términos y conceptos, que si bien son comunes a todas las ecuaciones y sistemas de ecuaciones, conviene recordarlos antes.

[editar] En una ecuación

Artículo principal: Ecuación

Una ecuación es una expresión matemática en la que hay dos partes equivalentes, separadas con un signo igual (=). Cada una de estas partes es un miembro de la ecuación; naturalmente una ecuación está formada por dos miembros separados por el signo igual.

En cada uno de los miembros hay uno o más términos. Un término es una parte de la expresión relacionada término de una ecuación puede ser un monomio o una expresión transcendente.

Dada la ecuación:

tenemos:

la parte de la izquierda del igual (=) se llama primer miembro y la parte de la derecha, segundo miembro. En el ejemplo, el primer miembro es:

que tiene cuatro términos

y el segundo:

con dos términos

• Si en uno de los términos hay una función trascendente, la ecuación es trascendente.

• Si no es transcendente, el grado de la ecuación es el grado del término de mayor grado.

Una ecuación puede tener una o más incógnitas.

[editar] Ecuación lineal

Artículo principal: Ecuación lineal

En una ecuación lineal cada término está formado por un coeficiente y una incógnita, no elevada a ninguna potencia (con potencia 1, pero no se pone), y términos que no tienen incógnita. Los términos con incógnita se llaman término en..., esa incógnita; los términos que no tienen incógnita se llaman términos independientes. En la ecuación:

donde el término en x es:

los términos en y son:

el término en z es:

y los términos independientes:

Un término se puede pasar de un miembro a otro cambiándolo de signo. Así, en el ejemplo:

podemos pasar todos los términos con incógnitas al primer miembro y los independientes al segundo:

el orden de los términos dentro de cada miembro no modifica la ecuación, por lo que podemos reordenar los términos del siguiente modo:

también se pueden sacar factores comunes si distintos términos los tienen:

y se pueden realizar las operaciones aritméticas que simplifiquen la expresión

La forma normal de representar una ecuación lineal es con todos los términos con incógnitas en el primer miembro y el término independiente en el segundo. Los monomios se simplifican de modo que cada término esté formado por un solo coeficiente y una incógnita; todas las ecuaciones lineales pueden expresarse de esta forma.

Para finalizar esta sección podemos decir que si una ecuación se multiplica por un escalar, la ecuación no varia, así la ecuación:

multiplicada por el número 3, por ejemplo:

haciendo la operación:

dando lugar a una ecuación equivalente a la primera. Del mismo modo si todos los coeficientes de la ecuación tienen un divisor común, se puede simplificar sin variar la corrección de la ecuación, por ejemplo:

Todos los coeficientes tienen al cinco por divisor:

que simplificamos:

Esta simplificación no modifica el sentido de la ecuación.

Partiendo de un sistema lineal compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Si el sistema anterior es compatible y determinado, entonces resolver el sistema consiste en encontrar los valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente.

Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.

Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Si el sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen a una solución del sistema.

Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones necesarias.

Aquí veremos la Regla de Cramer en su forma para dos ecuaciones con dos incógnitas, como complemento a las formas básicas de resolución.

[editar] Método de reducción

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.

tenemos como ejemplo el sistema:

En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:

como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:

despejando la y, tenemos:

que haciendo la operación da:

Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones, por ejemplo la primera:

despejando x, tenemos:

que realizando la operación da como resultado:

el resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:

En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra ecuación. Podemos resolver el mismo sistema, pero esta vez eliminando la y:

vemos que el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1 y el de la segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la cambiamos de signo, tendremos:

con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:

así tenemos una ecuación con una incógnita:

despejando la x:

el valor de x que obtenemos es:

para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de las ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:

que despejando la y tendremos:

con lo que tenemos:

Como puede verse en el ejemplo resuelto, el método de reducción consiste en operar el sistema de modo que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero cambiado de signo; al sumar las dos ecuaciones el sistema se reduce a una ecuación con una incógnita que despejamos. Con este valor sustituido en una de las ecuaciones iniciales calculamos la segunda incógnita. Es indistinto que se haga con la x o con la y, en los dos casos obtendremos el mismo resultado.

[editar] Método de igualación

El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cómo se resuelve por igualación:

despejamos en las dos ecuaciones una de las incógnitas, por ejemplo la x:

el valor de x ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:

Pasando todos los términos con y a un miembro de la ecuación, y los términos independientes al otro:

Operando tenemos:

Con lo que tenemos el valor de y. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y despejada la x, tenemos que si:

Resulta que x vale:

la solución del sistema es:

Como puede verse, el método de resolución del sistema de ecuaciones no afecta al resultado, porque todos ellos nos llevan a la solución. Veamos qué pasaría si en este mismo sistema, en vez de despejar la x para después igualar, hubiéramos despejado la y:

la y vale lo mismo en una ecuación que en la otra, por lo que podemos igualar:

operando:

con lo que ya tenemos el valor de x, sustituyendo este valor en la primera ecuación despejada la y tenemos:

luego y valdrá:

Si en lugar de en la primera ecuación lo hiciésemos en la segunda el resultado sería el mismo:

que resultaría:

Como puede verse, podemos resolver el sistema independientemente de qué incógnita despejemos primero o en qué ecuación sustituyamos después su valor, por lo que podemos hacerlo del modo que nos resulte más cómodo, según los coeficientes que tengan las incógnitas.

[editar] Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.

Empleando el mismo ejemplo de sistema veamos cómo se resolvería por el método de sustitución:

podemos despejar cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. Probemos primero despejando la x de la primera ecuación:

si ahora sustituimos el valor de x despejado de la primera ecuación en la segunda, tenemos:

resultando una sola ecuación en y, que podemos resolver:

con lo que ya tenemos el valor de y. Con este valor de y en la primera ecuación, despejamos la x:

que resulta:

la solución del sistema es, por tanto:

Naturalmente habríamos llegado a la misma solución, despejando tanto la x como la y en cualquiera de las dos ecuaciones y sustituyéndola en la otra ecuación.

Veamos cuál sería el resultado si despejáramos la y de la segunda ecuación:

si ahora sustituimos el valor despejado de y de la segunda ecuación en la primera:

resultando una sola ecuación de primer grado con la incógnita x, que resolvemos así:

con lo que tenemos el valor de x. Para calcular y sustituimos este valor en la segunda ecuación despejada en y:

con lo que tenemos:

Con lo que obtenemos el mismo resultado: el sistema solo tiene una solución y todos los caminos nos llevan e ella, porque el método de resolución no afecta el resultado, sólo a las operaciones que hay que hacer para encontrarla.

[editar] Regla de Cramer

La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el calculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo.

Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.

El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su calculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.

Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas.

Así si partimos del sistema:

Tendremos que las incógnitas valdrán:

Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x:

y para el calculo de la y:

Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes de las incógnitas vale cero:

el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado si este determinante es distinto de cero.

Como ejemplo vamos a resolver el sistema:

Calculamos primero la x:

y ahora calculamos la y:

Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:

La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en sí misma, sino que forma parte de la resolución de un problema, teórico o práctico. Veamos como, partiendo de un problema expresado de modo textual, podemos transcribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.

El problema es:

En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay?

Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:

1. Cuáles son las incógnitas.

2. Qué relación hay entre ellas.

En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número de patos. Llamaremos x al número de conejos e y al número de patos:

Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:

Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52:

La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos ecuaciones:

Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos que clase de sistema es, y si admite solución o no, podemos ver que:

Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única solución y podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.

Todos los coeficientes de la segunda ecuación son pares y por tanto divisibles por dos:

Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:

sumamos las dos ecuaciones:

Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos:

con lo que ya tenemos la solución del problema:

Podemos comprobar estos resultados en el enunciado del problema para comprobar que son correctos.

En resumen: partiendo de un problema en forma de texto, hemos identificado las incógnitas y hemos establecido las relaciones que hay entre ellas, dando lugar a un sistema que tiene tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Resuelto el sistema, tenemos la solución, que podemos comprobar que es correcta en el texto original.

Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.Método de doble sustitución

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:

Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:

Sustituimos los dos valores obtenidos en

6.1 Dominio, contra dominio y regla de correspondencia

Función matemática

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

que cumple con las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,

Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Dominio El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:

Recorrido o codominio El recorrido o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota o bien

Rango El rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota o bien y está definida por:

Ejemplos

La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda: La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda: La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4).

Implícitas y explícitas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abcisa , entonces .

[editar] Función creciente en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

[editar] Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

Una función es estrictamente decreciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente decreciente en el punto de abcisa , entonces .

Función decreciente en un intervalo

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.

El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

[editar] Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función

si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple:

Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo si y sólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

[editar] Continuidad lateral

Una función es continua por la izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.

Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

[editar] Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

[editar] Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

[editar] Algunas funciones continuas importantes

Funciones seno y coseno.

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

[editar] Funciones definidas por intervalos

Artículo principal: Función definida a trozos

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

• La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

• Otras funciones definidas por intervalos son:

Función escalón unitario

Función signo

[editar] Función racional

Artículo principal: Función racional

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

[editar] Teoremas sobre funciones continuas

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en entonces presenta máximos y mínimos absolutos.

2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en y y , entonces tal que

3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en y entonces tal que

[editar] Derivada y continuidad

Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidad es una condiciòn necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.

[Mostrar] Demostración

Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1).Sobre estro consultar con Spivak en su Calculus.

[editar] Clase de continuidad

Una función , se dice:

• de clase si está definida en todo el dominio junto con sus derivadas hasta orden y todas ellas son continuas.

• Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de clase .

• Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo es analítica.

• Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase .

• Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase .

[editar] Funciones continuas en espacios topológicos

Sean e dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si:

es un abierto de , cualquiera que sea el abierto de . Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.

Con la misma notación, si , diremos que es continua en cuando se obtiene que es un entorno de , cualquiera que sea el entorno de .

Es "inmediato" entonces comprobar que es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Algebra de funciones

Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplos para discusión:

1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas.

2) Sea:

Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?

Composición de funciones

Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:

donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:

Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.

Notas:

1) El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f.

2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida.

Ejercicio de práctica: Halla: f(g(x)), g(f(x)) y el dominio de cada composición si:

7.1 Trigonometría básica

Medida de un ángulo (conversión de grados a radianes y de radianes a grados)

Sistema Cíclico

Este sistema se forma y define de la manera siguiente: en una circunferencia cualquiera se señala un arco de longitud igual al radio de la circunferencia y se trazan los radios correspondientes a cada extremo del arco; el àngulo central que forman estos dos radios se llama radián; el radián se divide decimalmente, es decir, en décimos, centésimos, milésimos, etc. Así,

El radian es el ángulo central subtendido por un arco igual

a la longitud del radio del círculo

Conversión de medidas de ángulos

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco de igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y equivale a 57.296º.

Como puedes observar, en 360° caben exactamente:

6 radianes completos + 0.283 de radian, es decir: 6.283 radianes:

El uso de radianes en vez de grados ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre ; y se simplifica. Es decir:

Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes

Grados Radianes

Razones trigonométricas

Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un

triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el

coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.

Como todos los triángulos rectángulos que tienen igual medida de _ A son

semejantes, el valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida de

_ A. No depende del tamaño del triángulo.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos. En este curso se abordan únicamente los triángulos rectángulos.

También veremos como resolver triángulos no rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos.

El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.

Ley de los Senos y Ley de los Cosenos

Ley de los senos

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

La ley de los Senos dice así:

donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:

Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.

Resolución de triángulos por la ley de los Senos

Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).

*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver.

En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.

Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.

Supóngamos que te ponen el siguiente problema:

Resolver el triángulo siguiente:

Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5.

Lo que tenemos entónces es lo siguiente:

A = 5

B = ?

C = ?

a = 43°

b = 27°

c = ?

El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:

c = 180° - a - b

Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.

Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:

c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°

c= 110°

Ya tenemos entónces los tres ángulos a, b y c.

Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:

sustituyendo queda:

Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:

haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):

y calculamos ésta expresión:

3.32838 = B

y esto es lo que vale B.

Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:

(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)

Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):

hacemos las operaciones y queda:

6.88925 = C

y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.

Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:

o escrito ya sin el término de en medio:

igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):

y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes.

4. Ley del coseno

La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

La ley del Coseno dice así:

y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entónces dice así:

donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:

Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.

Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos:

Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos.

Resolución de triángulos por la ley del Coseno

Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).

*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver.

En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.

Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos.

Supóngamos que te ponen el siguiente problema:

Resolver el triángulo siguiente:

llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b.

Lo que tenemos entónces es lo siguiente:

A = ?

B = 9

C = 12

a = 25°

b = ?

c = ?

Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:

realizando las operaciones queda:

A = 5.4071

Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, :

Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda:

Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad:

de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue:

invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-:

luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado.

y así es más rápido.)

haciendo las operaciones nos queda:

inviértelo para que quede bien escrito:

sen (b) = 0.7034297712

y saca la función inversa del seno (el arcoseno):

b = sen-1 (0.7034297712)

b = 44. 703 = 44° 42'

El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:

c = 180° - a - b

Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.

Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:

c = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17'

c= 110°17'

y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.

5. Funciones Trigonométricas

Función Seno:

La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:

Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:

el seno del ángulo alpha será:

Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:

cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en inglés la función seno se escribe "sin"):

para este caso, el resultado da: 53.13010...

que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.

Función Cosecante

La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto

en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:

sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:

y ya.

Gráfica de la función Seno

Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:

Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de ¶ / 2 , o sea:

con n entero y mayor que cero.

La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.

Función Coseno:

La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:

Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:

el coseno del ángulo alpha será:

Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:

cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos":

para este caso, el resultado da: 53.13010...

que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.

Función Secante

La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:

en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:

sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución

y ya.

Gráfica de la función Coseno

Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:

Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la función seno.

Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.

La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.

Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea:

n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero.

Función Tangente:

La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente:

Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:

la tangente del ángulo alpha será:

Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:

cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan":

para este caso, el resultado da: 53.13010...

que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.

La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:

y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.

Función Cotangente

La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto

hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:

pero es la misma función.

En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:

sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:

y ya.

Gráfica de la función Tangente

Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:

los puntos donde la función se va a infinito se llaman "asíntotas" y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo ¶ (recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de ¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito.

Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.

Fórmulas e Identidades Trigonométricas

La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:

Fundamentales

sen(-x) = -sen(x)

cos(-x) = cos(x)

tan(-x) = -tan(x)

sen2x + cos2x = 1

1 + tan2x = sec2x

1 + cotan2x = csc2x

sen ( ¶ - x) = sen (x)

cos ( ¶ - x) = -cos (x)

tan ( ¶ - x) = -tan (x)

Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas

sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)

sen (u - v) = sen (u)cos (v) - cos(u)sen(v)

cos (u + v) = cos(u) cos(v) - sen(u)sen(v)

cos (u - v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)

Fórmulas para la suma del doble del ángulo

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

cos(2x) = 2cos2(x) - 1

cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)

cos(2x) = 1 - 2sen2(x)

Fórmulas para el cuadrado de la función

Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo

Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo

Fórmulas para el producto de seno y coseno

Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos

Identidades entre funciones trigonométricas

Ley de los seno

Ley del Coseno

La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:

Tabla de coseno y seno de los ángulos principales

6. Conclusión

A través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida para contribuir con la realización de cálculos que ayuden y nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactos para así descubrir el porque de los fenómenos y hechos en la historia humana.

Unos de los puntos dentro de la matemática a resaltar seria las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

Estas funciones fueron creadas a partir de la trigonometría plana y esférica para después ser perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones Trigonometricas, es necesario dejar claro que es importante ya que forma parte de la matemáticas y que es fundamental en el desarrollo de algunas operaciones de cálculos para así obtener los resultados de los objetivos trazados.

7. Anexos

Problemas típicos con fórmulas trigonométricas

Suponte que te piden demostrar que:

El chiste para hacer estos problemas es el siguiente:

Escribe el ángulo que te piden (75° en éste caso) como la suma de dos ángulos cuyas funciones trigonométricas conozcas (osea en términos de 30°, 45°, 60° ó 90°)

Vemos entónces que 75° lo podemos escribir como la suma de 30° + 45°. Sustituyendo queda:

sen (75°) = sen (30° +45°)

Recordamos ahora la del seno de la suma de dos ángulos:

sen(A + B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A)

aquí A va a ser 30° y B va a ser 45°.

sustituyendo queda:

sen(30° + 45°) = sen(30°) cos(45°) + sen(45°) cos(30°)

sustituímos ahora a lo que es igual cada seno y coseno:

Factorizemos todo lo que podamos:

pero como :

entónces queda:

si multiplicas los quebrados y el paréntesis cuadrado, te da (el paréntesis cuadrado sólo multiplica a los números de arriba, a los 1's pues)

que es lo que queríamos demostrar.

Problemas típicos con geometría en el Círculo Unitario

Supónte que te piden encontrar el coseno y el seno de 225° por método gráfico (geometría) en el círculo unitario.

Primero entónces grafícalo en el círculo unitario para ver en hasta dónde llega el ángulo:

Llegó hasta el lado negativo de las x's y de las y's. Eso significa que los valores del coseno(225°) y del seno(225°) van a ser negativos, porque los lados del triángulo están en la parte negativa de los ejes.

Luego trata de ver si puedes encontrar el ángulo del triángulo, pero en términos de un ángulo que ya conozcas. Por ejemplo, para éste problema, vemos que la mitad del ángulo mide 180°:

osea que el ángulo que nos piden (225°) son 180° + 45° (porque 180° mas 45° nos dan 225°)

entónces , el ángulo , es 45°.

Entónces, el coseno de 225° es lo mismo que el coseno de 45° sólo que negativo porque el lado de las x's del tríangulo quedó en los negativos.

Así también, el seno de 225° es lo mismo que el seno de 45° sólo que negativo porque el lado de las y's del tríangulo quedó también en los negativos.

Y como sabes:

osea que:

Así es cono todos los ángulos básicos.

Resolución de triángulos oblicuángulos

Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos.

Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de 90º.

Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados, pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º.

Cómo calcular los distintos valores de un triángulo oblicuángulo:

Tienes que estudiar dos sencillos teoremas para resolver los problemas referidos a estos triángulos.

Teorema del seno:

El siguiente triángulo es oblicuángulo:

Trazamos la altura desde C hasta c:

Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir:

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B

Tomamos ahora el ángulo A:

y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A

Observamos:

h = a x sen B

h = b x sen A

podemos decir que : a x sen B = b x sen A

Esta última igualdad podemos escribirla:

Recuerda que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.

Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos:

El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es perpendicular al lado b (90º en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El triángulo en azul claro BDC es rectángulo en D.

El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a).

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C

Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos:

( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego haciendo operaciones: h = c x sen A.

Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C

=c x sen A

Esta última igualdad podemos escribirla:

El recuadro último representa el teorema del seno.

Lo definimos: En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se mantiene constante.

Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. Fórmulas de reducción

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno

Coseno

Otros

[editar] Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

[editar] Deducción de la identidad

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1):

2):

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3):

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

Notar el cambio de signo.

[editar] Paso de suma a producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

[editar] Paso de diferencia de cuadrados a producto

[editar] Deducción

1) recordando:que cateto opuesto sobre cateto adyacente

multiplicando

Sabemos que:

el la primera ecuación transponemos y en la segunda

De tal manera que obtendremos:

aplicando esto en la ecuación inicial

multiplicando

De una manera análoga se halla el segundo teorema.

[editar] Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

[editar] Funciones trigonométricas inversas

[editar] Composición de funciones trigonométricas

[editar] Fórmula de productos infinitos

Seno Coseno

[editar] Fórmula de Euler

[editar] Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»

Euclides, Elementos.2

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani3 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.4 5 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,6 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.7

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.8

[editar] Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

[editar] Demostración

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por A su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

[editar] Aplicación

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

Definiciones exponenciales

Función

Función inversa

CIRCULO TRIGONOMETRICO

Ángulo trigonométrico:

Supongamos el rayo 0A fijo y el rayo 0B móvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo. Ahora, hagamos girar 0B alrededor de 0. En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con 0A: el ángulo A0B. Se ha convenido considerar los ángulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido de las manecillas del reloj como negativos: de acuerdo con la ilustración de la derecha (Fig.1), el ángulo A0B es positivo y el ángulo A0B' es negativo.

Antes de iniciar el giro, los rayos 0A y 0B coinciden, formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal). Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir 0B con 0A s e habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. 0B puede continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida; de lo anterior se deduce que 0A y 0B son los lados inicial y terminal, respectivamente, de una infinidad de ángulos.

Unidad de medida de los ángulos: los ángulos se expresan en grados sexagesimales, grados centesimales o en radianes.

En el sistema sexagesimal se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales; y un ángulo de 1° sexagesimal es la medida de aquel que se genera cuando el giro, en el mismo sentido de las manecillas del reloj, del lado terminal es de 1/360 parte de una vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son:

grado °

minuto '

segundo ''

Radián: un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de la circunferncia. En la (Fig.2), la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ángulo A0B mide 1p radianes.

En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el "radián".

En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales".

Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.

Ángulo en posición normal:

Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y cuyo vértice está en el origen de coordenadas (punto donde se intersectan los ejes).

En la figura de la derecha se ilustra un ángulo en posición normal, el ángulo A0B.

Círculo trigonométrico:

Se llama círculo trigonométrico, o goniométrico, a aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad.

A la derecha se puede observar un círculo trigonométrico.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS

El paso de la geometría a la trigonometría se da cuando decidimos asociar las razones de las longitudes de un triangulo a sus ángulos agudos interiores. Lo hacemos sin ninguna razón, solo por la ventaja que esto nos reporta. Se trata de una nueva construcción o herramienta matemática. Primero nos permitimos especificar la diferenciación de los catetos: el opuesto al ángulo y el adyacente que delimita a este junto con la hipotenusa, el lado mayor del triangulo rectángulo.

Como sabes, un triangulo posee tres lados, por ello en la construcción de los cocientes de estos existen tres posibles parejas.

Funciones trigonométricas:

Así, cuando las relaciones trigonométricas se definen para cualquier ángulo (sobre todo cuando se mide en radianes, lo que en realidad es la medida del ángulo en números reales), puede demostrarse que las relaciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de un ángulo, cumplen con la definición de función. Es por ello que se les conoce como funciones trigonométricas.

Dominio y contradominio de las funciones trigonométricas

Aunque las seis funciones trigonométricas arrojan valores de la variable dependiente de cada una de ellas, cuando se aplican a ángulos que toman diferentes valores de la variable independiente; estas funciones tienen dominio y rango diferentes.

Dominio de las funciones seno y coseno

es posible definir la función seno y la función coseno de un ángulo (x) sin importar el valor que este ángulo tome. De manera que el dominio de las funciones es todo el conjunto de los números reales. Esto puede escribirse en lenguaje simbólico como:

y = sen(x), z = cos(x)

El dominio de la función seno es el conjunto de todos los números reales.

El dominio de la función coseno es el conjunto de todos los números reales.

Rango de las funciones seno y coseno

la función seno y la función coseno de un ángulo (x) sólo puede tomar valores en el intervalo cerrado de –1 a 1, que constituye el contradominio de ambas funciones. Esto puede escribirse en lenguaje simbólico como:

y = sen(x) donde y  [-1,1]

z = cos(x) donde z  [-1,1]

Dominio de las funciones tangente y secante

no siempre es posible definir la función tangente y la función secante de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, las funciones tangente y secante no pueden definirse

El dominio de la función tangente es el conjunto de todos os números reales, excepto los múltiplos impares .

El dominio de la función secante es el conjunto de todos los números reales, excepto los múltiplos impares

muestran que las funciones tangente y secante

w = tan(x), v = sec(x)

tienen como dominio el conjunto de números reales menos el conjunto de números semienteros (en donde se dice que estas funciones son discontinuas).

El dominio de la función cotangente es el conjunto de todos los números reales, excepto los múltiplos enteros

El dominio de la función cosecante es el conjunto de todos los números reales, excepto los múltiplos enteros .

Rango de la función tangente

muestra que la función tangente de un ángulo w = tan(x) puede tomar cualquier valor en el campo de los números reales, por lo que se puede afirmar que el contradominio de la función tangente está formado por todos los números reales, lo que simbólicamente puede escribirse como

w  

Rango de la función secante

muestra que la función secante de un ángulo v = sec(x) no puede tomar cualquier valor en el campo de los números reales, porque observando bien dicha figura la función secante nunca toma valores comprendidos en el intervalo abierto de –1 a 1. Simbólicamente esto puede escribirse como v   - (-1,1)

Periodo y amplitud

Definición geométrica

El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

cos t = coordenada x del punto P

sin t = coordenada y del punto P

Gráfica de la función coseno

y = cos x

Función coseno general

La función coseno "generalizado" tiene la siguiente forma:

y = A cos[ω(x - α)] + C

• A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).

• C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).

• P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).

• ω es la frecuencia angular, y se expresa por

ω= 2π/P o P = 2π/ω.

• α es el desplazamiento de faso.

•

Desfasamiento

el desfasamiento es cuando dos o mas funciones tienen el mismo periodo, osea recorren la misma distancia en el mismo tiempo pero al graficarlas pasan por el mismo lugar en diferentes instantes

por ejemplo la grafica de la funcion "seno" esta desfasada 90 grados con la funcion "coseno"

Asíntotas de la gráfica

RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS

Se dice que una recta r es una asíntota de la curva y = f(x) cuando la distancia entre un punto de la curva y la recta dada tiende hacia cero cuando el punto de la curva recorre una rama infinita.

Las asíntotas que se estudian son:

Asíntotas verticales:

Son rectas de la forma x = a, paralelas al eje OY, y esto sucede cuando , bien por la derecha o por la izquierda.

Asíntotas horizontales:

Son rectas de la forma y = b, paralelas al eje OX, y esto sucede cuando , bien por la derecha, bien por la izquierda, bien en ambos sentidos.

Asíntotas oblicuas:

Son rectas de la forma y = mx + n, donde y siendo ambos números reales.

Funciones exponenciales y logarítmicas

Definición.

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como para todo ,la función exponencial es una función de en .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,y ,entonces:

1.

2.

3.

4.

5. .

6 .

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial

de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, .

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en

su dominio.

.

10.Si 0< a < b ,se tiene:

.

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir , crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es , tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.

Observación.

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) = .

2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas

En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones y que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.

Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.

La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:

,

La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:

,

A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:

A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6. senh2x =2senhx coshx

8.

9.

10.

11.

12.

Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada

TEOREMA 1 (Distancia Entre Dos Puntos Del Plano)

________________________________________

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por:

(1)

Demostración 4.1.

En la figura 4.1. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como también el segmento de recta

fig 4.1.

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica:

Pero: ; y

Luego,

Observaciones:

i. En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no

negativo.

ii. Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y

P2 no afecta el valor de la distancia.

iii. Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x

(fig.4.2.) entonces puesto que y1 = y2

fig. 4.2.

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 4.2. (b)), entonces puesto que x2 = x1

....

4.2. COORDENADAS DEL PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO.

________________________________________

Consideremos el segmento cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) (fig. 4.3.)

fig. 4.3.

Sea M (x, y) un punto sobre el segmento y llamemos (1)

Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos de y de las coordenadas de los puntos P1 y P2.

Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan los triángulos rectángulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos escribir :

(2)

Ahora, de (1) (Observese que cuando M se mueve de P1 a P2, varía de manera continua tomando valores entre 0 y 1)

En consecuencia, que al sustituir en (2) resulta:

De donde, (3) y (4)

Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente:

(5)

(6)

Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema.

Observaciones:

i. Nótese que para cada valor de las ecuaciones (5) y (6) nos dan un

punto sobre el segmento P1P2.

ii. En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en notación de conjunto en la

siguiente forma:

iii. Nótese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de , entonces

y en consecuencia,

e

Es decir, e

que representan las coordenadas del punto medio del segmento .

....

4.3. PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA

________________________________________

Definiciones

i. El ángulo que forma una recta L con el eje x medido en el sentido

positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L

(fig. 4.5.).

ii. Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define

como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, (1).

Siendo

El número m se conoce también con el nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta

L.

Observaciones:

i. Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente

m = tan =90º no está definida.

(a) (b)

fig. 4.4.

ii. Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L

(fig. 5 (b) ), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:

(2)

Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto

de ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas

dividido por el incremento de abscisas.

iii. El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino

tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5

unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es

5/100.

iv. La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de

inclinación de la recta, así:

Si q = 0o entonces m= 0 (fig. 4.6. (a))

Si 0o < q < 90o entonces m > 0 (fig. 4.6. (b))

Si 90º < q < 180o entonces m < 0 (fig. 4.6. (c))

fig. 4.6.

v. El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los

puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.

Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.

Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

En terminos generales, se podría definir la parábola como la sección cónica -al igual que la elipse y la hipérbola- que se obtiene al cortar la superficie cónica con un plano paralelo a una generatriz. Es una curva que se construye por la relación que existe entre sus puntos, un punto fijo llamado foco -'F'- y una recta llamada directriz -'d'-. La recta que pasa por `F' y es perpendicular a la directriz es el eje de la parábola y su eje de simetría. El punto de corte de la parábola con su eje es el vértice.

La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual. Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de televisión emitidas por un satélite. Con ella podemos ver emisoras de televisión de todas partes del mundo. Del mismo modo, la parábola también se emplea para fabricar los faros de los coches.

PARÁBOLAS

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.

Ecuación canónica de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el

y = 2px

Demostración:

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Elevando al cuadrado:

-px + y2 = px ð y2 = 2px

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

ð Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.

Parábola con vértice en un punto cualquiera

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su ecuación será, según los casos:

Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

ð Eje horizontal y foco a la derecha: (y-y0)2 = 2p(x-x0)

ð Eje horizontal y foco a la izquierda: (y-y0)2 = -2p(x-x0)

ð Eje vertical y foco por encima: (x-x0)2 = 2p(y-y0)

ð Eje vertical y foco por debajo: (x-x0)2 = -2p(y-y0)

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

Ejercicio: ecuaciones de parábolas

ð Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz.

ð Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma:

Name=5; HotwordStyle=BookDefault;

(y - y0)2 = ± 2p(x - x0) ó (x - x0)2 = ± 2p(y - y0)

ð La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en una del tipo (x - x0)2 = ± 2p(y - y0)

ð 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0 ð 2x2 + 8x = -3y + 5 ð

x2 + 3x = (x + 2)2 - 4. Se sustituye en la ecuación:

ð Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.

ð Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:

ð Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice:

ð Hallar los elementos de la parábola y2 - 4x + 6y + 13 = 0.

Resolución:

Name=6; HotwordStyle=BookDefault;

ð Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y:

y2 + 6y = 4x - 13

y2 + 6y = y2 + 2 • 3y + 32 - 32 = (y+3)2 - 9.

(y+3)2 - 9 = 4x - 13 ð (y+3)2 = 4x - 4

(y+3)2 = 4(x-1)

ð Es una parábola con vértice en el punto (1, -3).

vértice.

ð La directriz se obtiene restándole la mitad del parámetro a la abscisa del vértice: x = 1 - 1 = 0. La directriz es el eje de ordenadas.

Intersecciones de una cónica con una recta

Name=7; HotwordStyle=BookDefault; Para calcular la intersección de una cónica con una recta se ha de resolver un sistema de ecuaciones, que dará lugar a una ecuación de segundo grado (ax2 + bx + c = 0). Al resolver esta ecuación, se obtienen resultados distintos dependiendo del valor que tome el discriminante (ð = b2 - 4ac):

ð Si el discriminante es negativo (b2 - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales; sus dos soluciones son números complejos conjugados), el sistema no tiene solución. La recta no corta a la cónica y se dice que es exterior a ella.

ð Si el discriminante es nulo (b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales), la recta corta a la cónica en un solo punto. En este caso se dice que la recta es tangente a la cónica.

ð Si el discriminante es positivo (b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas), la recta tiene dos puntos comunes con la cónica. Entonces se dice que la recta es secante a la cónica.

Ejercicio: intersección de cónicas y rectas

ð Hallar los puntos de intersección de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse

2x2 + 3y2 - 4x + 6y - 9 = 0.

Resolución:

Name=8; HotwordStyle=BookDefault;

x = -y - 1

2(-y - 1)2 + 3y2 - 4(-y - 1) + 6y - 9 = 0

5y2 + 14y - 3 = 0

ð Trazar una tangente vertical a la cónica x2 - y2 + 2x + y - 2 = 0.

Resolución:

ð Las rectas verticales son de la forma x = k

ð Sustituyendo este valor en la ecuación:

k2 - y2 + 2k + y - 2 = 0,

-y2 + y + (k2 + 2k - 2) = 0

ð Su discriminante es

b2 - 4ac = 1 - 4 (-1) (k2 + 2k - 2) = 1 + 4k2 + 8k - 8 = 4k2 + 8k - 7

La condición para que la recta sea tangente es que dicho discriminante sea nulo:

Name=9; HotwordStyle=BookDefault;

4k2 + 8k - 7 = 0

Las tangentes verticales son:

ð Hallar las rectas tangentes a la curva y2 = 4x que contengan al punto (-1, 0).

Resolución:

Name=10; HotwordStyle=BookDefault;

ð Cualquier recta que contenga a dicho punto tiene una ecuación de la forma y = m(x + 1), donde m es la pendiente.

ð Sustituyendo en la ecuación de la parábola:

m2(x + 1)2 = 4x ð m2x2 + 2m2x + m2 = 4x ð

ð m2x2 + (2m2 - 4)x + m2 = 0

ð El discriminante es

(2m2 - 4)2 - 4m2 • m2 =

= 4m4 - 16m2 + 16 - 4m4 = -16m2 + 16

ð La recta será tangente si este discriminante es nulo:

-16m2 + 16 = 0 ð 16m2 = 16 ð

ð m = ±1

ð Las tangentes buscadas son:

y = x + 1 e y = -(x + 1)

La parábola es la gráfica de la función cuadrática o polinomio de segundo grado, cuya ecuación general es y=ax2+bx+c, donde a, b y c son números reales.

Se trata de una curva muy interesante y muy común. Aparece en numerosos fenómenos naturales o, cuando menos frecuentes, en nuestras ciudades: el caño de una fuente, la trayectoria que describe un balón de fútbol en un golpe franco, el movimiento de un proyectil disparado por un cañón,...

La definición geométrica de la parábola es algo más complicada:

• La parábola es el conjunto de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo F (que se llama foco) y de una recta también fija d (que se llama directriz).

En la siguiente gráfica puedes comprobar la definición:

No deja de ser curioso que una curva tan común y tan frecuente responda a una definición matemática, aparentemente, tan artificial como la anterior. No obstante no se acaban ahí las curiosidades matemáticas de esta gráfica. La parábola esta incluida, junto a otras curvas, dentro de un grupo que recibe el nombre de cónicas. Reciben este nombre porque se obtienen cortando un cono, mediante un plano, de una determinada manera.

En concreto, la parábola se obtiene, cortando un cono con un plano paralelo a una de las directrices del mismo.

LA PARÁBOLA DE ECUACIÓN Y=AX2

Decimos que la ecuación de esta parábola es incompleta, esto se debe a que no aparecen los términos bx y c, es decir b=c=0.

ÁREA DE UN SEGMENTO PARABÓLICO

Cuando Arquímedes escribió su tratado "La cuadratura de la parábola", las secciones cónicas eran bien conocidas desde hacía casi un siglo, pero aún no se había hecho progreso alguno en el cálculo de áreas relacionadas con ellas. La doble vía en la que Arquímedes aborda el problema y que aquí se expone, ilustra la manera de pensar del gran sabio griego.

El primer camino, contenido en el libro El método, muestra cómo empleó ideas provenientes de la mecánica para obtener resultados correctos.

Arquímedes considera el segmento de parábola formado por el arco ABC y el segmento AC ( ver dibujo). Traza la recta CE que es tangente a la parábola en el punto C. Sea D el punto medio del segmento AC. Hace pasar por D una recta paralela al eje de la parábola que corta en B a la curva y en E a la tangente. Afirma que BD es igual a EB y por proporcionalidad en cualquier segmento paralelo a ED se cumple que MN es igual a NO. Traza la recta CB que prolonga hasta H con la condición de que KH es igual que CK.

La brillante idea de Arquímedes es la siguiente: Se da cuenta (lo demuestra) que HK•OP es igual que MO•KN, lo que significa, según la ley de la palanca, que si consideramos el segmento HN como una palanca con el punto K como fulcro y con H y N como platillos, el segmento MO apoyado en N equilibra al segmento OP apoyado en H. De manera genial (anticipándose en casi veinte siglos a Cavalieri), considera que los segmentos de la forma MO llenan el triángulo ACF y los segmentos de la forma PO llenan el segmento parabólico. Por lo tanto el área del triángulo ACF equilibrará al área del segmento parabólico.

La cuestión ahora es que el "platillo" H permanece fijo, mientras que el "platillo" N se desplaza según el tamaño del segmento MO. Para resolver esta cuestión Arquímedes recurre a un resultado de su libro Sobre el equilibrio de los planos en el que prueba que el centro de gravedad del triángulo es el punto X de tal manera que KX = (1/3)CK. De esta manera el área del triángulo apoyado en el platillo X es igual al área del segmento parabólico apoyado en el platillo H por lo tanto por la ley de la palanca:

KX•( área del triángulo ACF) = HK•( área del segmento parabólico)

Como CK el igual a HK y KX = (1/3)CK tenemos que

(1/3)HK•( área del triángulo ACF) = HK•( área del segmento parabólico)

Por lo tanto el área del triángulo ACF es tres veces el área del segmento parabólico.

Arquímedes relaciona ahora el área del triángulo ACF con la del triángulo ABC de la manera siguiente: Es fácil comprobar por proporcionalidad que la altura del triángulo ABC es la mitad de la altura del triángulo ACK. Como la base de los triángulos es la misma (AC) resulta que el área del triángulo ABC es la mitad del triángulo ACK y a su vez el triangulo ACK es la mitad del triángulo ACF. Entoces el área del triángulo ABC es la cuarta parte del área del triángulo AFK y por lo tanto el área del segmento de parábola ABC es al área del triángulo ABC como 4 es a 3. Es decir en notación moderna

área del segmento de parábola = (4/3) área del triángulo ABC

con lo cual Arquímedes consigue cuadrar (es decir, trasformar el área bajo una curva en el área de una figura rectilínea ) el segmento parabólico.

Arquímedes consideraba esta manera de razonar como un método de descubrimiento, puesto que el argumento de llenar las figuras mediante líneas no le parecía formalmente correcto. Por eso, en su libro "Sobre la cuadratura de la parábola" da una demostración rigurosa. Él sabe ya el resultado que quiere probar y se dispone a hacerlo con todo rigor geométrico.

Para ello considera el segmento parabólico ABC en donde el punto B es obtenido al cortar la parábola por una recta paralela al eje que pasa por O, el punto medio de AC. Inscribe en segmento el triángulo ABC. Traza entonces la tangente a la parábola en B. Es intuitivamente claro que la tangente es paralela al segmento AC lo que es probado por Arquímedes es su proposición 18

A continuación se trazan dos rectas paralelas a OB por A y por G que cortan a la recta tangente en B en los puntos M y N respectivamente. Como el triángulo ABC es la mitad del paralelogramo ACNM, resulta que el triángulo ABC es mayor que la mitad del segmento parabólico.

Arquímedes construye ahora otros dos triángulos ABD y BCE de la misma forma que en el párrafo anterior. Los nuevos triángulos ADB y BCE son mayores que la mitad de los segmentos parabólicos ADB y BEC respectivamente. Como esta construcción se puede repetir indefinidamente será posible aproximarse al segmento parabólico tanto como se quiera.

Arquímedes sabe que el área del triángulo ABD es la cuarta parte del área del triángulo AMB que es igual al triángulo AOB. De la misma manera, el área del triángulo BCE es la cuarta parte del triángulo OCB por tanto

área triángulo ADB + área triángulo BCE = (1/4) área triángulo AOB + (1/4) área triángulo OBC = = (1/4) área triángulo ABC

Así pues, podemos afirmar que el área de la figura poligonal obtenida al añadir triángulos al triángulo original ABC, es decir el área de

Triángulo ABC + (1/4) triángulo ABC + (1/16) triángulo ABC + ........(1)

con una cantidad finita de términos se aproxima al segmento parabólico tanto como se quiera. (Proposición 1del libro X de los elementos de Euclides)

Arquímedes se encuentra ahora con la difícil cuestión de sumar la serie anterior (o mejor dicho, en demostrar que dicha serie suma 4/3 del triángulo ABC, puesto que, como hemos visto ya, el resultado le era conocido por medio de su método mecánico) . En la actualidad, un estudiante aplicado de bachillerato sabe sumar la serie geométrica infinita 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 ......... Pero el gran Sabio no disponía ni de nuestro sistema de numeración, ni de nuestro lenguaje del álgebra simbólica por lo que estas dificultades las suplía derrochando mucha imaginación y enorme talento. Veamos como:

Arquímedes demuestra primero el siguiente curios teorema: Sea S = A + B + C + D + E, y, además A:B = B:C = C: D = D:E = 4:1 Entonces se verifica que S = (4/3) A - (1/3) E

La demostración dada por Arquímedes es farragosa, pero nosotros con ayuda de nuestra álgebra simbólica pronto nos convencemos de la veracidad del teorema. En efecto, multipliquemos la expresión inicial por 4/3

(4/3)•S = (4/3)• ( A + B + C + D + E ) = (4/3)• A + (1/3)•( 4B + 4C + 4D + 4E )

como por hipótesis 4B = A; 4C = B; 4D = C; 4E = D tenemos que

(4/3)• A + (1/3)•( 4B + 4C + 4D + 4E ) = (4/3)• A + (1/3)•( A + B + C + D)

sumando y restando ahora (1/3)• E obtenemos

(4/3)•S = (4/3)• A + (1/3)•( A + B + C + D + E ) - (1/3)•E

luego

(4/3)•S = (4/3)• A + (1/3)•S - (1/3)•E

y restando (1/3)•S a los dos miembros de la igualdad anterior obtenemos lo que queríamos demostrar.

Hay que observar que este teorema se puede extender a cualquier número de sumandos por lo que Arquímedes lo aplica a la serie (1).

An = A + A/4 + A/16 + A/64 +......+ A/(4n-1) = (4/3)•A - (1/3)•A/(4n-1) (2)

en donde A = área del triángulo ABC. Como el último término se puede hacer tan pequeño como queramos, tenemos que para un n suficientemente grande, An = (4/3)•A .

Arquímedes prueba ahora que el área del segmento parabólico no puede ser ni mayor ni menor que (4/3)•A. Para ello utiliza el método de reducción al absurdo que consiste en lo siguiente:

Llamemos S al área del segmento parabólico. Entonces puede ocurrir una de estas tres cosas: o bien S > (4/3)•A o bien S < (4/3)•A o bien S = (4/3)•A. Arquímedes prueba que si supone S > A llega a un resultado falso lo que indica que la hipótesis de partida no es cierta. Prueba lo mismo si (4/3)•A < S por lo que concluye que la tercera hipótesis S = (4/3)•A es la correcta. Veamos como lo consigue.

Supongamos S > (4/3)•A. Entonces la cantidad S - (4/3)•A sería positiva y se puede escoger un conjunto finito de triángulos cuya suma de sus áreas S' difiera del área S del segmento en una cantidad menor que cualquier magnitud dada, por lo tanto S > S' > (4/3)•A

Pero si S' contiene n términos por la expresión (2) se tiene S' + (1/3)•A/4n-1 = (4/3)A, lo que implica que S' < (4/3)•A y contradice la hipótesis de partida.

Supongamos ahora que S < (4/3)•A. Entonces la cantidad (4/3)•A - S es positiva. Como los triángulos inscritos son cada vez más pequeños existirá un triángulo de la sucesión n cuya área sea más pequeña que la cantidad (4/3)•A - S, es decir A/(4n-1) < (4/3)•A - S, en donde A/(4n-1) representa el término enésimo de la sucesión de triángulos, utilizando otra vez la expresión (2)

A + A/4 + A/16 + A/64 +......+ A/(4n-1) = (4/3)•A - (1/3)•A/(4n-1)

Reordenando términos resulta

(1/3)•A/(4n-1) = (4/3)•A -(A + A/4 + A/16 + A/64 +......+ A/(4n-1))

De lo cual podemos deducir

A/(4n-1) > (4/3)•A -( A + A/4 + A/16 + A/64 +......+ A/(4n-1))

Reordenando de nuevo

( A + A/4 + A/16 + A/64 +......+ A/(4n-1)) > (4/3)•A - A/(4n-1)

y como A/(4n-1) < (4/3)•A - S resulta que S < (4/3)•A - A/(4n-1)

por lo tanto

( A + A/4 + A/16 + A/64 +......+ A/(4n-1)) > (4/3)•A - A/(4n-1) > S

Pero esta última expresión es imposible puesto que la suma de triángulos inscritos nunca puede ser superior al área del segmento, luego S < (4/3)•A es imposible y por lo tanto S = (4/3)•A

Una vez terminada la demostración aparece la realidad. ¡Arquímedes ha sumado una serie infinita! algo que no harán los matemáticos hasta el siglo XVII, pero, ¡qué diferencia de rigor!. El cuidadoso tratamiento del infinito realizado por Arquímedes es muy superior a "esas diferencias evanescentes" que con cierta razón criticaba el obispo Berkeley en los trabajos de Newton y Leibniz, los cuales no llegaron a fundamentar de una manera convincente su nuevo cálculo diferencial.

ELIPSE

efinición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición excluye el caso en que el punto móvil esté sobre el segmento que une los focos.

Designemos por F y F´ (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, v y v´, llamados vértices

La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento vv´ , se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla. El eje normal l´ corta a la elipse en dos puntos, A y A´ , y el segmento AA´ se llama eje menor. Un segmento tal como BB´ que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE´, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL´ perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores.

Ecuación de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.

Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 2). Los focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento FF´ las coordenadas de F y F´ serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

(1)

En donde a es una constante positiva y mayor que c.

Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos

=

,

=

, de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación

+

= 2a (2).

Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

cx+a2 = a

Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos

de donde,

(3)

Como 2a >2c es a2>c2 y

-c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,

b2=

- c2 (4)

Si en (3) reemplazamos

- c2 por b2 obtenemos,

b2x2+a2y2= a2b2

y dividimos por a2b2 , se obtiene, finalmente,

(5)

Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y -a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0) respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y - b por tanto, las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.

Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos

(7)

Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo

(8)

Si de la ecuación (5) despejamos x, obtenemos ,

De manera que se obtienen valores reales de x solamente para valores de y dentro del intervalo

(9).

De (8) y (9) se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las rectas

y

. Por tanto la elipse es una curva cerrada.

La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos x por este valor se obtiene las ordenadas correspondientes que son

de donde por (4) resulta

Por tanto la longitud del lado recto para el foco F

, y de forma análoga la longitud del lado recto para el foco F´ es

.

Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón

y se representa por la letra e , de (4) tenemos que

(10).

Y como c<a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.

Hasta aquí hemos considerado el caso en que el centro de la elipse es el origen y su eje focal coincide con el eje X. Si consideramos el caso en que el centro de la elipse es el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y, las coordenadas de los focos son entonces F(0,c) y F´(0,-c). Luego por el mismo procedimiento empleado para deducir la ecuación (5) hallamos que la ecuación de la elipse es

(11)

Veamos la siguiente que resume los resultados obtenidos hasta este momento.

Además podemos resumir todos estos resultados en el siguiente

TEOREMA1.

La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2.

También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es

, y la excentricidad e está dada por la fórmula e

NOTA: Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

Veamos algunos ejemplos.

1. Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2+4y2=36 y trazar su gráfica.

Solución

Debemos proceder de la siguiente forma:

Dividir toda la ecuación por 36

Lo que resulta,

que tiene la forma

Donde el eje mayor es el eje vertical.

Donde b2=4 o bien b=2 y a2=9 o bien a=3.

De esta forma obtenemos los vértices que son V(0,3) y V´(0,-3)

Puesto que c2= b2- a2 entonces c=

Luego los focos están en el eje Y y sus coordenadas son F (0,

) y F´(0,-

) y la gráfica correspondiente es la

2. Encuentre la ecuación de una elipse con vértices V(5,0) y V(-5,0) y focos F(2,0) y F´(-2,0). Trace la gráfica.

Solución

Al ubicar las coordenadas de los vértices y de los focos vemos que estos están en el eje de las X por tanto el eje mayor es el eje X que también podemos decir que es el eje focal.

De donde tenemos que a=5 y c=2 y luego b2=25-4=21 y así b=

Por tanto la ecuación de la elipse tiene la forma

Sustituyendo los valores de a y b tenemos que la ecuación que estamos buscando es

Y la gráfica es

Ecuación de la elipse de centro (h,k) y ejes paralelos a los ejes coordenados

Consideremos, la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X tal como se indica en la figura 3

Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados d3e manera que el nuevo origen O´ coincida con el centro (h,k) de la elipse, del teorema 1 tenemos que la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos ejes X´ y Y´ está dada por

(a).

De la ecuación (a) puede deducirse la ecuación de la elipse referida a los eje originales X y Y usando las ecuaciones de transformación

x=x´+h y=y´+k.

Traslación de coordenadas

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O´(h,k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y (x´,y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son x=x´+h y y=y´+k.

De donde x´=x-h y y´=y-k.

Si sustituimos los valores de x´ y y´ en la ecuación (a) obtenemos

(b)

Que es la ecuación de la elipse referida a los eje originales X y Y.

De forma similar, podemos demostrar que la elipse cuyo centro es el punto C (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por ecuación

(c)

Las ecuaciones (b) y (c) se llaman la segunda ecuación ordinaria de la elipse.

Estos resultados junto con el teorema 1 nos conducen al siguiente:

Teorema:

La ecuación de la elipse de centro el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje X está dada por la segunda forma ordinaria,

Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación está determinada por la segunda forma ordinaria

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la del eje menor, c es la distancia del centro a cada foco y a, b, c están ligados por la relación a2=b2+c2.

También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es y la excentricidad está dada por la relación

e

Ejemplo

Los vértices de una elipse tienen por coordenadas V(-3,7) y V´(-3,-1), y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes menor y mayor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

Solución:

Como los vértices V y V´ están sobre el eje focal y sus abscisas son ambas (-3) (ver figura 4) se sigue que el eje focal es paralelo al eje Y. Por tanto, por teorema 2, la ecuación de la elipse es de la forma

El centro C es el punto medio del eje mayor VV´ y sus coordenadas son por lo tanto

C(-3,3). C=Pm

La longitud del eje mayor VV´ es 8

Por tanto, 2a=8 de donde a=4.

La longitud de cada lado recto es

=2 como a=4 se sigue que 2b2=8 , luego b2=4 por tanto b=2.

Y la longitud del eje menor es 4.

Luego la ecuación de la elipse es

También, c2=a2-b2=16-a=12, de donde c=

por tanto las coordenadas de los focos son F(-3, 3+

) y

F´(-3, 3-

)

Y la excentricidad e

Propiedades de la elipse.

• La tangente a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 en cualquier punto P1(x1,y1) de la curva tiene por ecuación b2x1x+a2y1y=a2b2

• Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 son y.

• La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Consideremos ahora la ecuación de la elipse en la forma

(2)

Si quitamos denominadores, desarrollamos, trasponemos y ordenamos términos obtenemos

(4).

La cual puede escribirse en la forma Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (5)

En donde A=b2, C=a2, D=-2b2h, E=-2a2k y F=

. Evidentemente, los coeficientes A y C deben ser del mismo signo.

Recíprocamente, consideremos una ecuación de la forma (5) y reduzcámosla a la forma ordinaria (2) completando cuadrados. Obtenemos

(6)

Sea M

. Si M"0, la ecuación (6) puede escribirse en la forma

(7)

Que es la ecuación ordinaria de la elipse. Como A y B deben concordar en signo, podemos suponer, sin perder generalidad, que son ambos positivos. Por lo tanto, si (5) representa una elipse, la ecuación (7) demuestra que M debe ser positivo. El denominador

de M es positivo; por tanto el signo de M depende del signo del numerador

, al que designaremos por N. De acuerdo con esto, comparando las ecuaciones (6) y (7), vemos que si N>0, (5) representa una elipse; de (6), si N=0, (5) representa el punto único , llamado usualmente una elipse punto, y si N<0, la ecuación (6) muestra que (5) no representa ningún lugar geométrico real.

Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuación ordinaria de la elipse. Luego tenemos el siguiente:

Teorema3

Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.

Ejemplo

Hallar los elementos de la elipse 25x2+16y2-50x+64y-311=0

Solución: Empezamos reduciendo la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la elipse, esto es:

Como el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, entonces el eje mayor de la elipse es vertical o bien paralelo al eje Y de donde a2=25 y b2=16, luego a=5 y b=4.

Además c2=25-16=9, de donde c=3.

Por tanto:

Vértices: B(5, -2); B´(-3,-2); V(1, 3); V´(1, -7).

Focos: F(1,1); F´(1, -5).

Luego su gráfica es

Ejercicios propuestos

• Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2 +3y2=27

• Encuentre una ecuación de la elipse con focos (0,±

) tal que la longitud del eje mayor es 12.

3) Encuentre los focos y los vértices de la elipse

4x2+16y2-96y+84=0

4) Encuentre una ecuación de la elipse con centro (2,-1) de eje

Mayor Vertical de longitud 6 y eje menor de longitud 3

5) Encuentre el centro, los focos y los vértices para la elipse

x2+

6) Encuentre la ecuación de la elipse con vértices V (5, 0) y

V´(-5, 0) y focos F(3, 0) y F´(-3, 0)

7) Encuentre la ecuación de la elipse con F(0,3); F´(0,-3) y que

pasa por el punto

8) Encuentre la ecuación de la elipse con centro C(1, 3), un foco

F (1,9) y un vértice V(1, -1)

Respuestas

• V(0, 3); V´(0, -3); B(; B´(-; F(0, ; F´(0,- ;

• • La expresión es la ecuación en la segunda forma ordinaria, de donde fácilmente vemos que los vértices son: V(5, 3); V´(-3, 3); B(1, 5); B´(1, 1); y los focos son F(1+ y F´(1-2

, 3).

• o bien

• C(0, 0); F(0, ; F´(0, -

; V(0, 4); V´(0, -4); B(1, 0);

B´(-1, 0)

• • •

HIPERBOLA

La Hipérbola

La hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano cartesiano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es igual a una constante positiva (2a), en donde "a" puede ser mayor o menor que "b" y la posición de la hipérbola se determina dentro del plano dependiendo si dentro de la ecuación "x" o "y" es positivo.

Una hipérbola parte de sus vértices abriéndose cada vez más y tendiendo hacia dos rectas llamadas asíntotas, las cuales nunca llegan a tocar. Al rectángulo que forman las asíntotas, se le llama rectángulo auxiliar, y sus lados tiene por longitud 2a y 2b. Los vértices de la hipérbola son los puntos de intersección del eje principal y el rectángulo auxiliar. Al prolongar las diagonales del rectángulo se obtienen las asíntotas; se traza cada rama de la hipérbola a través de su respectivo vértice usando las asíntotas como guías.

Ecuaciones de las asíntotas.

Cuando el eje mayor de una hipérbola es horizontal, la ecuación de la asíntota es:

Y = + bx

A

(Y-k) = + b(x-h)

A

Cuando el eje mayor de una hipérbola es vertical, la ecuación de la asíntota es:

Y = + ax

B

(Y-k) = + a(x-h)

b

En donde:

A es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértice del eje mayor.

B es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértice del eje menor.

C es igual a la distancia del centro a cualquiera de los puntos fijos o focos

Características

• La hipérbola posee una excentricidad mayor que uno, la cual se define como la distancia del centro hacia uno de los focos, dividida, la distancia del centro a uno de los vértices.

2.La longitud del eje mayor se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del eje mayor.

3.La longitud del eje conjugado se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del vértice del eje menor

Ecuaciones con centro en el origen

Gráfica No.1 Gráfica No.2 Ecuación General

X2 - y2 = 1

A2 B2 Y2 - X2 = 1

A2 B2 Qx2 - Py2 = QP

Gráfica No. 1 Gráfica No. 2

Ecuaciones con centro (h,k)

Gráfica No.1 Gráfica No.2 Ecuación General

(X-h)2 - (y-k)2 = 1

A2 B2 (Y-k)2 - (X-h)2 = 1

A2 B2 ax2 + cy2 + ey + f = QP

ay2 + cx2 + ey + f = QP

Gráfica No. 1 Gráfica No. 2

VM (+a,0)

Vm(0,+b)

Centro (0,0)

Focos (+c,0)

Excentricidad

e = c/a

VM (0,+a)

Vm(+b,0)

Centro (0,0)

Focos (0,+c)

Excentricidad

e = c/a

VM (h,k+a)

Vm(h+b,k)

Centro (h,k)

Focos (h,k+c)

Excentricidad

e = c/a

VM (h+a,k)

Vm(h,k+b)

Centro (h,k)

Focos (h+c,k)

Excentricidad

e = c/a

VM (0,+a)

Centro (0,0)

Focos (0,+c)

Excentricidad

e = c/a

VM (+a,0)

Centro (0,0)

Focos (+c,0)

Excentricidad

e = c/a

VM (h,k+a)

Centro (h,k)

Focos (h,k+c)

Excentricidad

e = c/a

VM (h+a,k))

Centro (h,k)

Focos (h+c,k)

Excentricidad

e = c/a

Vértice en (0,0)

Vértice en (h,k)

Vértice en (h,k)

Vértice en (0,0)

...