Diseño De Un Eje
Enviado por paulasaldarriaga • 6 de Septiembre de 2011 • 2.922 Palabras (12 Páginas) • 457 Visitas
ANALISIS DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
Nos referimos a la respuesta de los sistemas de control en estado estacionario ante una entrada Senoidal.
Para un sistema LTI estable, cuya entrada es
x(t)=Xsen(ωt)
Su salida se escribe como (si es estable)
y(t)=Ysen(ωt+θ)
En donde
Y=X|G(jω)|
y
θ=∠G(jω)=tg^(-1) ((parte Im(G(jω)))/(parte Re(G(jω))))
Otra manera más práctica de denotar estas cantidades es:
|G(jω)|=|(Y(jω))/(X(jω))|
∠G(jω)=∠[(Y(jω))/(X(jω))]
Atraso de fase: ángulo de fase negativo.
Adelanto de fase: ángulo de fase positivo.
Presentación de las características de la respuesta en frecuencia en forma gráfica.
Existen tres representaciones gráficas de las funciones de transferencia senoidales.
Las trazas de Bode o trazas logarítmicas
La traza de Nyquist o traza polar
La traza de Nichols o traza de magnitud logarítmica contra fase.
1. Trazas de Bode.
Una función de transferencia Senoidal se representa mediante dos graficas distintas, una de magnitud versus frecuencia y otra de fase versus frecuencia. Ambas se grafican con ω en escala logarítmica.
La representación común de la magnitud es el decibelio, es decir, la magnitud se representa también en escala logarítmica, en donde la base del logaritmo es 10.
〖 |G(jω) |〗_dB=20log|G(jω) |
En la representación logarítmica se trazan las curvas sobre papel semilogarítmico, con la escala logarítmica para la frecuencia (ω) y la escala lineal para la magnitud (en dB) o el ángulo de fase (en grados).
La ventaja de las trazas de Bode radica en que la multiplicación de las magnitudes se convierte en adición. Además consta con un método de aproximaciones asintóticas para dibujar las trazas.
Método asintótico para dibujar las trazas de Bode.
Es posible obtener una representación asintótica muy aproximada para cada uno de los factores presentes en una función de transferencia. Gracias a la representación en dBs de la magnitud y a las propiedades de cálculo del ángulo de fase, es posible conformar una serie de sumas individuales de cada uno de los términos.
El comportamiento general de un sistema, esta dado entonces, por la superposición de los comportamientos de cada uno de los factores que componen la función de transferencia.
Factores básicos de G(jω)
A continuación se muestran las trazas asintóticas para los factores que pueden estar contenidos en una función de transferencia.
Factor ganancia constante, K
Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en dB, un número menor que la unidad tiene un valor negativo en dB.
La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una línea recta horizontal, cuya magnitud es:
〖 |G(jω) |〗_dB=K_dB=20log|K|
El ángulo de fase de K es cero,
∠ K=〖tg〗^(-1) [Im(K)/Re(K) ]=〖tg〗^(-1) [0/K]=0
Si se varía el valor de K, entonces, varía la curva de magnitud (aumenta o decrementa el offset), pero no varía la gráfica de fase.
+
Los factores integral y derivada, [jω]^(±1) [polos y ceros en el origen]
Para el factor integral: [jω]^(-1)
La magnitud, en dB, es:
〖 |1/jω|〗_dB=20log|1/jω|=-〖20log[ω]〗_dB
El ángulo de fase, en grados, es:
∠[1/jω]=-〖tg〗^(-1) [ω/0]=-〖90〗^o
En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas.
Una octava es una banda de frecuencia que va desde ω_1 hasta 〖2ω〗_1, en donde ω_1 es cualquier frecuencia.
Una década es una banda de frecuencia que va desde ω_1 hasta 〖10ω〗_1, en donde ω_1 es cualquier frecuencia.
La magnitud para G(jω)=(jω)^(-1) (Un polo en el origen) es -20 log〖 ω〗 y se representa mediante una línea recta, si ω está en una escala logarítmica.
Por tanto, la gráfica o traza de magnitud para G(jω)=(jω)^(-1) es una línea recta que pasa por (0 dB,ω=1) y que tiene una pendiente de -20 dB⁄dec=-6dB⁄oct.
Para el factor derivativa: [jω]^(+1)
La magnitud, en dB, es:
〖 |jω|〗_dB=20log|jω|=+〖20log[ω]〗_dB
El ángulo de fase es
∠ [jω]=〖tg〗^(-1) [ω/0]=+〖90〗^o
Por tanto las gráficas o trazas quedan como:
Nota: Si la función de transferencia contiene el factor(jω)^(±n), la magnitud logarítmica se convierte en:
20log|(jω)^(±n) |=±n*〖20log[jω]〗_dB
...