Diseño De Un Eje

ANALISIS DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

Nos referimos a la respuesta de los sistemas de control en estado estacionario ante una entrada Senoidal.

Para un sistema LTI estable, cuya entrada es

x(t)=Xsen(ωt)

Su salida se escribe como (si es estable)

y(t)=Ysen(ωt+θ)

En donde

Y=X|G(jω)|

y

θ=∠G(jω)=tg^(-1) ((parte Im(G(jω)))/(parte Re(G(jω))))

Otra manera más práctica de denotar estas cantidades es:

|G(jω)|=|(Y(jω))/(X(jω))|

∠G(jω)=∠[(Y(jω))/(X(jω))]

Atraso de fase: ángulo de fase negativo.

Adelanto de fase: ángulo de fase positivo.

Presentación de las características de la respuesta en frecuencia en forma gráfica.

Existen tres representaciones gráficas de las funciones de transferencia senoidales.

Las trazas de Bode o trazas logarítmicas

La traza de Nyquist o traza polar

La traza de Nichols o traza de magnitud logarítmica contra fase.

1. Trazas de Bode.

Una función de transferencia Senoidal se representa mediante dos graficas distintas, una de magnitud versus frecuencia y otra de fase versus frecuencia. Ambas se grafican con ω en escala logarítmica.

La representación común de la magnitud es el decibelio, es decir, la magnitud se representa también en escala logarítmica, en donde la base del logaritmo es 10.

〖 |G(jω) |〗_dB=20log|G(jω) |

En la representación logarítmica se trazan las curvas sobre papel semilogarítmico, con la escala logarítmica para la frecuencia (ω) y la escala lineal para la magnitud (en dB) o el ángulo de fase (en grados).

La ventaja de las trazas de Bode radica en que la multiplicación de las magnitudes se convierte en adición. Además consta con un método de aproximaciones asintóticas para dibujar las trazas.

Método asintótico para dibujar las trazas de Bode.

Es posible obtener una representación asintótica muy aproximada para cada uno de los factores presentes en una función de transferencia. Gracias a la representación en dBs de la magnitud y a las propiedades de cálculo del ángulo de fase, es posible conformar una serie de sumas individuales de cada uno de los términos.

El comportamiento general de un sistema, esta dado entonces, por la superposición de los comportamientos de cada uno de los factores que componen la función de transferencia.

Factores básicos de G(jω)

A continuación se muestran las trazas asintóticas para los factores que pueden estar contenidos en una función de transferencia.

Factor ganancia constante, K

Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en dB, un número menor que la unidad tiene un valor negativo en dB.

La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una línea recta horizontal, cuya magnitud es:

〖 |G(jω) |〗_dB=K_dB=20log|K|

El ángulo de fase de K es cero,

∠ K=〖tg〗^(-1) [Im(K)/Re(K) ]=〖tg〗^(-1) [0/K]=0

Si se varía el valor de K, entonces, varía la curva de magnitud (aumenta o decrementa el offset), pero no varía la gráfica de fase.

+

Los factores integral y derivada, [jω]^(±1) [polos y ceros en el origen]

Para el factor integral: [jω]^(-1)

La magnitud, en dB, es:

〖 |1/jω|〗_dB=20log|1/jω|=-〖20log[ω]〗_dB

El ángulo de fase, en grados, es:

∠[1/jω]=-〖tg〗^(-1) [ω/0]=-〖90〗^o

En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas.

Una octava es una banda de frecuencia que va desde ω_1 hasta 〖2ω〗_1, en donde ω_1 es cualquier frecuencia.

Una década es una banda de frecuencia que va desde ω_1 hasta 〖10ω〗_1, en donde ω_1 es cualquier frecuencia.

La magnitud para G(jω)=(jω)^(-1) (Un polo en el origen) es -20 log⁡〖 ω〗 y se representa mediante una línea recta, si ω está en una escala logarítmica.

Por tanto, la gráfica o traza de magnitud para G(jω)=(jω)^(-1) es una línea recta que pasa por (0 dB,ω=1) y que tiene una pendiente de -20 dB⁄dec=-6dB⁄oct.

Para el factor derivativa: [jω]^(+1)

La magnitud, en dB, es:

〖 |jω|〗_dB=20log|jω|=+〖20log[ω]〗_dB

El ángulo de fase es

∠ [jω]=〖tg〗^(-1) [ω/0]=+〖90〗^o

Por tanto las gráficas o trazas quedan como:

Nota: Si la función de transferencia contiene el factor(jω)^(±n), la magnitud logarítmica se convierte en:

20log|(jω)^(±n) |=±n*〖20log[jω]〗_dB

=±〖20nlog[ω]〗_dB

Los ángulos de fase serán de ±〖90〗^o*n.

3. FACTORES DE PRIMER ORDEN

(1+jωT)^(±1)

Para el caso que: G(jω)=(1+jωT)^(-1)

G_(d_B )=20log⁡|G(jω) |=20 log⁡|1/(1+jωT)|

G_(d_B ) (jω)=-20log⁡(√(1^2+〖(jωT)〗^2 ))

|G_(d_B ) (jω) |=-20log⁡〖(√(1+ω^2 T^2 )) dB〗

Recuerde que T=constante de tiempo

Para frecuencia bajas, tales que ω≪1/T, la magnitud logarítmica se aproxima mediante:

-20 log⁡(√(1+ω^2 T^2 ))=-20log⁡1=0 dB

Para frecuencias altas, tales que ω≫1/T

-20 log⁡(√(1+ω^2 T^2 ))=-20log⁡ωT dB

Esta es una expresión aproximada para el rango de altas frecuencias. En ω=1/T, la magnitud logarítmica es igual a 0 . En ω=10/T, la magnitud es de -20 dB, por tanto el valor de -20 log⁡ωT dB, disminuye en 20 dB⁄decada. De esta manera la recta para ω≫1/T es una línea recta con pendiente de -20 dB⁄decada.

La fase para G(jω)=1/(1+jωT) está dada por:

θ=-tan^(-1)⁡ωT

Recuerde que:

G(jω)=1/(1+jωT)=(1∠0)/(√(1+ω^2 T^2 )∠〖-tan^(-1)〗⁡(ωT⁄1) )

G(jω)=1/√(1+ω^2 T^2 )∠〖-tan^(-1)〗⁡(ωT)

Por tanto, la traza de magnitud y fase para G(jω)=1/(1+jωT) es

Figura [4], Tomada de autor

b. Para el caso que G(jω)=1+jωT

G(jω)=1+jωT=√(1+ω^2 T^2 )∠tan^(-1)⁡(ωT⁄1)

G(jω)=√(1+ω^2 T^2 )∠tan^(-1)⁡(ωT)

Por tanto

Para

Pendiente en alta frecuencia 20 dB⁄decada

Por otro lado

Gráficamente

Figura [5], Tomada de autor

La frecuencia donde las dos asíntotas se cruzan se llama frecuencia de corte o de esquina.

Factores Cuadráticos

Recuerde que

Expresando la magnitud en

Para frecuencias bajas, tales que

Para frecuencia altas, tales que

Ojo: El segundo término de G_dB se absorbe por el primero, el cual crece en una progresión mucho más rápida.

Cuando

entonces es una frecuencia de corte entre las dos asíntotas.

Cerca de la frecuencia ocurre un pico de resonancia, tal como se espera de 8-1. El factor de amortiguamiento relativo determina la magnitud de este pico de resonancia.

La magnitud del error entre la traza real y la asintótica, depende de .

Si es pequeño se generan errores grandes.

Para hacer correcciones podemos calcular la magnitud en aquellos puntos donde sospechamos del error, en este caso, cerca de

En la ecuación de la frecuencia, vemos que

Esta también depende de

Figura [6], Tomada de autor

Figura [7], Tomada de autor

Figura [8], Tomada de autor

Frecuencia de resonancia y el valor del pico de resonancia

(Para los sistemas de segundo orden)

Como

Si tiene un valor pico en alguna frecuencia, esta se denomina frecuencia de resonancia

Como el numerador de es constante el pico ocurriría cuando

Sea mínimo

Reescribiendo la ecuación

El valor mínimo de ocurrirá cuando por tanto, la frecuencia de resonancia es

si

de todas maneras

Para valores mayores de no hay pico de resonancia.

La magnitud del pico de resonancia se obtiene reemplazando por en

, así

Para

Si

Para el ángulo de fase

Procedimiento general para graficar Bode.

Se escribe la función de transferencia Senoidal como un producto de factores.

Identifique

...