Ejercicios Resueltos: Geometría Plana y del Espacio

     Ejercicios Resueltos: Geometría Plana y del Espacio _        

1.   Determine el valor del ángulo α en el triángulo de la figura:

[pic 1]

3x + x + 4x + x + 3x = 180º

12x = 180º ⇒ x = 15º

x + 3x + α = 180º ⇒ α = 180º −60º = 120º

Ejercicios extraídos de pruebas parciales.

Roberto Vásquez B.

R :         α = 120º[pic 2]

2.   Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos es igual al triple del otro. Determine ambos ángulos.

α + β = 180º[pic 3]

α = 3β

α + β = 180º[pic 4]

α − 3β = 0º

3α + 3β = 540º[pic 5]

α − 3β = 0º

4α = 540º ⇒ α =  540º = 135º

4

β = 180º −α = 45º

R :         α = 135º ;[pic 6]

β = 45º

3.   La suma del lado de un triángulo equilátero con su altura es 3 + 2  5 cm. Determine la medida del lado.[pic 7]

a + h = 3 + 2  5                             sabemos  que  h =  a  3[pic 8][pic 9]

2

a +  a  3 = 3 + 2  5                       / ⋅ 2[pic 10][pic 11]

2

2a + a  3 = 6 + 4  5[pic 12][pic 13]

a (2 +[pic 14][pic 15]

3 ) = 6 + 4  5

R :         a =  6 + 4  5 cm.[pic 16][pic 17]

2 +   3

4.   En la figura, ABCD es un rombo, AN = BN , AB ⊥ AE y ∠ NMB = 55º . Determine la medida del ∠x .[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

∠NMB = 55º ⇒ ∠AMN = 35º

AN = NM ⇒ ∠NAM = 35º = ∠MAD[pic 23][pic 24]

∠NAM + ∠MAD + x = 90º ⇒ x = 90º −70º = 20º R :         x = 20º[pic 25]

5.   Determine el área sombreada del rectángulo de la figura:

[pic 26]

ARe ctángulo

= base ⋅ altura = 10 ⋅ 5 = 50 cm2

ATriángulo

=  base ⋅ altura =  5 ⋅ 5 = 12,5 cm2

2              2

A          = A

− A          = 50 − 12,5 = 37,5 cm2

Achurada             Re ctángulo            Triángulo

R :         A[pic 27]

Achurada

= 37,5 cm2

6.   En la figura, QA y QB son tangentes a la circunferencia y C es punto de la misma. Si ∠AQB = 30º , determine el valor de ∠ACB .[pic 28][pic 29]

[pic 30]

∠AOB = Ángulo del Centro

∠AQB + ∠AOB = 180º ⇒ ∠AOB = 150º

∠ACB =  ∠AOB = 75º

2

R :         ∠ACB = 75º _        

7.   Calcule el volumen de un cilindro cuya altura es el triple del radio de su base de área

A = 12π

cm2  .

A = πr 2  = 12π

r 2  = 12

r =   12 = 2  3 ⇒ h = 3 ⋅ 2  3 = 6  3[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

V = πr 2h = 12π ⋅ 6  3 = 72π  3[pic 35][pic 36]

R :         V = 72π[pic 37][pic 38]

3 cm3

8.   Determine la medida de la diagonal de un paralelepípedo de aristas 5, 7 y 11 cm.

D =   52  + 72  + 112   =[pic 39][pic 40][pic 41]

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