Ejecicios resueltos de espacion y sub espacios vectoriales

[pic 4]

Universidad De Guadalajara

Centro Universitario de Ciencias Exactas e ingenierías

Espacios vectoriales

José Alberto Gutiérrez Cabrera

1. Expresa el vector 𝑚 = (1, 2, 3) como una combinación lineal de los vectores: 𝑢 = (1, 0, 1), 𝑣 = (1, 1, 0), 𝑤 = (0, 1, 1)

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Entonces

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Sumamos los términos de las 3 ecuaciones

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Restamos los la ecuación resultante a cada una de las ecuaciones iniciales

 =                                      =  [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

  =  [pic 15][pic 16]

Siendo

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Entonces podemos decir

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1. Dados los vectores 𝑢 = (1, 2, 3), 𝑣 = (2, 1, 0), 𝑤 = (−1, −1, 0) demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.

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                                 [pic 23][pic 24]

Podemos decir que el sistema homogéneo solo admite únicamente la solución trivial

                                [pic 25][pic 26][pic 27]

(Los tres vectores son linealmente independientes y forman una base)

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                        [pic 30][pic 31]

Las coordenadas del vector  respecto a la base son: [pic 32][pic 33]

1. Determinar el valor de 𝑝 para que el vector (1, 𝑝, 4) ∈ ℝ3 pertenezca al subespacio 𝑆 = {(1, 1, 2), (1, −1, 0)}

 Pertenece al subespacion si y solo si  es combinación lineal de , o sea si existen [pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

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Entonces

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Y resolviendo el sistema anterior tenemos que

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1. Encontrar una base y la dimensión del subespacio vectorial

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Y el sistema anterior tiene por solución:

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 [pic 48]

[pic 49]

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Con esto podemos decir que el sistema anterior solo tiene por solución a , es decir,  es libre. Por lo tanto.[pic 53][pic 54]

Una base para S es: [pic 55]

Y la dimensión de  S es: [pic 56]

5. Determinar el valor de 𝑥 para que el vector (0, 4, 𝑥, −2) ∈ ℝ4

Pertenezca al subespacio 𝑆 = {(1, 1, 2, 1), (2, 3, −1, 1), (−1, 0, 1, 4)}

 Pertenece al subespacion     [pic 57][pic 58]

Si y solo si

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