Espejos Esfericos

ESPEJOS ESFERICOS

Los mismos métodos geométricos aplicados a la reflexión de la luz desde un espejo

plano se pueden utilizar para un espejo curvo. El ángulo de incidencia sigue siendo igual

que el ángulo de reflexión, pero la normal a la superficie cambia en cada punto a lo largo de

dicha superficie. De esto resulta una relación complicada entre el objeto y su imagen.

La mayoría de los objetos curvos usados en aplicaciones prácticas son esféricos. Un

espejo esférico es un espejo que puede considerarse como una porción de una esfera

reflejante. Los dos tipos de espejos esféricos se ilustran en la figura 29. Si el interior de la

superficie esférica es la superficie reflejante, se dice que el espejo es cóncavo. Si la porción

exterior es la superficie reflejante, el espejo es convexo. En cualquier caso, R es el radio de

curvatura, y C es el centro de curvatura para los espejos. El segmento AB, que es útil

frecuentemente en problemas de óptica, se llama abertura lineal del espejo. La línea

punteada CV, que pasa a través del centro de curvatura y del centro topográfico o vértice

del espejo, se conoce como eje del espejo.

Figura 29. Definición de términos para los espejos esféricos.

Examinemos ahora la reflexión de la luz en una superficie esférica. Como un caso

sencillo, suponga un haz de rayos de luz paralelos que inciden sobre una superficie

cóncava, tal como se ilustra en la figura 30. En virtud de que el espejo es perpendicular al

eje en su vértice V, un rayo de luz CV es reflejado de regreso sobre sí mismo. En realidad,

cualquier rayo de luz que avanza a lo largo de un radio del espejo se refleja de regreso

sobre sí mismo. El rayo de luz paralelo MN se refleja de modo que el ángulo de incidencia

θi

sea igual al ángulo de reflexión θr

. Ambos ángulos se miden con respecto al radio CN. La

geometría de la reflexión es tal, que el rayo reflejado pasa a través del punto F sobre el eje a

la mitad del camino entre el centro de curvatura C y el vértice V. El punto F, en el cual

convergen los rayos luminosos paralelos, se conoce como punto focal del espejo. A la

distancia de F a V se le llama longitud focal f. Como ejercicio conviene demostrar, a partir

de la figura 30(a), que:

2

R

f =

U1-T4 Espejos Esféricos - 1

La longitud focal f de un espejo cóncavo es igual a la mitad de su radio de curvatura R.

Figura 30. Punto focal de un espejo cóncavo: (a) la longitud focal es la mitad del radio

de curvatura; (b) el objeto se encuentra en el infinito y la imagen en el punto focal;

(c)el objeto está en el punto focal y la imagen en el infinito.

Todos los rayos de luz de un objeto distante, como por ejemplo el sol, convergen en el

punto focal F, como muestra la figura 30(b). Por esta razón, a los espejos cóncavos

frecuentemente se les llama espejos convergentes. El punto focal puede encontrarse

experimentalmente haciendo que converja la luz del sol en un punto sobre un trozo de

papel. El punto a lo largo del eje del espejo donde la imagen formada sobre el papel es más

brillante corresponderá al punto focal del espejo.

Por el hecho de que los rayos de luz son reversibles, si una fuente de luz está colocada

en el punto focal de un espejo convergente, su imagen se formará a una distancia infinita.

Es decir, el haz de luz emergente será paralelo al eje del espejo, como se muestra en la

figura 30(c).

Un análisis similar se aplica a un espejo convexo, como se ilustra en la figura 31.

Observe que el haz de luz paralelo que incide en una superficie convexa, diverge. Los rayos

de luz reflejados parecen provenir del punto F situado detrás del espejo, pero ningún rayo

U1-T4 Espejos Esféricos - 2de luz pasa realmente a través de él. Aun cuando el punto focal es virtual, la distancia VF se

sigue llamando longitud focal del espejo convexo. En vista de que los rayos de luz reales

divergen cuando inciden sobre una superficie de este tipo, a los espejos convexos se les

llama espejos divergentes.

La ecuación f = R/2 también se aplica aun espejo convexo. Sin embargo, para ser

consistentes con la teoría (que se expondrá posteriormente), la longitud focal f y el radio R

deben considerarse como negativos en el caso de los espejos divergentes.

Figura 31. Punto focal de un espejo convexo.

IMAGENES FORMADAS POR ESPEJOS ESFERICOS

El mejor método para comprender la formación de imágenes por medio de espejos es a

través de la óptica geométrica, o trazado de rayos. Este método consiste en considerar la

reflexión de unos cuantos rayos divergentes a partir de algún punto, de un objeto O que no

se encuentre en el eje del espejo. El punto en el cual sé intersectarán todos estos rayos

reflejados determina la ubicación de la imagen. Analizaremos ahora tres rayos cuyas

trayectorias pueden trazarse fácilmente. Cada uno de los rayos se ilustra, tanto para un

espejo convergente (cóncavo) en la figura 32, como para un espejo divergente (convexo) en

la figura 33.

RAYO 1 Un rayo paralelo al eje del espejo pasa a través del punto local de un espejo

cóncavo o parece provenir del punto local de un espejo convexo.

RAYO 2 Un rayo que pasa a través del punto local de un espejo cóncavo o que se dirige

al punto local de un espejo convexo se refleja paralelamente al eje del espejo.

RAYO 3 Un rayo que avanza a lo largo de un radio del espejo se refleja a lo largo de su

trayectoria original.

U1-T4 Espejos Esféricos - 3

En una situación específica, sólo se necesitan dos de estos tres rayos para ubicar la

imagen de un punto. Si se eligen los rayos que provienen de un punto extremo del objeto, la

imagen restante se puede completar generalmente por simetría. En las figuras, las líneas

discontinuas se usan para identificar los rayos virtuales y las imágenes virtuales.

Figura 32. Principales rayos para la construcción gráfica de las imágenes reflejadas

por espejos cóncavos.

Figura 33. Principales rayos para la construcción gráfica de las imágenes reflejadas

por espejos convexos.

Para ilustrar el método gráfico y al mismo tiempo visual izar algunas de las imágenes

que pueden presentarse, vamos a considerar ahora varias imágenes formadas por un espejo

cóncavo.

En la figura 34(a) se ilustra la imagen formada por un objeto O que se ha colocado

afuera del centro de curvatura del espejo. Observe que la imagen se ha formado entre el

punto focal F y el centro de curvatura c. En este caso, la imagen es real, invertida y más

pequeña que el objeto.

En la figura 34(b). El objeto O se localiza en el centro de curvatura c. En ese caso, en el

centro de curvatura del espejo cóncavo se forma una imagen que es real, invertida y del

mismo tamaño que el objeto.

U1-T4 Espejos Esféricos - 4 En la figura 34(c), el objeto O se localiza entre C y F. Al trazar los rayos

correspondientes se observa que la imagen se forma más allá del centro de curvatura. Dicha

imagen es real, invertida y mayor que el objeto.

Cuando el objeto se encuentra en el punto focal F, todos los rayos reflejados son

paralelos (véase la figura 34(d)). Por el hecho de que los rayos reflejados jamás se

intersectarán, por más que se prolonguen en cualquier dirección, no se formará ninguna

imagen. (Algunas personas prefieren decir que en este caso la distancia a la imagen es

infinita.)

Cuando el objeto se localiza entre el punto focal F y el vértice, como se muestra en la

figura 34(e), parece que la imagen está detrás del espejo. Esto se puede apreciar si se

prolongan los rayos reflejados hasta un punto situado atrás del espejo. Por lo tanto, la

imagen es virtual. Observe también que la imagen es mayor que el objeto y que no está

invertida, sino en posición normal. En este caso, el aumento de la imagen es el mismo

principio que se aplica en los espejos para afeitarse y en otros donde se forman imágenes

virtuales amplificadas.

Por otra parte, todas las imágenes que se forman en espejos convexos tienen, las mismas

características. Como ya se mostró en la figura 33, se trata de imágenes virtuales, que están

en posición normal (no invertida) y tienen un tamaño reducido. El resultado de esto es que

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