Estadística II, inferencial, Probabilidad y aplicada

I

En la evaluación de las metodologías utilizadas A, B, en la enseñanza de las matemáticas en el 6 grado, en los colegios oficiales de la ciudad de Bogotá; para dicha evaluación se tomó como éxitos el número de estudiantes que obtuvieron notas iguales y superiores a 3.5 y como fracaso el número de estudiantes que obtuvieron por debajo de 3.5., el ministerio de educación desea saber si no hay relación entre el resultado obtenido y la metodología utilizada. Para lo anterior se registra en el siguiente cuadro los resultados de 260 obtenidos en el primer semestre del presente año.

Los datos de la tabla indican la agrupación de los datos en dos categorías mutuamente excluyentes en donde se cuenta la frecuencia de ocurrencia en cada categoría. Método A: número de fracasos; Método A: número de éxitos, etc. La pregunta a responder es: ¿se puede concluir con estos datos que existe alguna diferencia en los resultados de acuerdo al método de enseñanza empleado?. La hipotesis nula para este experimento establece que no existe diferencia en los resultados en razón a la metodología empleada. La hipótesis alternativa señala que se presentan diferencias en los resultados en razón a la metodología empleada.

La prueba de inferencia que se emplea, por lo general, con este tipo de datos, que se denominan nominales, es la prueba no paramétrica ji-cuadrada (x²).

Estadísticamente interesa conocer si hay diferencia significativa entre las dos medidas de incidencia acumulada (fracaso, éxito).

Para ello se emplea la siguiente fórmula^[1]:

En la fórmula, “O” se refiere al valor observado en una celda y “E” a su valor esperado.  Es este caso se trata de una tabla de 2x2, y hacer referencia a las frecuencias observadas en dichas celdas y las que se esperaría ocurrieran (valores esperados) si efectivamente no hubiera diferencia entre las proporciones que se comparan. Los valores esperados para cada celda se obtienen multiplicando sus totales marginales correspondientes y dividiendo este producto por el gran total. Por ejemplo, en la primera celda central (Metodología A, Fracasos), el valor observado es 74 y el valor esperado sería (137x128)/257=68.2. El cuadro de resultado para cada celda quedaría así:

Reemplazando la fórmula:

x²=(74-68.2)²/68.2+(63-68.8)²/68.2+(54-59.8)²/68.2+(66-60.2)²/68.2=2.1

El  valor de chi cuadrado calculado (observado) se compara con un valor tabulado (esperado) tomado de la distribución de  probabilidades teórica. Este valor teórico corresponde al que se esperaría encontrar si los resultados observados ocurrieran puramente por azar. A este valor teórico se le llama valor crítico: si el valor observado (en este caso 2.1) es mayor que el valor crítico se concluye  que la diferencia observada no es debida al azar y se dice que es estadísticamente significativa. El nivel crítico indica el nivel de significancia de la prueba. Si se fija el nivel de significancia en 0,05, y que se denota como p<0,05,  el valor crítico en una tabla 2x2 con un grado de libertad, es 3,84. Si el valor observado (2.1) es mayor al valor crítico (3.84), se concluye que existe asociación entre Metodología y Resultado, estadísticamente significativa al nivel de 0,05 de significancia. Para el caso analizado, el valor observado (2.1) no supera el valor crítico (3.84), por tanto p>0,05. Se concluye entonces que no se puede rechazar la hipótesis nula, es decir, que no hay diferencia significativa entre los resultados obtenidos por los estudiantes y la metodología empleada en su formación.

5) Al presentar el la respuesta al ministerio de educación se cuestionó el tamaño de la muestra tomada para el estudio y le solicita a usted calcular el tamaño optimo de muestra para el próximo estudio por cada 1000 estudiantes registrados en el grado 6to. de los colegios oficiales, nivel de confianza del 95% y una margen de error de 0.05 desviación estándar de 0.25.

Cálculo de la muestra: para una muestra óptima en un universo de 1000 estudiantes y con los datos aportados se puede emplear la siguiente fórmula^[2]:

N=tamaño del universo

б²=Varianza (desviación estándar al cuadrado)

Z²=Nivel de confianza

e²=Margen de error

Reemplazando:

N=1000

б²=0.25²

Nivel de confianza del 95% ->Z²=1.96²

e²=0.05²

El tamaño óptimo de la muestra requerida en un universo de 1000 estudiantes es de 88 estudiantes. El resultado puede interpretarse de la siguiente manera: si se encuestas 88 estudiantes, el 95% de las veces el dato real que se busca estará en el intervalo ±0.05 respecto al dato que se observa en la encuesta.

II

Teniendo en cuenta su sitio de trabajo, o el contexto donde usted vive seleccione un tema de su interés y desarrolle una investigación de tipo estadístico, determine su población o universo calcule el tamaño optimo de una muestra y selecciónela de su población, presente los cuadros de frecuencia y de contingencia que le interese a su investigación, medidas de tendencia central y de dispersión debidamente analizadas y con la recomendaciones pertinentes. Lo anterior le va a permitir practicar los temas de probabilidades, distribuciones y planteamiento de hipótesis de trabajo con la respectiva toma de decisión debidamente justificadas.

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