Estadistica Aplicada

Nombre de la asignatura:

Estadística Administrativa II

Carrera: Licenciatura en Administración

U N I D A D 2

PRUEBAS DE LA BONDAD DEL AJUSTE Y ANÁLISIS DE VARIANZA.

ANÁLISIS JI-CUADRADA

DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.

3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).

6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:

para x>0

La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.

Cálculo de Probabilidad

El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.

Ejemplos:

1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución:

Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza

, tenga una varianza muestral:

a. Mayor que 9.1

b. Entre 3.462 y 10.745

Solución.

a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05

b. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:

y

Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.

Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

Estimación de la Varianza

Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.

Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:

Ejemplos:

1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.

Solución:

Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286.

Para

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