Geometría Plana

GEOMETRÍA PLANA

Esta sección usa algebra vectorial para probar teoremas en geometría plana.

Prerrequisitos:

 Geometría Plana

 Algebra Vectorial en el Plano

 Producto Escalar

Las propiedades básicas del espacio euclidiano fueron estudiadas por primera vez hace 23 siglos por Euclides, quien comenzó con axiomas aceptados y teorías deducidas en plano y solidos geométricos de ellos. En esta sección probamos algunos teoremas elementales en el plano geométrico usando algebra vectorial. Este método usualmente conduce a pruebas más simple y elegantes que los métodos usados en un primer curso en geometría –el mismo método que el mismo Euclides uso. Esto es porque las ecuaciones básicas de algebra vectorial, tal como

a + b = b + a

a + (b + c) = (a + b) + c

a + (-a) = 0

Son axiomas de vectores en el espacio y por lo tanto aplican al espacio euclidiano. Así, cualquier nueva ecuación que podamos generar desde estas ecuaciones básicas constituye un teorema. Porque es más fácil manipular ecuaciones que escribir en palabras como se están aplicando axiomas, este método resulta en una cierta economía de pensamiento y una presentación de pruebas más limpia.

Antes de dar algunas explicaciones de tales técnicas de vectores aplicadas al plano geométrico, introducimos alguna notación y revisión de algunas definiciones básicas.

Notación y Definición

Para nuestras aplicaciones al plano geométrico, un vector puede ser visto como un segmento de línea dirigido o un arco. Debemos usar la siguiente notación (Figura 1): Si A y B son dos puntos, entonces AB denota el segmento de línea (no dirigido) que conecta A y B y ⃗⃗⃗⃗⃗ el segmento de la línea dirigida o vector del punto A al punto B. Debemos usar a y b para denotar vectores desde un punto arbitrario fijo de referencia O hasta el punto A y B. Nótese que podemos escribir

⃗⃗⃗⃗⃗

FIGURA 1

Asumimos que el lector se familiariza con las reglas de algebra lineal discutidas en la Sección 3.2. Adicionalmente, necesitamos que siga los criterios para determinar cuándo tres puntos son colineales:

Teorema 1. Sean A, B y C tres puntos y sean a, b y c los vectores desde un punto fijo O a A, B y C, respectivamente (Figura 2). Entonces B se encuentra en el segmento de línea ⃗⃗⃗⃗⃗ si y solo si ( )

Para algún número satisfaciendo

FIGURA 2

Cuando el criterio en el Teorema 1 es satisfecho, el punto B corta el segmento de línea AC en la proporción ( ). Por ejemplo, si , eso es, si ( ),

cuando B es el punto medio de AC; si , eso es, si , entonces B corta en la proporción 2:1.

Recordar que el producto escalar a*b de dos vectores a y b diferentes acero es dado por ‖ ‖‖ ‖

Donde ‖ ‖ es la longitud del vector a, ‖ ‖ es la longitud del vector b, y es el ángulo entre a y b (Figura 3). Se sigue de esta fórmula que a y b son perpendiculares si y solo si .

FIGURA 3

En las partes a, b y c de la Figura 4, siete definiciones de plano geométrico son enumeradas como referencia. Estas son seguidas por seis ejemplos en los cuales seis teoremas básicos son probados usando algebra vectorial.

(a)

__________________________________________________________________________

(b)

(c)

FIGURA 4

Ejemplo 1

Demuestre que las tres medianas de un triángulo se intersectan en

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