Hiperbola Y Elipce

ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse:

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor:Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo:

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

1 Semieje mayor:

2 Semidistancia focal:

3 Semieje menor:

4 Ecuación reducida:

5 Excentricidad:

Ecuación reducida de la elipse de eje vertical

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, −c) y F(0, c)

Ejemplo:

Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadasF(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos:

1 Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

2 Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de la elipse de eje vertical

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadasF(x0, y+c) y F'(x0, y0−c). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejercicio 1 resuelto

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

1

2

3

...