Métodos de Integración Indice

Métodos de Integración Indice

Introducción Cambio de Variable Integración por partes Integrales de funciones trigonométricas Sustitución Trigonométrica Fracciones parciales

Introducción.

En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.

estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien reducirla a una integral más sencilla.

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El Método de Cambio de Variable.

Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula. Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:

∫ ∫x

4

xα dx =

x α +1 +k α +1

si α ≠ −1

a partir de ésta podemos encontrar integrales como

x +k , 5

5

dx =

∫

x

dx =

1 +1 x2

1 +1 2

+k =

3 x2

3 2

+k =

2 3 x +k 3

, etc.

Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar, ¿podemos afirmar que

∫

(3 x − 5) 5 (3 x − 5) dx = +k? 5

4

La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando d  (3 x − 5) 5  4   = 3(3 x − 5) dx  5  lo correcto sería

∫

o bien

3(3 x − 5) 4 dx =

(3 x − 5) 5 +k 5

∫

(3 x − 5) 4 dx =

1  (3 x − 5) 5   +k 3 5  (cos x) 5 +k? 5

Análogamente ¿podemos afirmar que

∫

(cos x) 4 dx =

De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

d  (cos x) 5  4   = − senx(cos x) dx  5 

lo correcto sería

∫ ∫

3(3 x − 5) 4 dx =

senx(cos x) 4 dx = −

(cos x) 5 +k 5

En el cálculo de estas dos integrales

(3 x − 5) 5 +k 5

∫

x α +1 +k α +1

senx(cos x) 4 dx = −

(cos x) 5 +k 5

como una variante de la fórmula

∫

xα dx =

si α ≠ −1

advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se calcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)α, es decir

[u( x)]α u' ( x)dx = [u ( x)] ∫

α +1

α +1

+k

si α ≠ −1

En general, si partimos

de una integral conocida

∫ f ( x) dx = g ( x) + k

y cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u'(x) es continua, obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE

∫ f [u( x)] u' ( x)dx = g[u( x)] + k

Podemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho

d [g[u ( x)] + k ] = g ' [u ( x)]u ' ( x) = f [u( x)]u' ( x) dx

este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f. Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u'(x)dx = du, la fórmula de cambio de variable nos quedaría como:

∫ f (u)du = g (u) + k

En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado de dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u', su derivada. Ejemplo 1. Encuentre

∫

(3 x − 5) 4 dx

Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5 u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du

∫ u du ,

4

Sustituyendo en la integral,

∫

(3 x − 5) 4 dx = u 4 du / 3 =

∫

1 1 u5 (3

x − 5) 5 u5 u 4 du = ( ) + c = +c = +c 3 3 5 15 15

∫

coincidiendo con el resultado anterior. Ejemplo 2. Encuentre

∫ cos

4

x senx dx

Solución. En este caso podemos observar que esta integral "se parece" a nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ senx dx = -du Sustituyendo en la integral,

∫ u du , lo cual

4

∫

cos 5 x u5 (cos x) ( senx dx) = (u )(− du ) = − u du = −( ) + c = − +c 5 5

4

∫

4

∫

4

coincidiendo con el resultado anterior.

Ejemplo 3. Encuentre

(3 ln x − 5) 4 dx x Solución. Advertimos la presencia de la función lnx y su derivada 1/x, lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable:

∫

u = lnx ⇒ du = dx/x Sustituyendo en la integral,

∫ ∫ ∫

(3 ln x − 5) 4 dx = (3u − 5) 4 du x

∫

A su vez esta integral tendría que resolverse por cambio de variable, tomando w = 3u-5, como se hizo en el ejemplo 1, obteniendo:

(3 ln x − 5) 4 (3u − 5) 5 (3 ln x − 5) 5 +c = +c dx = (3u − 5) 4 du = x 15 15

Sin embargo para evitar tomar dos o más cambios de variable, debemos percatarnos de que lo importante es que aparece la expresión 1/x que es la derivada de lnx, que también lo es de (3lnx-5), salvo constantes. Más precisamente, podemos tomar el cambio de variable: u = 3lnx-5

⇒ du = 3dx/x, ò bien dx/x = du/3, y al sustituir en la integral original:

∫

(3 ln x − 5) 4 1 dx = x 3

∫

u 4 du =

1 u5 (3 ln x − 5) 5 +c = +c 3 5 15

Observación: De lo anterior podemos concluir que el cambio de variable procede cuando en el integrando aparece una función u y su derivada multiplicada por una constante. Además que la integral de la variable u sea posible resolverla.

Ejemplo 4. Encuentre

∫ 3x

6

2 − x 7 dx

Solución. En este caso aparece la función u = 2-x7 y su derivada (-7x6) multiplicada por la constante (-3/7), precisando: u = 2-x7 ⇒ du = -7x6 dx

Como en la integral tenemos que sustituir 3x6 dx, du = -7x6 dx ⇒ x 6 dx =

−1 −3 du ⇒ 3 x 6 dx = du 7 7

∫ 3x

6

−3 2 − x dx = 7

7

∫

− 3 u 3/ 2 − 2 3/ 2 −2 ( )+c = u du = u +c = (2 − x 7 ) 3 / 2 + c , 7 3/ 2 7 7

así pues

∫ 3x

es

6

2 − x 7 dx =

−2 (2 − x 7 ) 3 + c , 7

Nótese que una vez identificado el cambio de variable u, vemos que la integral por resolver

∫

∫

u du , es decir, resolver nuestra integral

∫ 3x

6

2 − x 7 dx se reduce a resolver

u du mediante el citado cambio de variable ó en otras palabras nuestra integral de la

variable x es similar a

∫

u du

Existen otras situaciones en que el cambio

de variable no es tan evidente en términos de la función u y su derivada, por lo cual tenemos que echar la vista adelante y ver a que función fácil de integrar es similar nuestra función. Ejemplo 5. Encuentre

∫

x2 dx 1 + x6

Solución. En una primera vista no advertimos la presencia de una función u y su derivada, ya que la derivada de 1 + x6 = 6x5 y en el integrando no aparece x5 sino x2. No debemos

perder de vista que al hacer un cambio de variable es por que nuestra integral es similar ó se puede reducir a otra fácil de resolver. Si pensamos que x2 dx será el nuevo diferencial, entonces u tendría que ser x3, es decir u = x3 ⇒ du = 3x2 dx como se ve al expresar la integral de la siguiente manera:

∫ 1 + (x )

Ejemplo 6. Encuentre

x2

3 2

dx =

du 1 1 1 = arctan u + c = arctan( x 3 ) + c 2 3 3 1+ u 3

∫

∫

x3 1 − 9x8

dx

Solución. En analogía al ejemplo anterior, podemos

...