Integral definida y métodos de integración

Integral definida y métodos de integración

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

En la función f(x) de una variable real (x) y con un intervalo [a,b] en la recta, la integral

Esta nos representa el area de una region en un plano (x)(y) en donde el limite de la grafica de f, el eje de (x), en las lineas verticales X=a y x=b, donde estas pueden llegar aser negativas si se encuentran por debajo de estas.

La integral tambien puede ser una referencia a una primitiva, en donde una funcion F, y su derivada es una funcion f.

Esta se nombra integral indefinida.

Cuando una funcion cuenta con una integral, se puede decir que esta es integrable.la funcion de la cual se calcula la integral es un integrado. Y se le llama dominio de integracion a la region en la cual se integra la funcion.y si la integral no cuanta con un dominio de integracion, esta se llega a considerar indefinida y por esta misma situacion la que cuenta con un dominio de integracion se llega a conciderar definida.

Por lo tanto el integrado puede llegar a ser una funcion con mas de un variable, y el dominio de integracion puede considerarce como un area, un volumen, una region, un espacio que no cuenta con ningun tipo de estructura geometrica.

En la formula de la integral:

Donde la S, alargada, nos representa la integración de a y b que son el límite inferior y el límite superior de la integración, estas definen el dominio de la integración es el integrado que se tiene que variar (x) sobre el intervalo [a, b], y dx tiene diferentes interpretaciones.

2.1 definición de integral indefinida

Integrar es el procedimiento contrario del derivar, es decir que de una función f(x), busca las funciones F(x) que al momento de que estas se derivan llegan a f(x).

Es por eso que se dice que F(x) es la primitiva o una anti derivada de f(x), dicho así que las funciones primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) así:

F’(x)=f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas donde se diferencian por la constante.

[F(x) + C]’=F’(x) + 0=F’(x) = f (x)

Integral indefinida

La integral indefinida es el conjunto de las indefinidas primitivas que puede tener una función.

Esta se representa por ∫ f(x) dx.

∫ es el signo de integración.

F(x) es el integrado

Dx es diferencial de x, e indica cual es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor de los números reales.

Por lo tanto F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx= F(x) + C

Y si se desea comprobar la primitiva de una función solo se derivaría.

2.2 Propiedades de integrales indefinidas

Una de las propiedades de la integral indefinida es la integral de la suma de funciones que es igual a la suma de las integrales de esas funciones:

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