Módulo: 3 Métodos de integración

Objetivo:

• Aprender sobre el metodo de Ruge-Kutta y disparo
• Analizar y ver para que sirven sus pasos
• Ver su realizacion en c#

Procedimiento:

• Vimos en clase el tema 15
• Empezamos a utilizar el programa
• Leímos la actividad 15
• Nos guiamos con ayuda del maestro hacia lo que necesitábamos hacer en la actividad
• Realizamos lo que se pedía
• Corrimos el programa
• Hicimos nuestra rubrica y conclusiones personales
• Enviamos nuestra actividad

Resultados:

Runge-Kutta de primer orden

Si m = 1, entonces se toma w1 = 1 y la fórmula (2) resulta

Igualando esta fórmula al desarrollo de Taylor de orden 1 de la función y(t), alrededor del punto ti, y calculado en el punto ti+1: 

y teniendo en cuenta que yi ≅ y(ti), resulta k1= f(ti, yi), obteniendo así la fórmula de Euler yi+1 = yi + h f(ti, yi). Por lo tanto, se dice también que el método de Euler es un método de Runge Kutta de primer orden.

Runge-Kutta de segundo orden

Ahora se plantea, con m = 2, una fórmula del tipo:

donde

y las constantes a, b, α, β se deben determinar, de manera que la expresión (5) coincida con el desarrollo de Taylor de y de orden más alto posible.

Para ello, utilizando un desarrollo de Taylor para funciones de dos variables, tenemos que:

donde el subíndice i indica que todas las derivadas están evaluadas en el punto (ti, yi).

Reemplazando k1 y teniendo en cuenta la expresión de k2, usando (7) tenemos que:

agrupando los términos de (8) por las potencias de h, y reemplazando en la expresión (5) el valor de k1 y  k2, resulta

Reacomodando términos en (9), resulta:

El método de disparo

 Consiste en comenzar con un valor propuesto de derivada y resolver la ecuación diferencial. Después modificar el valor propuesto de la derivada hasta que la solución encontrada con la derivada propuesta coincida con el valor dado del segundo punto.

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