INTRODUCCION SOBRE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Y PROGRAMACION LINEAL

INTRODUCCION

La investigación de operaciones surgió como una necesidad, ya que, durante la segunda guerra mundial el ejercito de Inglaterra se dio a la tarea de reunir un grupo de profesionistas desde matemáticos hasta bioquímicos, todo con el afán de conseguir una manera de liderar y comandar con gran éxito las tropas de Inglaterra. Este grupo llamado como el Circo de Backett estuvo a cargo de todos los cambios que se realizaron dentro de la armada y sus equipos de guerra, como lo aviones. La IO sirve para analizar, ver que se puede hacer y, con esto, tomar una decisión.

Mas adelante Janos Von Neumann publico un libro, el cual en esto pudo relacionar la programación lineal con teoría de matrices. Así se empezaron a aplicar problemas relacionados y así constarlo de la mejor manera.

Para conocer la programación lineal es necesario saber que se necesitan solo dos variables para poder usar el método grafico. Sin embargo los problemas que ocurren en la vida cotidiana implican mas de dos variables y por lo tanto son demasiado grandes para resolverlos mediante el procedimiento de solución grafico simple. Debemos conocer que los mayores problemas que se presentan en el mundo son los de los negocios y el gobierno, ya que, tienen cientos o miles de variables. Para esto es necesario conocer un método mas poderoso que el grafico y por lo consiguiente surge el método simplex.

Comienzo de la Investigación de Operaciones

A lo largo de la historia, es frecuente el encontrar colaboración entre científicos y oficiales del ejército con el mismo objetivo, tomar la decisión óptima en batalla. De hecho para muchos expertos el comienzo de la Investigación de Operaciones ocurre en el siglo III antes de Cristo, durante la Segunda Guerra Púnica, con las aportaciones del griego Arquímedes entre las que se encuentran la catapulta y el Rayo de Calor, entre otras.

En 1503, Leonardo DaVinci tomó parte como ingeniero en la guerra contra Prisa debido a sus conocimientos para llevar a cabo bombardeos, construcción de barcos, vehículos armados, cañones, catapultas y otras máquinas de guerra.

Otro antecedente del uso de Investigación de Operaciones pertenece a F.W. Lanchester, quien hizo un estudio matemático sobre la potencia balística de oponentes y desarrolló, de un sistema de ecuaciones diferenciales, la Ley del Cuadrado de Lanchester, la cual puede ser utilizada para determinar el resultado de una batalla militar.

Thomas Edison hizo uso de la Investigación de Operaciones, contribuyendo en la guerra antisubmarina, con grandes ideas, como escudos contra torpedos para los barcos.

Desde el punto de vista matemático, en los siglos XVII y XVIII, Newton, Leibnitz, Bernoulli y Lagrange, trabajaron en obtener máximos y mínimos de ciertas funciones. El matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier esbozó métodos utilizados hoy en día en Programación Lineal. A finales del siglo XVIII, Gaspar Monge dejó los precedentes del Método Gráfico gracias a su desarrollo de la Geometría Descriptiva.

En 1939, el matemático ruso L. Kantorovich, en conjunto con el matemático holandés T. Koopmans, desarrollo la teoría matemática llamada “Programación Lineal”, gracias a lo que ganó el Premio Nobel de Economía en 1975.

A finales de los 30, George Joseph Stigler presentó el problema de la dieta, debido a la preocupación del ejército de los Estados Unidos de garantizar las necesidades nutricionales de sus tropas a un costo mínimo. Este fue resuelto con un método heurístico cuya solución difiere solamente en algunos céntimos de la solución propuesta años luego por el Método Simplex.

Durante la Segunda Guerra mundial se implemento como una necesidad de utilizar los escasos recursos a las diversas operaciones militares, gracias a esto la administración inglesa llamó a un equipo de científicos para investigar los problemas tácticos asociados con la defensa aérea y terrestre de su país. Las aplicaciones constituían en utilizar el radar que recién se había inventado y la efectividad de nuevos tipos de bombarderos. El establecimiento de este equipo marcó la primera actividad formal de la investigación de operaciones.

Existía un equipo que era conocido como el “Circo de Blackett”, este fue creado debido a la insistencia del Primer Ministro Churchill para conocer si Inglaterra podría defenderse de los ataques aéreos. Este equipo está integrado por diferentes campos, que iban desde las matemáticas hasta la agrimensura. Primero fue conformado por tres filósofos, dos físicos matemáticos, un astrofísico, un oficial del ejército, un físico general y dos matemáticos pero más adelante químicos, bioquímicos, arquitectos y más profesionistas fueron incorporando a lo ya antes mencionado el “Circo de Blackett”.

Janos Von Neumann publicó, en 1944, “Teoría de Juegos”, el cual proveyó las bases para la Programación Lineal. Más tarde, en 1947, Neumann encontró similitudes entre problemas de Programación Lineal y teoría de matrices.

En el periodo pre-guerra, en Inglaterra, se dieron varios sucesos de gran importancia para el desarrollo de la investigación de operaciones. En 1936 el British Air Ministry estableció la Estación de Investigación Bawdsey, lugar donde se llevaron a cabo experimentos con radares pre-guerra tanto para la fuerza aérea como para el ejército. Fue también en este año que se estableció el Royal Air Force Fighter Command, creado específicamente para la defensa aérea de Gran Bretaña. A demás se comenzó a trabajar con la efectividad del uso de la información provista por radares. En 1937 se llevó a cabo el primer de los tres ejercicios importantes de defensa aérea pre-guerra y la estación de radar experimental en la Estación de Investigación Bawdsey comenzó a operar. En 1938 se llevó a cabo un segundo ejercicio de defensa aérea, se establecieron cuatro estaciones de radares adicionales y se utilizó por primera vez el término “operational research”. En 1939 se llevó a cabo el último ejercicio de defensa aérea pre-guerra, el cual involucró 33,000 hombres, 1,300 aviones, 110 armas antiaéreas, 700 reflectores y 100 globos de protección. En este año se creó el “Stanmore Research Section”, equipo de OR que hizo grandes aportaciones en el mejoramiento en la operación de avisos de defensa aérea y sistemas de control.

Ecker y Kupferschid agregan que el cuerpo aéreo del ejército de los Estados Unidos, sufría mucha perdidas durante las misiones de bombardeo estratégico sobre la Alemania Nazi. Se examinaron los aviones B-17 del Ejército. Buscando agujeros hechos por balas y municiones durante estas misiones y su localización se marcaba en un dibujo del avión. Terminado esto, ya localizadas las partes dañadas de los aviones, se implemento un blindaje dentro de estos aviones que eran mandados a combatir los ejércitos enemigos.

Modelos y Fases de la Investigación de Operaciones

Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.

Para que la IO (investigación de operaciones) trabaje bajo el enfoque de sistemas se necesitan de modelos matemáticos para proveer las soluciones posibles. Estos modelos matemáticos se construyen como representación del sistema en estudio y de su operación. El modelo puede tomar la forma de ecuaciones, que son complicadas entender desde el punto matemático, tienen una estructura simple: U=f(x_i y_j )

Donde U es el valor de funcionamiento del sistema, x_i son las variables que se pueden tomar que pueden ser controladas, y_json las variables que no son controladas para afectan a U y la f es la relación que existe entre U, x_i y y_j.

Se puede decir que el problema general que tiene la IO es la búsqueda de la solución óptima a un problema para el cual los recursos están limitados. Dicho esto se puede interpretar como una solución de valor máximo y de valor mínimo, también se conoce la solución óptima por ser una variable. Los modelos pretenden representar a la realidad pero, para imitarla, la IO puede caer en la simulación

Modelos Matemáticos

Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo. Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:

-Variables de decisión y parámetros: Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar.

-Restricciones: Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo.

-Función Objetivo: La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión,

...