Investigacion De Estadistica 2

TEMAS: 4.5 PRUEBA DE FISHER PARA VARIANZAS Y DE IGUALDAD DE VARIANZAS DE DOS POBLACIONES NORMALES. 4.6 COMPARACIONES DE DOS MUESTRAS PAREADAS. 4.8 SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS.

4.5 PRUEBA DE FISHER PARA VARIANZAS Y DE IGUALDAD DE VARIANZAS DE DOS POBLACIONES NORMALES

En esta sección se verá el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias  Si los tamaños de muestras n1 y n2 son mayores que 30, entonces, puede emplearse el intervalo de confianza de la distribución normal. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeñas se supone que las poblaciones de interés están distribuidas de manera normal, y los intervalos de confianza se basan en la distribución t.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES

Si s12 y s22 son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaño n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100( ) por ciento para la diferencia entre medias es:

en donde:

es el estimador combinado de la desviación estándar común de la población con n1+n2 – 2 grados de libertad.

Ejemplos:

1. Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Por otra parte, supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar.

Solución:

El estimador combinado de la desviación estándar es:

Al calcularle raíz cuadrada a este valor nos queda que sp = 4.41

expresión que se reduce a – 0.72   6.72

Nótese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivel confianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias.

2. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales.

Medicamento A Medicamento B

nA = 12 nB = 12

SA2= 15.57 SB2 = 17.54

Solución:

2.35   9.25

Con un nivel confianza del 95% se sabe que el tiempo promedio para alcanzar un nivel específico es mayor para el medicamento B.

PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS, POBLACIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES

Las situaciones que más prevalecen e implican pruebas sobre dos medias son las que tienen varianzas desconocidas. Si el científico prueba mediante una prueba F, que las varianzas de las dos poblaciones son iguales, se utiliza la siguiente fórmula:

donde:

Los grados de libertad están dados por:

Ejemplos:

1. Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:

Con Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9

Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1

¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales.

Solución:

Primero se probará el supuesto de varianzas iguales con un ensayo de hipótesis bilateral utilizando la distribución Fisher.

Datos:

Con tratamiento

s= 1.97

n = 5

Sin tratamiento

s = 1.1672

n = 4

Ensayo de hipótesis:

Estadístico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor.

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1= 5-1 = 4 y 2 = 4-1=3.

Regla de decisión:

Si 0.10 Fc 15.1 No se rechaza Ho,

Si la Fc < 0.10 ó si Fc > 15.1 se rechaza Ho.

Cálculo:

Decisión y Justificación:

Como 2.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.

Con la decisión anterior se procede a comparar las medias:

Ensayo de Hipótesis

Ho; CT- ST=0

H1; CT- ST >0

Los grados de libertad son (5+4-2) = 7

Regla de decisión:

Si tR 1.895 No se Rechaza Ho

Si tR > 1.895 se rechaza Ho

Cálculos:

por lo tanto sp = 1.848

Justificación y decisión:

Como 0.6332 es menor que 1.895, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia.

2. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule con

= 0.05 si existe diferencia entre los tiempos promedio y obtenga el valor de P. Suponga varianzas iguales.

Medicamento A Medicamento B

nA = 12 nB = 12

SA2= 15.57 SB2 = 17.54

Solución:

Primero se pondrá a prueba el supuesto de varianzas iguales mediante una prueba de hipótesis con = 0.10.

Ensayo de hipótesis:

Estadístico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor.

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1=12-1=11 y 2=12-1=11.

Regla de decisión:

Si 0.355 Fc 2.82 No se rechaza Ho,

Si la Fc < 0.355 ó si Fc > 2.82 se rechaza Ho.

Cálculo:

Decisión y Justificación:

Como 1.13 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un = 0.10 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.

Con la decisión anterior se procede a comparar las medias:

Ensayo de Hipótesis

Ho; B- A=0

H1; B- A 0

Los grados de libertad son (12+12-2) = 22

Regla de decisión:

Si –2.074 tc 2.074 No se rechaza Ho,

Si la tc < -2.074 ó si tc > 2.074 se rechaza Ho.

Cálculos:

Justificación y decisión:

Como 3.49 es mayor que 2.074, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la media del tiempo para que el medicamento A llegue a un nivel específico en el torrente sanguíneo es distinta de la que toma al fármaco B alcanzar ese mismo nivel.

Para calcular el valor de P se ubicará la t calculada en la gráfica para proceder a buscar el área y multiplicarla por dos ya que es bilateral.

P = (2)(0.00139) = 0.00278

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DIFERENTES

Consideremos ahora el problema de encontrar una estimación por intervalos de  cuando no es probable que las varianzas poblacionales desconocidas sean iguales. La estadística que se usa con más frecuencia en este caso es:

que tiene aproximadamente una distribución t con grados de libertad, donde:

Como rara vez es número entero, lo redondeamos al número entero más cercano menor. Esto es si el valor de nu es de 15.9 se redondeará a 15.

Al despejar la diferencia de medias poblacionales de la fórmula de t nos queda:

Ejemplos:

1. El departamento de zoología de la Universidad de Virginia llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron

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