Las Matrices

Se puede definir una matriz. Como conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Tipos de Matrices

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz transpuesta

Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz traspuesta, denotada con At está dada por Propiedades.

Para toda matriz A

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo y sea :

Si el producto de las matrices A y B está definido,

Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

Es semidefinida positiva

Matriz Fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

(2 4 -1)

Matriz Columna

La matriz columna tiene una sola columna.

Matriz Cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz Nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz Triangular

En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices.

El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Definición de matriz inversa

Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que

A•B = B•A = I

Siendo I la matriz identidad.

Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.

Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es

singular.

Ejemplo:

Supongamos A= 2513 y B = 3-5-12 Entonces:

A•B=2513 •3-5-2 =6-5-10+103-3-5+6=1001=1

B•A=3-512•2513= 6-515-15-2+2-5+6= 1001= 1

Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales

Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

Matriz inversa

Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A•B=B•A=I?

Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.

Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0

Método de Gauss-Jordán

Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad y hacer operaciones por filas, afectando

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